II

donc, eu égard à l'orthogonalité des surfaces coordonnées,

8L(X-Ha2)2 (X -H 62)2 "^ (). c2)2j

' 8[({A — a^)^ ■ (6=*— (JL)^ "'" (c2-t-{JL)2j '^ '

Jacobi obtient les coefficients de V^ et de [jl'^ en differentiant ridenlilé (i) par rapport à u et faisant dans le résultat u égal à — X ou à /ut : on trouve

8(X -+- a^'jCX -+- 62)(X — c2) 8(îx — a2)(^î [x)(c2-+- jx)

On forme, comme dans les problèmes précédents, la fonction H d'Hamilton, qui ne contient pas t explicite-

55o RECUEIL d'exercices

ment; on est alors conduit à l'équation de Jacobi

.,(\ ^ ai)(i ^b'i)(i ^ r.i) /dey

X(X-4-(Ji) " \àX/

-h itoî(X — 11.)+ -w2(aM-62— c2) — /i = 0.

En multipliant par ). + [Ji, on peut encore dédoubler Téquation en deux parties dont l'une ne renferme explicitement que )., l'autre [jl, et l'on trouve une intégrale complète formée de la somme de deux fonctions ,

v/(X-i-a2^(X-+-^;2>.(X — c2) d\x \/(JL ( 0)2 (x*^ -i- 2 X* jx — a)

9Y(jJi-rt2)(^,2 Jj.)(c2-f-jx)

A" désignant, pour abréger, la somme h iù^ia^-^- 6* — c^).

Les équations du mouvement sont encore

Nous ne considérerons que la première, ou plutôt sa différentielle

dCkyjl

, . v/(X-+-a2)(X-+-62)(X--c2)(cï-r2A:X — a>2X2)

dix s/ Il

V/(fJL — a2)(62— |x)(c2-t- Jl)(a)2jJL2-^ 2A-(JL — «)

Les facteurs binômes qui figurent dans les dénominateurs sont essentiellement positifs; il faut donc que les deux trinômes

/•(X) ~ a-\- a/cX — 0)2 X-', ç(|jl) = 0)2[X2-1- 2/- [A— a

soient de même signe; or leur somme est

(X-hH^)[2A:-toî(X-[x)]; h est la constante des forces vives et l'on a

(7) 'ik =^ 2/i — t02(a«-h62— C«)= i^2 j(02(X — jjl),

/(X)^-cp({i.) = (X-h(x)i.'-.

Cette somme est positive: fÇ^) et o{^) doivent être positifs; X ne peut prendre que des valeurs comprises entre les racines /, l^ de l'équation fÇK)=^o\ [jl doit au contraire être pris en dehors des racines de cp(|jL) = o et l'on voit que ces racines sont — / et — /,. Nous devons calculer /, l^ et, pour cela, nous servir des conditions initiales : yo étant nul, (jlo doit être égal à b^\ /'o étant égal à 6, l'équation (3) nous donne

Xo= o'^H- 62— a2. #

Un arc infiniment petit MM' de la trajectoire est la diagonale d'un rectangle dont les côtés sont des éléments des lignes de courbure correspondant aux valeurs de \ et de [A qui conviennent au point M; l'expression (5) de T montre immédiatement que les carrés de ces côtés ont pour

valeurs

fx(X -t- \L)d\i>

ds\ =

4(HL-a«)(62~{i.)(c2-f-{i.)

Le rapport de ds^ à ^52 représente la tangente de l'angle iù que fait au point M la trajectoire avec la ligne sur laquelle \ est constant; mais, en vertu de l'équation (6),

il se réduit à -^=J« Or, au point de départ, w est nul; il

v/cp(HL)

552 RECUEIL d'eXEECICES

faut que 7 (a) s'annule; Tune des racines /| est donc égale à Âo i l^autre racine est

2 A' se déduisant de l'équation (7), appliquée à l'instant initial.

Nous pouvons écrire l'équation de la trajectoire sous forme explicite :

, y/— il -^-'aV)( X -r- 6»){X - cî)(X — Xo) (X — /) \ / /

é/[^vV

V'(jx-a»)(6-^-HL)(c»+fx)(fx-^Xo)(îx-r-/)

