CL C
Égalons ce travail à zéro, divisons par tdx ^ et faisons ^(sina -i- siii/3) = /«* :
d'*.T L:rt'a:4-g^sinp = o.
Les intégrales sont
dx ,
dt ^ '
û' sma4-smp
on peut toujours supposer, en prenant pour notre premier
5f>.4 RECUEIL d'exercices
plan incliné celui sur lequel la chaîne descend d'abord, que la, valeur initiale de — soit P'© ^ o-, les constantes sont déterminées par les relations
a sin a -h sin p
On a toujours A ^ B. Si A >» o, la vitesse ne s'annule pas, et toute la chaîne passe sur OP-, ensuite son mouvement devient uniformément accéléré; mais, si A <^ o, la vitesse s'annule quand Ae**' = Be"''*; alors on a
sm p -t- sin a
La chaîne n'est pas tout entière sur OP; après s'être arrêtée, elle rebroussera chemin et continuera indéfiniment son mouvement sur OQ. La tension en O est à un instant quelconque
d'.r ts^.ril — .r) (sina H- sinB)
t ;'*x sm a — e v — — =z ^ '-^- '-- ;
df" l '
son maximum a lieu quand x = -f alors
T =: y g gl [sin OL H- sinp).
Pour que la chaîne fût en équilibre, il faudrait avoir
/sJDp sma -h smp
et la tension en O serait
eW sina sin 3
e^arsina = ~. v—^-l
sina -f- smp
cette tension est moindre que la précédente.
Équations de Lagrange.
241. Soient gr^, q^y ..., y,,, « quantités dont les valeurs peuvent déterminer à chaque instant la position des différents points d'un système matériel : les coordonnées x, y, z de chacun de ces points s'expriment par des fonctions connues de q^^ q^t ..., qn pouvant aussi renfermer t explicitement, comme cela arrive lorsque les liaisons varient avec le temps. Pour déterminer le mouvement du système, on est conduit à transformer l'équation générale de la Dynamique,
en remplaçant les x^ y^ z et leurs variations par leurs valeurs en fonction de ^, des qi et des 8^/. Le second membre, qui représente le travail correspondant à un déplacement virtuel du système, se transforme, par un calcul direct sur lequel il n'y a pas de remarque générale à présenter, en une expression de la forme Q^Sji H-Q285^2 H-'--4- Q«8gr,^; mais, au moyen d'un calcul tout à fait général, on peut obtenir pour le premier membre de l'équation (i) une transformée remarquable ; désignons par des lettres accentuées les dérivées totales relatives au temps : la demiforce vive T du système peut s'exprimer en fonction explicite de ^, des qi et des qi et l'équation (i) donne
S'il existe p relations entre les qi^ on en pourra déduire les valeurs de p variations en fonction des n — p autres et,
SaG RECUEIL d'exercices
après les avoir substituées dans Féquation (2), on égalera à zéro le coefficient de chacune des variations restantes; mais, le plus souvent, les variables q^^ q^^ ... sont indépendantes et il faut égaler à zéro le coefficient de chacune des variations, ce qui conduit à un système de n équations simultanées du second ordre, de la forme
dt dq'i dqi ~ ^' '
ce sont les équations de Lagrange.
Quand il existe une fonction des forces, c'est-à-dire une fonction U àe x^ y^ z^ x^^ ... dont les dérivées partieBes
■r- > -T— > -T-j -^ — > ••• sont égales, en tenant compte des
liaisons, aux composantes X, Y, Z, X^, ... des forces motrices, le second membre de l'équation (1) est une variation exacte SU ; mais, U étant exprimé en fonction des ji, on a
il faut que Q/ soit égal à -j— et les équations de Lagrange prennent la forme
d dT d^ d\}
dt dq'i dqi ~ dqi
La fonction U peut contenir t explicitement sans que cela change les résultats précédents, puisque, pour prendre les variations, on regarde t comme une constante.
Quand les expressions des x^ y, ^5^1, . . • en fonction des qi ne renferment pas t explicitement, T est une fonction homogène du second degré des q^ ; si, en même temps, il existe une fonction U ne contenant pas ^, l'intégrale des forces vives existe et peut se déduire des équations (2).
