Position d^ équilibre d'un poids C attiré vers deux
points pareils A, B, situés sur une horizontale, par des forces variant en raison in^^erse de la distance.
Soient a, i, c les côtés de ABC \ P le poids du mobile C^
les attractions qu'il reçoit de A et de B peuvent se repré-
^p ^p senter par — j — » X étant la distance pour laquelle Tat-
traction serait égale au poids. Égalons à zéro la somme des projections horizontales et verticales des forces agissant surC :
-7- ces A cosB = o, -r-siûAn smB — P = o.
0 a b il
r» 1 7 sinA sinB ,, .
Kemplaçons a cl b par c-^-- ? c -^-7;» et réduisons :
sm v^ sin L<
^ ^ /sinA sinB\ c
sin2 A = sm 2B, > - . - -f- . - = -.- — •
\sinB smA/ siiiC
Il y a deux solutions :
1° A==B, sinC=-.-.
Cette solution n'est acceptable que si c<^'i'k\ ABC est isoscèle, C étant susceptible de deux valeurs supplémentaires.
A= - — B, sinC^ri, p.
c = ).(tangA-4- cotA)= — -
siu:
— -9 sm2A=:= — 2A c
11 faut que c soit ^ i\\ à cette solution correspondent deux triangles rectangles symétriques par rapport à la verticale issue du milieu de AB.
Il y a toujours deux positions d'équilibre, et pas davantage.
HECUEIL d'exercices
Ce problème est un cas particulier du suivant :
Trouver les positions d'équilibre d'un point [x^ r) attiré vers des centres fixes (j:|,^i, jTj, j^j. . . .), situés dans un plan, avec des intensités réciproques à la distance et proportionnelles aux masses des points attirants.
Les coordonnées étant rectangulaires, m,- désignant la masse du centre x,-, ji^ les équations d'équilibre sont évidemment
Ces équations ont une interprétation remarquable : ajoutons-les, après avoir multiplié la seconde par — yj — i,
> rrii — . — ^ = y — =o.
Posons
z=zx-\-Xsi—i, Zi=.Ti-hXi\/-~i,
ce qui revient à définir chaque point du plan comme Taffixe de l'imaginaire z; Téquation précédente s'obtiendrait en égalant à zéro la dérivée de la fonction
Pour en déduire notre cas particulier, nous supposerons d'abord G non pesant, mais attiré par A et B et par un point H situé sur la perpendiculaire au milieu de AB ; on prendra cette droite pour axe des y, AB pour axe des x ;
alors .Zi =-,52= > Z3 = h \/ — i . Faisons ntt =7^2 = ),
et choisissons m^ de manière que, pour l'origine, les attractions de A et de H soient dans le rapport de
à P : on aura
2) T.'kh ,
— = j ma = h,
c cmz
La foDClion F (5) considérée précédemment sera ici
Égalant F' (-3) à zéro :
i\z{z — A/— i) -\- h Iz^ — tC^) =0.
Remplaçons z par x-^-ysJ — i, et séparons les parties réelles et imaginaires :
(2 X -i- ^) {x^ — y^) -\-i\hy — - Ac* =0, (2X4- h) xy — \hx^ o. Divisant maintenant par h et faisant h infini,
x^ — y^ -\- 'iXy — - c* = 0, xy — \x — o\
on en déduit les quatre positions d'équilibre trouvées géométriquement.
5. Un fil flexible, inextensible et sans masse estfl^xé à l'une de ses extrémités B : il porte en G un poids P qui y est attaché à une distance connue adeB; puis il passe sur une très petite poulie A située à la même hauteur que B ; enfin il porte un poids Q à Vautre extrémité, qui est libre. Quelle est la figure d'équilibre? Cas rfe P = Q.
La tension du cordon CA est, d'après une remarque faite au commencement, égale à celle de AQ, c'est-à-dire à Q ; le point G est donc en équilibre sous l'influence d'une force Q dirigée suivant GA, d'une force verticale P et d'une force inconnue T qui n'est autre que la tension du cordon CB. Ghacune de ces forces est proportionnelle au sinus de l'angle des deux autres .
cosB sinC cosA
8 BECUEIL d'exercices
Soit AB= c; on a, dans le triangle ABC,
. - c sin B , / I — cos* B sinC = — i — = ^1/ -T-. — i U'
- P cosB
Egalons à la valeur — — — qu'on déduit de (i), et réduisons : il vient
(2) 2acP2 cos^B — (a2P»-f- c'P'h- c»Q») cos^B -h cîQ»= o.
