EXERCICES SUR LES FONCTIONS MULTIFORMES

Problème n** 15.

Valeur de V intégrale

Jq (n-a?*)v/i — a?2

où n est un entier positif.

La fonction ¥{z)= ^7—=; n'admet, comme

points critiques j que les points ^ = ±:i. Partons d'un point V {Jig, ^3) de l'axe des ^négatifs, d'affixe — a/,

avec la valeur positive du radical y/i -h a^, et faisons varier z dans tout le plan, sans franchir jamais le segment — In.,^^H-i de l'axe des ^. La fonction ¥{z) n'acquiert ainsi qu'une seule valeur ¥\{z) en tout point z exté-

Ail

rieur à ce segment; autrement dit, F|(^) est une fonction uni/orme à l'extérieur d'une courbe fermée G entourant le segment — iv„^-hi. Traçons, d'après cela, du point O comme centre, un cercle F de rayon très grand ; le théo-

Fig. 73.

rw

TfV'

rème de Cauchy nous donne

-i- fFi(z)dz--^ [Ftiz)dz = a + ^,

a et P désignant les résidus des pôles -f-/ et — i de F|(^). Cette égalité s'écrit encore, si l'on représente par y le résidu du point ^ = 00 de Fi{z),

/ Fi{z)dz= — 2i7c(a-+- p -h y).

Considérons en particulier la courbe G obtenue en traçant deux segments pn, p^ n! parallèles à Ox et équidistants de cet axe, et deux arcs de cercle c et d qui ont pour centres — i et + 1 . Si nous faisons tendre vers zéro la distance 26 des droites /?/i, p' rJ en même temps que le rayon p de c et de c , l'intégrale qui figure dans le premier membre de (i) garde une valeur constante. Pour calculer cette intégrale, on doit partir du point m ou — ih depn

avec la valeur

de F(^), et parcourir G

dans le sens direct-, quand mn tend vers le segment o^^ rintégrale j Fi{z)dz étendue à mn tend vers la valeur

=zr ou J. D'autre part, le long du segmenl

n' m' (qu'on parcourt après avoir pivoté autour du point -}-i), Fi(j3) a, en chaque point x + 4f, une valeur sensiblement égale et de signe contraire à sa valeur pour 5 = x — 6/, et quand b tend vers zéro avec les rajons

de c et de c\ f Fi{z) dz a pour limite

•-^ M lit '

n lit

— ip2/ï ^x

ou J. On voit, de même, que les intégrales / ¥^{z)dz

et / ¥^[z)dz ont respectivement pour limite J. Enfin,

les intégrales étendues à c et c' tendent vers zéro avec les rayons de ses cercles, car elles sont inférieures en module

f p^ d^ = 2Tip'^ (voir la remarque de la page 443).

Nous pouyons donc écrire

Il reste à calculer ces trois résidus.

Le résidu du pôle z = — i est égal à __' . y=- > puisque, au point z=: — f, la détermination Fi(z) correspond à la valeur positive de ^i-\-{ — f)2==-}-y/2; le résidu du

pôle z = i e$t égal à -— — -—■; la somme a -}- S est égale

à iX' — J- * Calculons maintenant y : pour cela, posons

= ^ ¥,{z) devient ^3 —±—,,^^^^>^ si l'on déve-

loppe X , ? en série de Maclaurin, le coeffî-

cient de Ç^""^, changé de signe, est le résidu y. Avant de faire ce développement, il convient de fixer le signe de y/J^2 — i=dbfy/i — Ç^ qui correspond à F|(^); pour z= — m, on a choisi la détermination -f-y/i-f-a^ de

y/r— "^2; or y/i— 52 est égal à l/i— ^ ou à dr '^^~^^ et pour que cette dernière expression, où l'on fait

ai

soit égale à -4- y/ 1 -h a^ , il faut prendre le signe •+■ devant i. Ceci posé, on a

Le coefficient de Ç2/i-a ^gt égal à

11,/^,, .{in — 1) 2.4-<*(2/i — 4) 1 ,

On doit multiplier ce coefficient par -s et enfin le changer de signe pour avoir y. Il vient, en définitive,

Observons toutefois que ceci suppose implicitement /i>o;

pour n == o, le résidu y est nul. On a donc

J = — jz pour n = o,

enfin

J = — 7=(/â — i) pour »=i;

I J =— - -p — S,*-H, I pour n = -2A:-+-i,

en appelant Sv la somme des v premiers termes de la série alternée

les sommes 82* et ?^2k^\ convergent, comme l'on sait, vers -=> les premières par défaut, les secondes par excès. C'est

là un résultat que vérifient les formules (2); en effet, Jest toujours positif et tend vers zéro quand n croît indéfiniment, ainsi qu'on s'en rend compte immédiatement.