242. L'emploi des équations de Lagrange constitue une méthode très générale pour la résolution des problèmes de Dynamique et j'engage le lecteur à l'appliquer à ceux qui ont été résolus dans les Chapitres précédents ; j'en reprendrai un seul, celui du n° 179. La position du mobile est déterminée par la valeur de r et les Çi se réduisent à cette unique inconnue. Prenons des axes fixes 0X|, 0Y4y OZ| qui coïncident avec les axes mobiles du n** 179 quand OA est dirigé suivant la verticale ascendante : les coordonnées absolues de M s'expriment en fonction de t et de r par les formules
Xi = rcos«p, yi = rsintp cosoj^ — asintatj Zi = r sincp siaco^ -+- acostat.
On a donc
= — ( r'* — 2 ar' to sin «p -h r* to* sin* «p -f- a* to' ),
àT , , .V àH • • •
— -; = mir — aoi sin<p), -r— = mroi^ sin'©.
dr ^ ^ or '
Le travail virtuel de la seule force extérieure, le poids Je M, est
8U = — mg Bzi = — mg sincp sincu^ 8r,
it le mouvement est déterminé par l'équation
dt
m—z mrto* sin*cp = — m^ sincp sinco^;
3'est précisément celle que l'on a discutée (179) : quant à la réaction du tube, elle ne nous est pas donnée par la méthode actuelle ; mais l'effet de cette méthode est justement de l'éliminer ; d'ailleurs, la connaissance du mouvement ne ferait que simplifier sa recherche ultérieure à J'aide des théorèmes généraux.
2i3. Mouvement d*un parallélogramme articulé ABCD assujetti à se mouvoir dans un plan verticalautour d^ un point fixe O situé au milieu du côté AB: les côtés sont des barres pesantes et homogènes ; AB^ CD ont pour longueur ia^ pour masse p ; BC et DA, de longueur 2 6, ont chacun une masse égale à q ; enfin^ il n*y a pas de résistances passives, (Question de Jicence ^énéralisc^e.)
La position du parallélogramme est déterminée par les angles 0 et cp que la verticale descendante fait avec les droites AB, DC d'une part, BC, AD de l'autre. La force
viviî du côté AB est r/^a^Q'-; le théorème de Kœnig donne
(.i/>î»cp'--l- la^^'Ap pour celle de CD ; soient E, F les milieux de \M\ et de AD : la somme des forces vives de ces (lru\ droites ^s'obtiendra en ajoutant ô5^^^f ' ^ '^ ^^^^^
vive de deux masses égales à q et coïncidant avec les points K vi V ; or le théorème de Kœnig donne encore pour cette force vive 2^(6^^" 4- a- 9'^). On aura donc pour la force vive de tout le système
2T =^ ^462cp'2+. ~a«Ô'2^ -\~iq ("a^Ô'^-t- |6«cp' d'où
<>e' 3 ' ()»' ~ " 3 * ? ' <« -" do
Il existe une fonction des forces U égale au* produit du poids total, i{p -h q)g, par la dislance du point 0 audessus du centre de gravité, situé au milieu de la médiane EF : on a donc
L ='x(p'hq)gbcos^^, ~d^^^' ^ =-l{p-¥q)gb%\Xi'!>'
Les équations de Lagrange sont au nombre de deux :
dt\ 3 di (4 ^"^^^^^?0 =— 2(/?-l-5')^6sincp.
La première montre que 6" est nul ou 6' constant •, les côtés AB, CD tournent avec une vitesse constante : on a, d'autre part,
<5?* CD 3 n -4- ûT g .
la direction des côtés BC, AD varie comme celle d'un pendule simple de longueur e^ — ^ b. On serait parvenu aux
mêmes résultats en appliquant le théorème des forces vives et celui des moments des quantités de mouvement ; mais on rencontre dans cette voie une discussion assez délicate dont la méthode de Lagrange a le grand avantage de nous dispenser.
244. Un tube circulaire très mince est assujetti à p^ester dans un plan vertical et à rouler sans glisser sur une horizontale de ce plan ; une petite bille M peut se ^nouvoir sans frottement à V intérieur du tube. Déter- ^liner le mouvement du système en supposant nulles les 'vitesses initiales du tube et de la bille.
Je prends pour axe des x Thorizontaie fixe, pour axe desj^ la verticale qui passe par le point de contact initial de l'anneau avec OX. Soient, à Tépoque t^ G le centre du cercle, CI le rayon, de longueur a, qui aboutit au point de contact avec OX, A le point de la circonférence qui a été le point de contact primitif, 6 l'angle ICA, ç l'angle ICM ; je suppose CM et CA situés de part et d'autre de CI. L'abscisse de C est a6 ; les coordonnées de M sont
(i) a? = a(ô -f- sin<p), y =i a{\ — coscp);
Db s. -G. — Rec. 34
53o RECUEIL d'exercices
m élant la masse de la bille, sa force vive est
m(ar'« -+-/«)= ma*(0'*-+- cp'«-f- îO'cp' coscp).