Le paramètre jjl, compris entre a^ et 6^, est toujours

> )vo, mais il doit aussi être au moins égal à -^ /; la

forme de la trajectoire dépend de la grandeur de /. Si 1 on a

)v varie entre ).o et /, jjl entre à^ et b"^: la trajectoire, comprise entre les lignes de courbure correspondant à X = X© et à )v = / d'un même côté de l'ellipse de gorge, fait une infinité de fois le tour de l'hyperboloïde : elle se confond avec la ligne de courbure \=:.\q si / = Xq,

pour / = c^, elle est asymptote à l'ellipse de gorge.

Quand / est compris entre c^ et — a^, [jl peut encore prendre toutes les valeurs entre a^ et b^ et la trajectoire fait encore une infinité de tours sur la surface, mais elle coupe le cercle de gorge et est comprise entre les deux lignes de courbure correspondant à X^r^rX^. Le cas de /=o, (^J=:a>2^2^ gst remarquable: la trajectoire est la

section circulaire qui passe par la position initiale et on s'en rend compte directement; quant à l'équation (7), elle est vérifiée si l'on fait

ce qui est l'équation des sections circulaires.

Enfin, si / est compris entre — a^ et — 6^^ ^2 gjjtre (0^(6^ — a^) et zéro, |jl doit varier entre — / et 6', )w entre Xo et c^; la trajectoire est renfermée dans un quadrilatère curviligne formé par les lignes de courbure correspondant à X =: Xq et jjL = — /; elle est asymptote à l'hyperbole située dans le plan des yz pour / = — a^ ; pour / = — 6-, le mobile ne sort pas du plan des xz,

1. Une barre pesante et homogène AB peut tourner autour de son extrémité A ; l'autre extrémité est soutenue par un fil de longueur / qui passe sur une poulie 0 située verticalement au-dessus de A et se termine par un poids P : déterminer, dans un plan vertical passant par OA, une courbe G sur laquelle il faudrait faire glisser P pour que le système fût en équilibre indifférent; il n'y a pas de frottement.

Soient AOP = 0, OP = r, OA = a, AB = 2/, Q le poids de la

barre :

Q/î 2(Q/ — iV a cos6)r = const.

2. Une barre pesante et homogène AB, de masse /n, de longueur 2 a, s'appuie sur une horizontale OX et sur une verticale OY : chacun de ses éléments est attiré vers le point O par une force qui varie suivant la loi de Newton et qui serait égale au poids à la distanc e

-— : positions d'équilibre, stabilité. (W. Walton. )

On calculera la fonction des forces

nxga

4sine-L[cot^ang(^±|)]j

on prend le signe rfc suivant que l'angle 0 de AB avec l'horizon est^o : tang 6 est donnée par une équation du troisième degré.

,*{. Positions d'équilibre d'une planche carrée, de côté 2c, soutenue par un fil de longueur 2/. qui passe sur une cheville horizontale et dont les extrémités sont fixées en deux points situés sur un côté de la planche à la distance a du milieu de ce côté.

Si le côté auquel le fil est fixé fait l'angle 0 avec l'horizon,

oU = 2P sin6 — c ô6;

Ly//2^2cos2 0 J

la position correspondant à 0 = o est stable si c'est la seule qui convienne à l'équilibre : sinon, instable.

A. Mouvement d'un point pesant dans un plan qui tourne uniformément autour d'une de ses horizontales.

r>. Déterminer la forme que peut prendre un fil pesant et homogène dont chaque point tourne avec une vitesse constante to autour d'une verticale OZ, une extrémité du fil étant fixée en 0.

(Gilbert.)

Equations d'équilibre entre les forces extérieures agissant sur un fil et les forces d'inertie :

ici x" — — oi^x, y-^ = — ^^y, -s" — o ; si £ — i , d/ï'I^=.-i,i^xds, d.T ^ = - io'^r ds, d,T^ = ~^ds;

ds ds ^ ' dg ^ y

le fil est dans un plan qui tourne avec la \itesse o) autour de OZ, et la courbe qu'il décrit dans ce plan a pour équation

Tq — gz -^ — i.ti'^\dz = g{l — s) ds,

6. Calculer, à l'aide des équations de Lagrange, les composantes de l'accélération suivant les normales à un système de surfaces triplement orthogonales dont les paramètres sont pi, p2> P3.