Les équations (i) exigent que B soit aigu, et aussi A si l'on veut que Tsoit positif; cette dernière condition exige
quecsoit^acosB, ou cosB< — • On ne peut donc prendre que les racines de l'équation (2) qui sont positives, inférieures à — ainsi qu'à l'unité. Le premier membre de l'équation (2) est positif pour cosB= o, négatif et égal à — P^(a — cy pour cosB = i; il s'annule toujours pour une valeur de cosB comprise entre o et i ; quand c est ^ a, cette racine est acceptable et donne une figure d'équilibre.
Lorsque c est <; a, il faut exprimer que la racine est <^
ou que le premier membre de l'équation est -< o pour
cosB = -; le résultat de cette substitution est a
les deux premiers facteurs étant positifs, il faut Q<< P : il j a alors une figure d'équilibre ; mais, si Q >> P, l'équilibre est impossible:^ le point C serait tiré jusqu'en A, et AC ne serait pas rectiligne comme on l'a supposé.
Dans le cas de P =Q, l'équation (2) pourrait être résolue, car elle admet la racine — ; mais il est plus simple de
remarquer que les équations (i) donnent alors
sinC = cosB, d'où C = - rh B.
Le signe + suppose c >> a ; alors
a cosaB
, cosB = — -(a-|-/a2-f-8c*).
c cosB 4 c
Quand c est <C a, on prend G = 7 — Bet ABC est rectangle
en A, alors T est nul, comme l'exige la verticalité du fil AC. Si le poids P était porté par un anneau dans lequel passerait le fil, on trouverait facilement
p T = Q, sinA =sinB = -—.
1. Position d'équilibre d'un point non pesant attiré vers deux points fixes suivant la loi de Newton.
2. Un point attiré suivant la loi de Newton par trois masses placées
en A, B, C est en équilibre au point de rencontre O des médianes
du triangle ABC ; déterminer le rapport des masses attirantes.
— 3 — 3 — 3 Elles sont inversement proportionnelles à OA , OB , OC .
3. Montrer qu'un point placé dans le plan d'un polygone et soumis à des forces perpendiculaires aux côtés et proportionnelles à leurs longueurs est en équilibre.
4. Les extrémités A, B d'un fil sont fixées en deux points d'une borizontale; déterminer les points C et D du fil auxquels il faudrait attacher deux poids donnés pour que, dans l'état d'équilibre, ABCD fût un trapèze de hauteur h, (Walton.)
Prendre les angles CAB, DBA pour inconnues auxiliaires.
Cas où le point doit rester sur une surface on tme courbe.
6. Quand un point sollicité par des forces F, F', . . est assujetti à rester sur une surface ou une courbe rigide et polie, il peut être en équilibre sans que là résultante des forces soit nulle; il suffit qu'elle soit normale à la surface
lO HECUEIL d'exercices
OU à la courbe 5 autrement dit, les forces représentées par les projections de F, F', . . . soit sur le plan tangent, soit sur la tangente, se font équilibre.
Soient X, Y, Z les sommes des projections de F, F', . . . sur trois axes rectangulaires-, pour que le mobile soit en équilibre au point J:, jy, z d'une surface ^{x^y^ ^) = o, on doit avoir
ix ^y <P5
Le point doit-il être en équilibre en un point d une courbe' sur laquelle les déplacements dx^ dj^ dz sont liés par les deux équations de la courbe, on a
(2) Xr/jc -\-Xdj + Zdz = o.