Problème n*" 16.

Valeurs des intégrales

/■*■* dx r ' x^^ dx

i v^^i -h x)^{i — x) Jo \/a7(i — x^)

^ . . /•■*■* dx

Etudions d'abord Tintéffrale J== / .,

La fonction F(^)= , est uniforme à l'exté-

rieur d'une courbe fermée quelconque G entourant le segment — l'^'^^H-i de Ox; on s'en rend compte aussitôt

KXlÉRGlCES SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS. 4^5

en posant z= -^y et en observant que les trois détermînalions de la fonction F|(nz= ^ ^ ' sont holo-

morphes à l'intérieur de la courbe G^ transformée de G.

Ceci posé, formons le même contour G que dans le

problème précédent et partons du point rn{fig, 74) avec

Fig. 74.

la valeur Fi au radical, très voisine de l'unité. L'intégrale / F|(-5) rf>z étendue au contour G dans le sens direct,

est égale au résidu, pour ^ = 00, de la détermination correspondante F4(z) de F(z).

Représentons par e l'expression cos-^ -|-isin -r-* ra-

cine cubique de l'unité ; la seconde racine s^ est égale à

— (cos^ -h «sin^ V Soit de plus R(^) la valeur réelle du

radical pour une valeur réelle x de >3; en chaque point X — hi de m/i, le radical admet trois déterminations très voisines respectivement de R(^), £R(^), î.^\\{x)^ et c'est la première qui correspond à F<(^); quand on décrit le segment /?'/?', après avoir pivoté autour du point critique H-i, la valeur du radical,^suivie par continuité, est en chaque point x -h bi très voisine de eR(^), et la valeur

de F^(z) est très voisine de -rj^ — - ; enfin, quand on arrive

au aegment pm^ après avoir pivoté autour du point critique s = — I , la valeur du radical s'est trouvée multipliée

sensiblement par cos —^ -f- 1 sin ^ ou e* ; elle est donc

476 QUA-TRlÈMi: PARTIE.

sensiblement égale le long de pm à e2.e.R(x) ou à R(x), et Ton revient bien au point m avec la valeur initiale.

D'après cela, l'intégrale / Fi{z)dz tend vers

pn 4-1

dx

ou J, quand b tend vers zéro, en même temps que le rayon des cercles c et c' ; l'intégrale / Ft(z)dz tend

vers J. Enfin, les intégrales / F|(5)rfs étendues aux

arcs de cercles c et c', tendent vers zéro avec le rajon 0 de ces cercles ; car elles sont moindres respectivement

en modules que 27rp' et2up^* Nous avons donc

Y désignant le résidu pour .s = oo de F|(^), Pour calculer ce résidu, posons z = -9 on a

et — Y est égal à 3 > c'est-à-dire à — i, ou à — > ou

à -y- 5 suivant qu'on prend une des trois déterminations

du radical. Cherchons celle de ces déterminations qui correspond à Fi(z) : pour cela, partons du point m avec la valeur F^, décrivons le segment mn, l'arc de cercle nq jusqu'à sa rencontre avec O^, et éloignons-nous à l'infini, le long de qx : cela revient à partir du point O avec la valeur -f-i du radical, à suivre l'axe des x jusqu'au point I — p très voisin de i, à décrire au-dessous de 0:i? un

demi-cercle d^e centre i et de rajon p, enfin à s'éloîgner indéfiniment sur Ox. Dans ces conditions, on arrive au

point ï — p avec la valeur réelle R(^) =^0(7. — p)2,etau point I + p avec la valeur

On doit donc prendre pour JJ réel, positif et très petit, la valeur réelle du radical, multipliée par e^ ; autrement dit, la

détermination de y/(Ç-f- i)^(J^ — i) qui correspond à ¥i{z) est celle qui, pour S^ = o est égale à — £-. L'égalité (i) donne alors

A - 2tTC

ou bien

et comme on a

donc