Le mouvement élémentaire de l'anneau est une rotation autour de I avec la vitesse 6' ; [jl désignant sa masse, le moment d'inertie par rapport à une perpendiculaire à son plan, menée au point I, est 7.^a^ ; on a donc
T = ;^ /na«(Ô'^-^ cp'« -4- 26' cp' cosç) -+- fia» 6'».
Nos variables q sont ici 6 et ç>, et les dérivées partielles
- = //ia*(6'-h «p'coscp)-}- 2jjLa*0',
—, = ma* (cp' -h 0' cos«p), ^ =— ma*ô'cp'sins».
Comme le tube ne glisse pas sur OX, la force de frottement qui se développe en I ne produit pas de travail vi^ tuel pour un déplacement compatible avec les liaisons, et 8U se réduit ici à — mg 8/ = — mga sin» o'^. Les équations de Lagrange deviennent
- [ m ( 0' -h cp' coscp)-}- 2fJL6'] = o, al -j--^ coscp— - J -|-^sino=o
On en déduit l'intégrale des forces vives ; a étant la valeur initiale de cp,
(2) /na(6'2-h <p'2-i- 2 6' cp' coscp) -h 2(1 a 6'* — 2m^(coscp — cosa) = <>•
Quant à la première du groupe, elle s'intègre toujours; mais, s'il n'y a pas de vitesses initiales, les intégrales se simplifient : on a d'abord
(3) m(0'-f- cp' coscp) -j- 2{jlO' = o; une nouvelle intégration donne
(4) m(e -4- sincp) -f-2|A0 — msina.
Si Ton élimine 6' entre les équations (2) et (3), on trouve
' 5 ) 6' = — ^?'^^^? ' = -H 1 A^ (/n-f-2fA)(cos(p — cosa)
/n-H2(i' ' y/ a /n sin^cp 4- 2[x
Il est évident que cp diminue d'abord : il décroîtra jusqu'à — a ; pendant ce temps, 6 croît de zéro à 9^ =
im sina
m -h 2JJL
j: décroît de a sina à -a sina ; y va dea(i — cosa) à
m -h ajjL '«^ ^ /
zéro, puis revient à sa valeur primitive. Dans un intervalle
de temps égal au premier, <f , 9, or, y varient dans un sens
opposé, et Ton aune série d'oscillations. La trajectoire de M
s'obtient en éliminant o et. 0 entre les équations (i) et (4) *
c'est une ellipse tangente à OX et dont le grand axe est vertical ; mais il n'y a de parcouru que Tare au-dessous de la droite j^ = a(i — cosa).
Quand on suppose [a = o, la seconde équation (5) donne
sincp^cp
^ V^coscp — cosa
on prend d'abord le signe — et on a l'intégrale
4 / — = /cos cp — cos a ;
mais il se présente une singularité analogue à celle qu'on a rencontrée n® 128 : l'intégrale ne convient plus lorsque t
dépasse la valeur 2 i/— sin- a ; il faut alors changer le signe du radical et la constante d'intégration.
245. Un fil sans niasse, fixé à Vune de ses exfrémités O, porte deux petits poids A, B, attachés à des
532 RECL'EIL D^EXERCICEâ
distances dijfférentes du point O ; déterminer les oscillations du système, quand on l^ écarte de sa position d^équy,ibre, de manière que les deux portions du fil restent tendues et ne sortent pcLs d'un plan vertical donné, (Agrégation, i844-)
Soient a et b les longueurs OA, AB ; s et ^ les angles qu'elles font respectivement avec la verticale ^ m, /i lei masses de A el de B : on a
1^ pesanteur est la seule force qui donne un travail vii tuel
Les équations de Lagrange deviennent, après de simpV. ^5 réductions,
— ^^ ( -y7 ) sin(<}^ — çp) -h (m -+- /i)^siiiçp =0, ù-jj^-ha-^-^ cosC^;. -o)^a i^^ j sin(<}; - <p) -4- ^siii+ =0.