La portion de normale comprise entre les surfaces pi et pi -\- dpi

est égale à — -^; soit hi= • La force vive d'un point de masse

Al pi Al Pi

soit J/. l'accélération suivant la normale à p/ : on a

^(AJ p,)- P.^ A, ^ - p.^ A, — - p,^ A, ^ = J,A,.

7. Mouvement de deux sphères homogènes pesantes dont les éléments s'attirent proportionnellement aux masses et aux distances: l'une, de poids 5, ne peut que rouler sur un plan horizontal; l'autre, de poids 21, est libre; à l'instant initial, les vitesses sont nulles et la composante verticale de l'attraction résultante est égale à 4^. (Cacn, 1880.)

Equations de Lagrange; la sphère libre décrit un arc de parabole; le mouvement est périodique.

8. Mouvement d'un point M assujetti à rester sur un cône et sollicité par deux forces : Tune égale à ^ est dirigée vers le sommet

O, l'autre égale à ^ est dirigée suivant la perpendiculaire MN

MN abaissée sur une droite fixe OZ; A et B sont des constantes.

2T est de la forme r'^-h QV^r^, r étant la distance CM, X un paramètre qui détermine chaque génératrice, Q une fonction de X. Voir une Note que j'ai publiée en i885 dans le Journal de Liou-ville.

9. Petites oscillations d'un tube étroit, de forme circulaire, pouvant tourner dans un plan vertical autour d'un de ses points O et renfermant dans son intérieur une bille pesante.

Soient (x, m les masses du tube et de la bille, C le centre du tube, 6 l'angle de OG avec la verticale, cp le supplément de OGM :

T= {xR2 0'2+mR2/'2 0'2cOS2 2 H içp'2^2e'cp'c0S2?V

au :^ — ;jL^R sineae — m^R[sinG80 h- sin(e -f- cp)(80 h- 8cp)].

En négligeant les termes du troisième ordre en 6 et cp, les équations de Lagrange deviennent linéaires.

10. Appliquer l'équation de Jacobi et les coordonnées elliptiques à la recherche des lignes géodésiques de l'ellipsoïde. — Voir n° 170.

11. Chaque élément d'un fil homogène est sollicité par une force dont les composantes sont -y— ds^ -7— ds^ -r- ds, en sorte que la ten-

5S6 RECUEIL d'exercices

sion est égale à — (U -4-A); démontrer que les équations d'équilibre sont de la forme

6i désignant une intégrale /(ar, j', z^ a, p, h) de l'équation

(Appell, Annales de la Faculté de Toulouse, i886.) Démonstration analogue à celle du théorème de Jacobi : on

trouve d'abord -r-^ = (U -l- /i)—-~ — T -=- , ... ; on différentie en

ôx ds ds

tenant compte de ce que 6| est une intégrale et on arrive aux

équations bien connues de l'équilibre.

12. Mouvement d'un point pesant sur un paraboloïde elliptique

dont l'axe est vertical et le sommet au point le plus bas.

(De Saint-Germain, Journal de Liouville, 1878.)

a?* r* , II.

h - = 'xz représentant la surface, on pose

xt yî x^ r*

;j \- —^ =::A— 22, = 25 — UL,

^ < jjL</> < X. Équation de Jacobi : trajectoire

d\ vA . d\L \/\i.

f{u)= gu^—(ih-^gp-^gg)u-^a,

f(u)=q a une racine supérieure à/?, une entre p cl q\ — /(X) et /((jl) doivent être positifs.

APPENDICE A LA CINÉMATIQUE.

exercices sur le mouvement d'un solide.

1. On fait rouler une courbe plane i** sur une droite, 2° sur une courbe égale et constamment symétrique : les rayons de courbure des lieux décrits par un point M et la normale MI forment une progression harmonique; les rayons de courbure de l'enveloppe d'une droite et la normale IN forment une progression arithmétique.