On peut résoudre les mêmes questions en traitant le point comme un point libre, pourvu qu'aux forces extérieures F, F', ... on adjoigne la réaction de la courbe ou de la surface; on n'en connaît pas la grandeur a priori, mais on sait qu'elle est normale : elle est d'ailleurs égale et opposée à la résultante des projections de F, F', ... soit sur la norjnale à la surface, soit sur le plan normal à la courbe. Quand le point doit être en équilibre sur une surface dans laquelle il ne peut pénétrer, mais dont il peut s'éloigner d'un certain côté, la résultante des forces F, F', ..., qui est encore normale, doit être dirigée vers la partie de l'espace où le mobile ne peut pénétrer; et Ton sait {Calcul dijfférentiel de M. Bertrand, p. 94) que la portion de normale tracée dans la région de l'espace pour laquelle cp(.r, jk? -2) >> o a pour cosinus directeurs
• è?i^ hir h^'z. v=-i-v/(?x)^-H(?:vr-^-(?i)^
Au lieu de chercher les positions d'équilibre d'un point sur une ligne ou une surface donnée, cherchons quelle doit être la nature de cette ligne ou de cette surface pour que le point y soit partout en équilibre sous l'action de forces données ; appelons, pour abréger, ces lieux courbes ou surfaces de niveau. Les équations (i) et (2) doivent être satisfaites pour tous leurs points; mais, au lieu de définir les surfaces par les équations simultanées (i), il revient au même de les regarder comme déterminées par l'équation différentielle totale (2) ; elle peut n'être pas intégrable : alors il n*y a pas de surface de niveau pour les forces données. Quant aux courbes, celte équation (2) ne suffirait pas à les définir : il faut se donner une surface sur laquelle elles doivent se trouver. Lorsqu'il s'agit de courbes planes situées dans le plan xy^ on fera z = o dans les équations qui précèdent.
7. Un point pesant est placé sur une ellipse dont le petit axe est vertical et exerce sur ce point une action répulsiv^e horizontale proportionnelle à la distance du point à l'axe : position d'équilibre, pression correspondante .
Les composantes de la force qui sollicite le point sont
L'équation de l'ellipse — -f- — = i donne
xcl.r ydr
La coudition X dx -H Yc/j = o devient
p.r Xnry
La solution x = o montre qu'il y a équilibre si le point est aux extrémités du petit axe^ la pression sur l'ellipse est
I 2 TIECUEIL D EXERCICES
le poids du corps. L'autre solution
Àû* ka
donne deux positions d*<îquilibre si la^^ pb, La pression exercée sur la courbe a pour composantes
a ces composantes sont de môme signe que les cosinus directeurs de la normale extérieure - cf'^, v ?r • ^^ point est donc appuyé contre la partie concave de l'ellipse.
8. Trouver dans un plan vertical une courbe de nweau pour un point pesant, repoussé de l'axe des j, qui est vertical, par une force ?.a:.
En tous les points de la courbe, on doit avoir
\xdx — pdy zizLQ'^
intégrant,
On a des paraboles égales, dont l'axe est l'axe des y; la pression est dirigée vers l'extérieur et égale à sj\^x^ +/^^-
9. Trouver dans un plan une courbe de niveau pour un point repoussé de V origine avec une force proportionnelle à la distance et sollicité par une force constante dirigée suivant la tangente du côté où. les rayons vecteurs des points de cette droite vont en diminuant.
■p Soient F la force constante, — la force émanant du pôle ;
leurs composantes sont — F-^y — F-r^et — ; — ; la con- * as as a a ^
SVK LA MÉCAA'IQCE RATIONNELLE. l3
dition d'équilibre devient, après avoir divisé par F,
On aurait aisément Tintégrale en prenant des coordonnées polaires*, mais, si l'on écrit l'équation sous la forme équivalente
<r£r fir
ds lis
elle exprime que la distance de l'origine à une normale quelconque de la courbe est égale à a ^ la ligne cherchée est donc la développante d'un cercle ayant pour centre le pôle et pour rayon a. La pression normale est égale à
elle est proportionnelle au rayon de courbure de la développante.
10. Position d'ctjuilibre d'un point pesant assujetti à rester sur une hélice dont l'axe est vertical; un point de l'axe repousse le mobile avec une intensité réciproque au carré de la distance.