On a l'intégrale des forces vives, mais on n'aperçoit pas d*autre intégrale première rigoureuse. Dans le cas des petites oscillations, en négligeant les termes du troisième ordre par rapport à ç>, i, y', ^\ (f'\ Y^ ^^^ équations de viennent
l (m-+-/i)a^J -H/i6-^ -f-(m-+-/i)^«p = o, Cherchons à y satisfaire par des valeurs cp = e'"', à =
ar*
on doit avoir )» = , -r 9 et
(2) {m -h n)(ar^-h S^){br^-\-g) — nabr'' = 0.
L'équation en r^ admet deux racines, Fune inférieure à
— -^ et à — ^) l'autre supérieure à ces deux quantités,
mais encore négative. Si ces racines sont — rj, — /'j, le système (i) aura pour intégrales
^ = A cosTi^ -I- B sin Ti ^ -h G cosrs^ -+- D s\n r^t,
^ — br\^ ^ ' g — br\^ ' . * ^
Quand les vitesses initiales sont nulles, il en est de même de B et de D 5 et, si a et p sont les valeurs primitives de «p et <J^, on a, pour déterminer A et G,
. r. Aar? Cari ^
A -f- G = a, -^ H rH = P-
Pour que les deux portions du fil OAB oscillent comme des fils de pendules simples, il faut que A ou G s'annule ; soit G = o. Les conditions précédentes donnent alors
substituant — r] à r^ dans l'équation (a), on aurait {m~\- n)a(x^-+- (m~{- n)(b — a)a^ — môp» = o.
Gette équation donne pour ^ deux valeurs réelles de signes contraires ; la valeur positive est << t ; pour toutes deux,
Les oscillations des deux fils se correspondent, mais leur
amplilude est différente ; leur durée
ri
est comprise entre les durées d'oscillations des pendules simples de longueurs 6 et a -f- 6 si l'on prend p de même signe que a ; elle sera inférieure à celle des oscillations du premier pendule quand 4 et ^ seront de signes contraires.
246. Sur le gyroscope de Foucault, — Les mouvements relatifs peuvent souvent être déterminés avec grand avantage au moyen des équations de Lagrange sans qu'on ait à introduire les forces fictives de Coriolis ; le gyroscope va nous en fournir un exemple. Il consiste en une sorte de tore dont le centre de gravité O est fixe à la surface de la Terre, mais qui peut tourner très facilement autour de ce point ; on lui communique une rotation très rapide autour de son axe de figure et il s'agit de savoir quel doit être son mouvement relatif pour l'observateur entraîné par le mouvement diurne.
Nous négligerons la masse des anneaux qui servent à suspendre le tore et nous admettrons que l'attraction du globe soit constante en grandeur et en direction dans le système mobile, en sorte qu'elle aura une résultante appliquée au point O : cette hypothèse, adoptée par Bour, est sans doute la plus conforme à la réalité, dit M. Gilbert à la fin de son beau Mémoire sur l'application des équations de Lagrange aux mouvements relatifs. Nous prendrons deux axes OX, OY fixes par rapport à la Terre et parallèles à l'équaleur; l'axe OZ sera diri^ suivant la partie boréale de l'axe du monde, et nous définirons la position du tore relativement à ces axes au moyen des trois angles d'Euler 6, cp, (j>. Soient encore OX', OY' deux axes qui coïncident d'abord avec OX, OY, mais qui conservent
une direction fixe dans l'espace. La position du tore relativement à OX'Y'Z peut être définie par les trois angles d'Euler dont les valeurs seront 0, <f et tji -f- to^ en supposant que la rotation de OX vers OY se fasse de droite à gauche ; nous savons évaluer la force vive correspondant au mouvement du tore par rapport à OX'Y'Z ; si nous y ajoutons la force vive d'une masse m appliquée en O et décrivant en un jour sidéral un cercle de rayon R autour de l'axe du monde, nous aurons, pour la force vive du gyroscope,
2T = /nR2a)2-+- A[0'2-h (f -h a>)« sin^ej 4- G[cp'-f- (^'-f- a))cosÔ]«;
la signification des diverses lettres est évidenle. La résultante des attractions étarrt appliquée au point fixe O, SU est nul et nous pouvons écrire les trois équations du mouvement :
A A(f -i- (0)2 sinÔ cosô -^ G [cp' -h (»];'-+- a>)cosÔ](tj;'-4- to)sinô = o
-j-[A(^];'-i-a>)sin2ô -h G(cp'+ i];'cos6 -h a)COSÔ)coS0] =0,
^[cp'-i- (t(;'-4-a)) cos6] — o.