Il suffit d'appliquer les formules de Savary.

Ik/ k/

2. Lieu (lu sommet (runc parabole qui roule sur une parabole (^gale et symétrique : enveloppe de l'axe; lieu du centre des accélérations en supposant que la parabole mobile ait une vitesse angulaire constante.

Premier lieu une cissoïde; le second défini par les équations

37 = — cot* u — ip cos^ tt, y=ip cot u cos^ u ;

le lieu des centres est la directrice de la parabole fixe.

3. Un segment de droite reste tangent à un cercle tandis qu'une de ses extrémités A glisse sur une tangente fixe à ce cercle : lieux du centre instantané dans l'espace et sur la figure mobile.

(Besançon, 1884.) Deux paraboles égales ayant pour foyer, l'une le centre du cercle, l'autre le point A. — Voir n* 108.

4. Équation différentielle de l'épicycloïde engendrée par un point d'un cercle de diamètre b qui roule sur un cercle de rayon a ayant son centre fixe en O. Lieu décrit par O quand on fait rouler l'épicycloïde sur une droite fixe.

Si fi. est l'angle de la tangente à l'épicycloïde avec r, on a

cos*fJL sin'fji i 5^^^ (a-^ùy r^ — a*

pour passer au lieu de 0, la première donne

~, -7-; -^ / — '■ — T-n = ^ ellipse, a* cij:^ {a -i- b)^ ^

5. On considère le mouvement de la figure formée par une tangente à une spirale logarithmique et le rayon vecteur qui aboutit au point de contact : lieu des centres instantanés dans le plan fixe et sur la figure mobile; cercle des inflexions. (Paris, 1886.)

1" Une spirale égale à la proposée. 2° une droite. Va — rcot^fi.

6. Une figure plane se mouvant dans son plan, trouver le lieu <les points dont l'accélération, à un instant donné, va rencontrer un point donné. (Paris, i885.) — Cercle.

7. Un cercle roule sur un cercle de rayon égal, de manière que sa vitesse angulaire soit constante : déterminer 1° l'accélération du point en contact avec le cercle fixe; 'i° le centre des accéléra-

'558 RECUEIL d'exeucices

lions; 3** le lieu des points qui décrivent des courbes convexes d'aire donnée; 4° le centre de gravité du limaçon décrit par un point de la circonférence mobile en supposant la densité en chaque point proportionnelle à la courbure. (Paris, i88i," 1882.)

i" - 0)2 R — 3" cercle — 4" au centre du cercle fixe.

8. Une extrémité A d'une droite de longueur / se meut sur un rercle,de centre 0 et de rayon a, pendant (jue l'autre extrémité B glisse sur. une droite OX; lieux du centre instantané I dans le plan et par rapport à AB.

Si dans le plan 01 = r, lOX = 0; (r^ — iar)cos^^ = l^^ a^; relativement à AB, le lieu est une conclioïde de conique :

AI = p, lAB — w; /- — ap-\-l{a — o)cosw = o.

y. Lieu décrit par le pôle d'une spirale logarithmique qui roule sur un cercle (développante); par le centre d'une hyperbole équilatére qui roule sur une droite. (VV. Besant.)

10. Enveloppe d'une droite liée à une chaînette qui roule sur une droite (développante de parabole). (W. Besant.)

H. Montrer que la normale au lieu C du sommet d'un angle droit circonscrit à une conique passe au centre de cette courbe; en déduire la nature de la courbe G. (Chasles.)

12. Une droite se meut dans un plan de manière que ses extrémités glissent sur deux axes rectangulaires et que son milieu ait une vitesse constante : lieux des points dont l'accélération totale, tangentielle ou centripète, a une valeur donnée : — Un cercle, — Deux limaçons. (Caen, i885.)

13. Un triangle isoscèle AOB tourne autour de son sommet 0 : montrer que la vitesse du point A estimée suivant OB et celle de B suivant OA sont égales et de signes contraires. (Paris, 1880.)

I i. Dans un solide animé d'un mouvement quelconque, déterminer les points dont la vitesse passe en un point donné; cône dont les génératrices sont dirigées suivant ces vitesses. — Cône droit. (Paris, 1886.)

