ÉQUILIBRE D'UN POINT MATÉRIEL

Cas où le point est libre.

1. Tout sjstème de forces agissant sur un point matériel peut être remplacé par une résultante, dont la projeclion sur un axe quelconque est égale à la somme des projections des forces données. Si le point est entièrement libre, il y aura équilibre quand la résultante sera nulle ^ et pour cela il faut et il suffit que les projections des forces données, faites sur trois axes parallèlement aux trois faces d^un trièdre, aient une. somme nulle. Si toutes les forces agissent dans un même plan, il suffit d^égaler à zéro la somme de leurs projections sur deux axes pris dans ce plan.

Quand trois forces concourantes P, Q, R se font équilibre, elles peuvent être représentées en grandeur et en direction par les côtés d'un triangle (principe de Stévin) : chacune est égale et opposée à la résultante des deux autres ;

De S.-C. — Mec. I

IlECUEIL d'exercices

elles sont alors liées par les relations de la Trigonométrie; convenablement modifiées,

sin((^, K; sin(,K, P; sin(P,C^) Pî=Qî^Rî-i-2QRcos(Q, R)....

Souvent le point considéré est attaché à un fil dont l'extrémité est sollicitée par une force connue, ou fixée en un point invariable. Dans le premier cas, le fil se dirige suivant la force qui le sollicite, et sa tension est égale à cette force si Ton regarde le fil comme de masse négligeable 5 dans l'autre cas, la tension est inconnue a priori; mais, en exprimant que l'extrémité est fixe, on a une condition qui, jointe aux autres conditions de l'équilibre, permettra de déterminer la tension du fil et la position du point matériel. Quand un fil sans masse, en équilibre ou non, passe sur une très petite poulie ou dans un anneau parfaitement poli, les deux brins du fil ont la même tension : autrement le fil se mouvrait du coté où il est le plus tendu avec une vitesse infinie, ce qu'on ne peut admettre.

2. Résultante des attractions exercées sur un point M par des points fixes avec des intensités proportionnelles à la distance; position d'équilibre.

Soient x^ y, z les coordonnées rectangulaires de M ; Xi, r^, z^; X2, J'2, >32, ... celles des points fixes; Tj, r2,... les distances de ces points à M. L'intensité de la force exercée par le premier de ces points fixes a pour expression X| rt', et, comme elle est dirigée suivant la droite dont les cosinus

directeurs sont ^ •••> ses projections sur les axes

sont)^i(:ri — x), X, (vi — v), )v,(-3| — :;). On a des résultats analogues pour les autres points, et les composantes

de rallractîon totale sont

M serait en équilibre si l'on avait

XiO^i-l-XîiFî-f-,

Al -H Aj -+-...

^-iri-^^iJ"»-^'" - __ ?^l

Xi-H X.8j

Xj -t- Xj-f-,

Si Xi, ).2,. . . sont proportionnels aux masses des points attirants, on en conclut que la position d'équilibre est au centre de gravité du système de ces points : en tout autre lieu, le mobile est attiré vers ce centre comme si toutes les masses attirantes y étaient réunies.

3. Position d'équilibre d'un point M, attiré vers les trois sommets d'un triangle par des forces constantes, mais qui sont entre elles dans le même rapport que les côtés opposés aux sommets dont elles émanent respectii^ement.

On peut désigner les trois forces {Jig» i) par P = ).a

Fig. I.

suivant MA, Q = Xi suivant MB, R = ic suivant MC. La relation ^

P»=Q»-4-R»-4- 2QRcos(Q, R)

donne, en divisant tout par X',

a^z=z ^>»-h c^-h 2^>ccos(P, Q).

tu.

Comparant avec la relation qui lie a, i, c et A, on en

conclut

(Q, R) = EMF = 7r— A.

De même FMD = ît — B, DME = t: — C. Le point M ^

est à l'intersection des segments capables des angles tt — B, n

n — C décrits respectivement sur AC et AB. Soit A le plus grand des angles du triangle ; s'il est aigu, les deux segments se coupent à Tintérieur du triangle, car leurs tan- '^ gentes en A, faisant respectivement avec AC et AB les angles B et C dont la somme est ^ A, les segments empiètent Tun sur Tautre. 11 est aisé de voir qu'alors M est le point de concours des hauteurs de ABC ; car les quadrilatères inscriptibles AEMF, FMDB donnent

AFxM -h AEM = TT, AMF = AEF = ABC.

La dernière égalité prouve que le quadrilatère BCEF est inscriptible ; les angles AEM, AFM sont donc égaux ; nous venons de voir qu'ils sont supplémentaires : ils sont donc droits, et BE, CF sont deux hauteurs de ABC.

Lorsque A est obtus, les deux segments capables n'ont d'autre point commun que le sommet A; or le point attiré ne saurait y être en équilibre, même en supposant à la force P telle direction qu'on voudra; car les forces Q et R, dirigées suivant AB et AC, peuvent se représenter respectivement par des droites AC'=)^AC, AB'=:XAB : si l'on construit leur parallélogramme, la diagonale partant de A ne sera pas égale àB'C, c'esl-à-dire à XBC ou P; les trois forces ne se détruiront pas, et il n'y aura aucune position d'équilibre. Le point de concours des hauteurs de ABC serait une position d'équilibre si la force émanant du sommet A était répulsive.