Les deux dernières donnent, en désignant par /i et A: deux constantes,
(2) cp'-H(<}^'-l- w) cosô = /i,
(3) A(i];'-+-to)sin2e-+-G/icose = A-. \
Si, dans l'équation (i), on remplace cp' et ^^ par leurs va- 1 ^
leurs tirées de (2) et (3), elle prend la forme 1
d^ (G/i — /:cose)(A: — G/icose) dtt Asin30 ""^*'
multipliant par 2 rfô et désignant par h une nouvelle con-
stanle, on a l'intégrale
Les équations (2), (3), (4) déterminent rigoureuseraenl Je mouvement du gyroscope dans Thypothèse où nous nous sommes placés ; on peut les intégrer dans tous les cas au moyen de fonctions élémentaires ; mais, pour simplifier la valeur des constantes, je supposerai 6'^, et 'l'^ nuls, 8» égal à a ^ on a
« = «p'o -h Cl) cos a, A- — Aw sin^a -+- C/i cos3t, /i = Aa>* sin*a. L'équation (4) admet pour intégrale
.. û ACto/i— Aîw^cosa . . / f v/G*/i*-hA*ti)*5m*a^
O) cosO = cosa -4--7;— -- — .^ ^ ., — sm^al I — cos— î^ ; —
G*/i2-T-A2a)*sin2a \ A
d'autre part, l'équation (3) donne
.^. iL' — — (^^^^ — cosa)[C/i — Aw(cosô -h cosa)]
et, en remplaçant cos9 par sa valeur, on saura intégrer le second membre. Mais, si to est très petit et n très grand, on pourra, sans erreur appréciable, tirer de l'équation (5)
- Awsln^a/ Cn^\ ^ ^Acosina . . Cn<
cos6 = cosa -4 ^ ( I— cos-7— )» 6 = a ;=; sin* — r-
Ln \ A/ Lin 2A
et de l'équation (6)
,, / G/iA , , ^ Ao) . Cnt
•^ =— w^ I — cos-^ I, <{; = ij^o — 0) ^ -f- - sin — ^ ;
l'axe du gyroscope semble décrire d'un mouvement uniforme et rétrograde, en un jour sidéral, un cône droit autour de l'axe du monde.
Le gyroscope prend un mouvement beaucoup moins
lent quand on oblige Taxe à se mouvoir dans un plan P fixe par rapport à la Terre. Ce plan coupe sous un angle connu î^ le plan OXY considéré précédemment et nous pouvons supposer OY dirigé suivant l'intersection des deux plans ; l'axe OZ se projette sur P suivant une droite OM perpendiculaire sur OY et nous déterminerons la position de l'axe du gyroscope dans le plan P par l'angle jjl qu'il fait avec OM. Un triangle rectangle facile à retrouver donne les valeurs de 6 et de <{^ en fonction de p. :
tang<}' = — cotficosÇ, cos 0 = cos (i sin Ç ;
on déduit de ces relations
,, [!■' cos^ (a'cosÇ jjl' sintxsinÇ
"^ ~ I — cos«{xsin2Ç ~ sin^e ' ~" /» — cos^sin»?'
et, en substituant ces valeurs dans l'expression de 2T, la force vive prend la forme ^ *
2T= mR2w2-H A[y2 j awji' cosÇ 4- a)*(i — cos» fji sin^ Ç )]
G o'-H - » >» + w cos fjL sin M .
L' \ i — cos2jjLsm*Ç / ^ 'J
àT „
•T-, est encore constant et 1 on a
— 7 ^—p -HO) ) cos a sin Ç = n ;
quant à l'équation
^ ^ ar
elle se simplifie beaucoup si l'on tient compte du résultat précédent et donne
dix' '
A -j— — Aa)2 sin^Ç sinjjL cosjJL -+- G/ia> sinÇ sin|x = o.
On peut écrire Fintégrale première et exprimer t à
l'aide d'une quadrature relative à [x; mais, si l'on néglige le terme en w^, on voit que l'axe du gyroscope oscille par rapport à CM ou à son prolongement, selon que /i^o,
comme la tige d'un pendule de longueur ^ — ^~~r P^'" rapport à la verticale ; la durée d'une petite oscillation sera
éfirale à t: 1/7; r— ;. Ce résultat a été vérifié par Fou-
^ \ GnojsinÇ ^
cault : si l'on prend pour le plan P l'horizon de l'observateur, Ç est égal à la colatitude ; si l'on prend le méridien,
Équations d'Hamilton et de Jacobi.