15. Sur une sphère de rayon i, les extrémités A, B d'un arc de

SUR LA. MÉCANIQUE RATIONNELLE. SoQ

grand cercle égal k ia glissent sur deux arcs de grands cercles rectangulaires OP, OQ; déterminer le lieu des axes instantanés dans l'espace et par rapport à la figure mobile.

G étant le centre de la sphère, GO l'axe des Zj on a pour le premier lieu

{x^-{- z^){y^-h z^)cos^7.a = z'*;

relativement à la figure mobile, l'axe des z étant bissecteur de AGB, et le plan de cet angle étant celui dcsyz,

y^z=(z^sin^a — a?2cos*a)cos2a.

16. Les vitesses des divers points d'une droite mobile AB sont dirigées suivant les génératrices d'un paraboloïde ; leurs projections sur AB sont égales. Déduire de la seconde propriété une relation nécessaire entre les directions a, p, y des vitesses de trois points A, B, G d'un solide.

cos(a,AB)cos(P,BG)cos(Y,GA)=cos(a,GA)cosO,AB)cos(Y,BG).

17. Soient OX, OY, OZ trois axes rectangulaires : un plan S, qui coupe toujours OZ au même point H, se meut de telle sorte que deux de ses points, A et B, glissent sur OX et sur OY; déterminer l'axe central pour une position quelconque de S.

Soient a, h les longueurs AB, OH, cp l'angle de OX avec la perpendiculaire abaissée de 0 sur AB : le mouvement élémentaire de S résulte de deux rotations, l'une égale à cp' autour de la parallèle à OZ menée par le quatrième sommet du rectangle construit sur

OA et sur OB; 1 autre, égale a-7-arctang i i-? autour de

AB : on sait les composer.

18. On suppose que le centre de la Terre décrive uniformément un cercle autour du Soleil tandis que la Terre tourne avec une vitesse constante to autour d'un axe de direction invariable passant par ce centre : déterminer les surfaces décrites par les axes de \Iozzi dans la Terre et dans l'espace.

Soient a le rayon de l'écliptique, (x la vitesse angulaire de ce rayon, z l'obliquité de l'écliptique : dans la Terre le lieu est un cy-

lindre elliptique dont la base a pour axes — — et — — coss ; dans

l'espace, c'est un cylindre ayant pour base l'épicycloïde décrite par un point à la distance ^— sin^ - s du centre d'un cercle de rayon

.*)tH> RECUEIL D^EXERCICES

i*j 'X 'in ^ i , , , lii^o . z

- - ' • ^ — cos' - roulant sur un cercle de rayon — r-i cos* -

19. DéfermiDer Taxe 01 autour duquel il faudrait faire tourner uu trièdre irirectangle OXYZ pour Tamener à coïncider avec uii trièdre û\e OXiY|Zi, ainsi que Tangle û de la rotation (Caylky).

01 est le lieu des points <lont les coordonnées x,j^^z\ Xxyx, z^ sont égales et Ton trouve

j -^„ I -T- cosXOXi — cos YOYi — cosZOZi cos lUX- 3^ cosXOX7^~^;^Y0Yi - cosZOZi '

4 cos' -il—. I -- cosXOXi -r cos YOYi -h cosZOZ^ •

20. Lorsqu'une droite D d'un solide e«t tangente à la trajectoire d'un de ses points A, la droite conjuguée D' est tangente à la trajectoire d'un point B et la droite AB est orthogonale à Taxe central ; les droites D, D' sont perpendiculaires l'une sur l'autre. Les vitesses des divers points de D sont contenues dans un plan P et tangentes à une parabole dont le foyer est le point ^^ foyer cinématique du plan P.

Les formules du n' i26 permettent d'obtenir ces résultats.

2i. Quand le lieu des axes de Mozzi dans l'espace est une dcveloppable, il en est de même pour la surface qu'ils engendrent dans le solide ; si ces surfaces ne sont pas cylindriques, l'hélice osculatrice à la trajectoire d'un point du solide est tracée sur un cylindre droit de rayon constant. (Gesaro, Nouvelles Annales, 1887.)