Prenons le centre de répulsion pour origine, l'axe de l'hélice pour axe des r, et appelons a le rayon du cylindre qui contient l'hélice. Si la force répulsive est P à la distance c, ses composantes seront, pour la distance ^^-r- z^ ^
Pc»x Pc»7 Pf^z
(a»-hx»)' {a^^x'y (û»H-z»/
Pour tous les points de l'hélice, on a
xdx -\- jf dy = 0;
l4 RECUEIL d'exercices
la condition d'équilibre se réduit à Z= o, ou, en divisanl par P,
Posons «2 ^ ^2 __ n^ nous aurons l'équation
On ne peut admettre que les racines > a^. Or/(a^) et /(oo) sont positifs ; pour qu'il y ait une position d'équilibre, il faut que la racine positive de l'équation dérivée soit > a* et rende /(w) < o; cette double condition est comprise
dans Tinégalité c'^ -a*y/3. Si elle est vcriGée, il y aura
deux positions d'équilibre, et non quatre, parce qu'à chaque valeur de u il faut faire correspondre la valeur de z qui est positive. La pression exercée sur la courbe aura pour composantes
Pc'.r Pc'/
Elle est dirigée suivant la normale principale de Thélice, et, comme le reste, indépendante du pas.
1 1 . Troui^er sur une sphère une courbe de nweau pour un point pesant, attiré vers l'extrémité d'un diamètre horizontal par une force réciproque au cube de la distance.
Prenons pour origine le centre de la sphère dont le rayon est a, et faisons passer Taxe des x par le point attirant ^ les composantes de l'attraction peuvent se représenter par
Pc*(a — .r) — Pc'/
La condition d'équilibre en un point de la courbe cherchée
SUR LÀ MÉCANIQUE RATIONNELLE. l5
sera
Or
(a--a:)'-^^'^- z' = 2rt(a — x) et x dx -{- ydy -}- z dz = o;
donc
— dz = o, c^=^a{a — ^){'S — -o)-
Les courbes cherchées sont à double courbure et se projellent, sur le plan des xz^ suivant des portions d'hyperboles équilatères dont une asymptote touche la sphère au point attirant. La pression sur la courbe se calcule aisément pour chaque point :
H(Z — Z(i)^{7.Z^Zo)
12. Positions d'équilibre d'un point pesant assujetti à rester sur la surface d'un ellipsoïde dont le petit axe est vertical. Le point est attiré vers une extrémité de l'axe moyen par une force proportionnelle à la distance, et qui serait égale au poids du point s'il était au centre de la surface.
Prenons le grand axe pour axe des x, l'axe moyen pour axé des y^ l'autre pour axe des z ; l'équation de l'ellipsoïde sera
/pî yt ^1 ^
Les composantes de la force qui sollicite le point (x, y, z sont
bob
l6 RECUEIL d'eXEKCICES
Par suite, les équations d'équilibre sont, en multipliant
b par — -,
. or y — b z -^ b
Ce sont précisément les conditions pour que la nonualc à rellipsoïde en x^j^ z passe au point S dont les coordonnées sont o, i, — i. Le résultat pouvait se prévoir, car les valeurs de X, Y, Z montrent que la force attractive et la pesanteur se composent en une attraction aussi proportionnelle à la distance et émanant de S.
Les équations (i) se réduisent à une seule en faisant x=^o\ mais on ne trouve alors que deux systèmes de valeurs réelles pour y q\ z\ car on ne peut mener que deux normales à la trace de l'ellipsoïde sur le plan jz par notre points qui est extérieur à la développée de cette trace. Dans Tune des solutions, la valeur de z est négative \ dans l'autre, positive; comme la composante Z de la pression sur l'ellipsoïde est toujours négative, il en résulte que dans la première position le point est pressé contre le côté concave de la surface, dans l'autre, contre le côté convexe.
En supposant x\o^ les équations (i) donnent deux nouvelles positions d'équilibre à l'intersection de l'ellipsoïde et de la droite
b^ bc"
Ces points sont réels si a*(rt' — 2 &*)(«' — c*)*>i*c*(a* — &*)'; le point y sera pressé contre le côté convexe de la surface ; en sorte que, si le mobile était posé dans l'ellipsoïde, il n'aurait qu'une position d'équilibre.