247- Quand il existe une fonction des forces U, pouvant contenir t implicitement, mais indépendante des q\ les équations de Lagrange peuvent conduire à un système d'équations rernarquables que Poisson a nommées équations canoniques et qu'Hamilton a étudiées le premier. Posons
les q] entrent linéairement dans ces équations et le déterminant A de leurs coefficients n'est jamais nul. En efiet, supposons d'abord les liaisons indépendantes du temps : ï et ses dérivées partielles sont des fonctions homogènes
des q\\ si A était nul, on pourrait annuler tous les -r-7
par dès valeurs des q\ dont quelques-unes ne seraient pas
nulles; la force vive, égale à S—, qr'^, s'annulerait sans que
tous les q'i s'annulent, ce qui serait absurde. Quand les liaisons dépendent de t^ T n'est plus homogène ; mais imaginons un déplacement virtuel pour lequel on regarde t
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. oSg
comme une constante; la force vive correspondant à ce déplacement est fonction homogène des g'^ ; ses dérivées parlielJes ne différeront des dérivées (i) que par des termes constants, et si A était nul, on pourrait annuler la force vive sans annuler tous les g', ce qui est aussi absurde dans un mouvement virtuel que dans un mouvement réel.
On peut donc toujours tirer des équations (i) les q'^ en fonction des pi et, si Ton porte ces valeurs dans l'expression
R est une fonction de t^ des Çi et des pi qui se réduit à T quand les liaisons sont indépendantes du temps, et Ton trouve les relations
dK dT dK , dqi
àqi dqt dpi ^' dt
-7— ayant dans la première le même sens que dans les équations de Lagrange ; si l'on pose enfin
H est une fonction connue de ^, ^^ , . . . , q^^ p^^ • • • j Pn et l'on peut mettre les équations du mouvement sous la forme canonique
dpi du dqt an
("^ -dï=-d^r -dF^ô^r (* = i, 2, 3, ...,71).
Considérons maintenant avec Jacobi l'équation
si l'on en connaît une intégrale complète S| renfermant n arbitraires a,, a2, . . ., a„ autres que celle qu'on peut introduire par simple addition, les intégrales des équations'
5'4o RECUEIL d'exercices
(2) pourront se mettre sous la forme
as,
A„ -Pi'
as,
Pour éviter toute difficulté, il faut que les équations (5) soient bien distinctes ou qu'on en puisse tirer les valeurs de a^ , a2, . . . , oLn quels que soient tj q^, . . . , q,i\ le déterminant fonctionnel
()«Si
(^«Si
dqx doLx
dqi daj
dîS,
àqx dxn
d^„ d(Xn
àqn doLi dqn àoL^
doit être différent de zéro.
Quand les liaisons et la fonction U ne dépendent pas explicitement du temps, il en est de même pour H; on simplifie l'intégration de l'équation (3) en posant
h étant une constante, précisément celle des forces vives, et 0 une fonction de ^r,, q^, ..., q^; l'équation (3) devient
Soit 0| une valeur de 0 qui satisfait à cette équation et qui contient n — i arbitraires aj, a2, ..., OLn^^ diflFérentes de celle qu'on peut introduire par simple addition; les équations (4) et (5) qui formaient les intégrales du système canonique prennent la forme
àq\
àqn
— Pn^
àh
SUR LA MÉCAIflQUE RATIONNELLE. 54 1
On ne possède pas de méthode générale pour obtenir XI ne intégrale complète de Téqualion de Jacobi : dans les cas les plus connus, où Ton peut prendre l'équation (6), on peut mettre cette équation sous la forme
Qi + Q2-h-..-hQ/i=o,
^-v de
Kli ne contenant que Çi et -7—; posons
on a n équations différentielles ordinaires et si leurs intégrales sont 9|, 82» •••) 9,1, il est clair qu'on peut prendre
248. J'appliquerai d'abord la théorie précédente à un problème excessivement simple, mais qui permettra de former, d'intégrer toutes les équations et de se rendre bien facilement compte des détails : il s'agit de trouver le mouvement que la pesanteur imprime à une petite masse m. J'admettrai même que m ne doive pas sortir du plan vertical mené par sa vitesse initiale, en sorte que sa position sera déterminée par ses coordonnées ^ = y , , j^ = ^2? l'axe des X étant horizontal, l'axe des j- dans le sens de la pesanteur. On a
introduisons les dérivées partielles/?!, /?2 - il vient
il existe une fonction des forces U = ^g(l% et l'on a H = T-U=^(/?î-h/>l)-m^gr,.
Les équations canoniques sont
HT " ' dt ~ ^' dt " m' dt ~ m'
rien de plus simple que de former directement et d'interpréter les intégrales de ce système; mais cherchons-les parla méthode de Jacobi. H étant indépendant de t^ on part de Téquation
on peut la mettre sous la forme
Posons 6 = 8| 4- 82»
on sait intégrer chacune de ces équations et, en ajoutant les intégrales, on aura
61= ^iv/'2/?î(A-h/n^a)-h ^/nv/âiC^î— a)"*.
Les intégrales (4) et (5) du système canonique deviennent
yj i{h -\- mg oi) \'i{h-{- mgoL)
\/2/n(A-H/n^a) =/>,, fn>/ig{q%— at) =p^',
ia première représente la trajectoire, la seconde donne k loi du mouvement, les deux dernières font connaître les
composantes — > — de la vitesse.
249. Mouvement d'un point M attiré vers deux centres fixes F, F| par des forces -4' ^' '')'*« désignantes
distances MF, MF| et la masse du mobile étant Vunité:
Je supposerai d'abord la vitesse initiale V contenue dans le plan qui passe par FFj et par la position initiale A de M; le mobile ne sortira pas de ce plan et, si Ton prend pour axes des x et des^ FF| et la perpendiculaire en son milieu, la position de M peut se déterminer à l'aide des coordonnées x^y\ mais dans les équations différentielles auxquelles on est conduit, les variables ne se séparent pas. Il n'en est plus de même si l'on prend des coordonnées elliptiques, savoir les demi-axes focaux q^ q^ de l'ellipse et de l'hyperbole qui passent en M et dont F, F, sont les foyers. Soit FF| = 2C : on a
(j% q^^c^ ' q\ c^ — ql ^
on en déduit
le carré d'une longueur infiniment petite est
(.) ds*= dx^+ dy^ = 1^ dq^^ Ç^^ dq\ ;
on a donc
'2 gr* — c* ^ 1 c^— q\ ^^ ^
IM
La fonction des forces est ici - + — et. comme on a
r ri
r-r-r^ = 'iq, n— r = ib2^i, r = q7^qu ri=q-±qi,
544 KECUEIL d'exercices
il en résulte
OQ prend les signes supérieurs ou inférieurs suivant que M est du même côté que F ou que F< par rapport à OY; on peut supposer qu'il soit d'abord du côté de F et, s'il traverse l'axe des j^, on donnera à q^ des valeurs négatives; qx pourra varier entre — c et c et l'on se bornera aux signes supérieurs dans la valeur de U. On a donc, pour la fonction d'Hamilton,
Sans écrire les équations canoniques, il nous suffira d'obtenir leurs intégrales par le théorème de Jacobi : on a l'équation
1 q^—q\\àq ) ^q^ — q\\àgi/ q — qt q-^qi qu'on peut écrire
Nous chercherons une intégrale complète de la forme 6-f-9o 9 étant une fonction de y, 8, une fonction de q^ définies par les équations
(.c^—qi}-^.— ^ii^-'M)qi-^-i^q\= -la;
01 s*exprime au moyen de deux intégrales elliptiques
^ ^ I ^ \/-^àg'-^9.(ix-^lii)q — i7, ^ r ,\/'ia-^'i'{^'-\i-\)qi—'i'hq'\^
/\l'ikq'-\- 9.((x -h fxi)^ — 1% ^ Ç
les intégrales du problème sont donc
\lo~q\
mais nous discuterons seulement la première, qui représente la trajectoire 5 après l'avoir formée, il sera plus simple, pour l'étudier, d'en prendre la différentielle et l'on aura
sj{qt- c2)[yi^«H- ({X -t- ^x)q - aj /(c«— ^î)[a -4- C[x — \^Oq\ — hq\
Les constantes h et a se déduisent des circonstances initiales : si nous représentons par V, R, R^, Q, Qi les valeurs initiales de r, r, ri, y, q\^ l'intégrale des forces vives nous donne d'abord
2 R Ri
En second lieu, l'expression générale (2) de ds'^ montre que le rectangle compris entre deux ellipses et deux hyperboles infiniment voisines a pour côtés
'^VÇ^S' '^^s/'-
c^—ql'
l'angle w sous lequel la trajectoire rencontre en M l'ellipse coordonnée qui y passe a pour tangente
De S.-G. — Rec, 35
en tenant compte de Téquation (3); il suffit d'appliquer cette formule à l'instant initial pour former une équation du premier degré en a.
Pour déterminer les limites entre lesquelles peuvent varier q et q^ d'après l'équation (3), remarquons que q^ — c* et c* — y, n'étant jamais négatifs, les trinômes
f{q) = hq^-h ( fx H- jx, )<7 — a, ^(qi)= ^-^(i^— [>-i)qi—hq\
doivent être de même signe ; mais on a
il faut donc que /(y) et 'f(y«) ne soient jamais négatifs. La trajectoire ne peut s'étendre à l'infini que si h est positif; mais elle peut aflecter trop de formes pour que nous les discutions : cherchons seulement quelles doivent être les circonstances initiales pour qu'elle se réduise à une ellipse de foyers F et F^ . Il faut que /{q) admette (q — Q)* pour diviseur, ce qui donne
[jL-^ (Aj— — 2AQ, a=— AQî;
la seconde condition détermine a et la première donne, en se rappelant la valeur de /i,
U Q Ui Q '
la valeur de V^ est égale à la somme de celles qu'il faudrait lui attribuer si l'attraction de F ou celle de F| était seule en jeu; nous sommes ramenés au cas particulier du théorème de M. Bonnet que j'ai signalé au n® 149.
Si l'on suppose p. et [jL| nuls, la trajectoire est évidemment une droite définie par une équation de la forme
A.r -4- Bf -h G = o, Jiqqi-\- B ^\^q- — c'-j^c-— </{)-+- Gc-= o;
d'ailleurs l'équation (3) devient
dq^ ^ dq\ .
c'est l'équation d'Euler et M. Appell signale le résultat précédent comme établissant d'une façon intéressante l'existence d'une intégrale algébrique pour cette équation.
Lorsque V n'est pas contenue dans le plan AFF,, la trajectoire n'y est plus contenue elle-même : je conserve les coordonnées q, q^ pour définir la position du point M dans le plan MFFj et je leur adjoins l'angle q^ dont ce plan a tourné. Il faudra ajouter, à l'expression donnée pour T, le terme
et, par suite, au premier membre de l'équation (2), le terme
La nouvelle équation de Jacobi ne contenant pas explicitement q2, nous ferons un changement de variable analogue à celui par lequel nous avons introduit 0 au lieu de S : nous poserons
X étant une constante et <ï> une fonction de q et de </i seulement : l'équation devient
'~^q^~q\\Oq) '^ i 'q~^ ^ q\\dq
54 B RECUEIL d'exercices
multipliant par 2(^7* — q]) et observant que
nous ramènerons l'équation à la forme Q -j- Q^ = o ; nous savons en trouver une intégrale complète ^1 et, en prenant 6| = ^1 H- X72? nous en déduirons sans peine les intégrales du mouvement.
250. Un point M, de masse i , assujetti à rester sur un h yperboloïde
fî! z! f! -
où Von suppose h >a, est attiré vers le centre O par une force w^r, /• désignant la distance OM; à V instant initial, le mobile est à la distance b du centre sur P hyperbole principale située dans le plan OXZ et sa vitesse i'o ^st parallèle à O Y. Mouvement du point M ; discussion de sa trajectoire, (Agrégation, 1888.)
La solution du problème repose sur des calculs assez connus du lecteur pour que je les indique brièvement. La position du point M sur Thyperboloïde sera déterminée par les coordonnées elliptiques X, [jl que définissent bien les équations
a^-f-X 62 -h À X — C2 ' 62— |JL [X — «2 JX-hc-2
quand on suppose X > c^ et a^ < jjl < 6^^ Partant de l'identité
a-—u b^'-u c^H-M (a*— w)(62— Mj(c2-i-a)
Binet en a déduit
j^ aVX-i-a«)(Ht — g») ^ - (6'-^— a2)(c2-+-a«) '
égalant encore les coefficients de u^ quand on a chassé les dénominateurs, on a
(3) r2=a7«-hj«-h^»= X— |jL-f-a2-4-62 c».
Nous pouvons former la fonction des forces
U =— -t02/-2= (X — IX -+-«2 4-62— C2):
Pour calculer T, prenons les dérivées logarithmiques des équations (2) :
