Centre de grai^ité de l'aire comprise à l'intérieur
ST7R LÀ HéCAiriQUB lUTIONNELLE . 4^
d'une parabole et d'un cercle représentés par les équations
X'zzziGax^ x^-^jr* — ioajr = o.
Le cercle passe au sommet de la parabole et touche son axe; il rencontre la courbe en un point dont l'abscisse est 4a, et le segment considéré est biconvexe. Pour évaluer les intégrales qui servent à déterminer le centre de gravité de Taire, le mieux serait de la décomposer en bandes infiniment étroites parallèles à OX^ mais, pour donner un exemple des précautions à prendre dans le calcul des intégrales multiples où l'expression analytique des limites change, je décomposerai en éléments dxdj^ et j'intégrerai d'abord par rapport à y. J'ai une expression de la forme
X ne varie pas seulement de zéro à 4^? mais de zéro à 5 a, parce que le rayon du cercle est 5 a, et l'arc qui limite le contour est ^ un quadrant. Dans tout l'intervalle, on aura
mais y sera \fÎ6âx quand x ira de zéro à 4a, et
5a -f- y/aSa' — x* quand x est compris entre 4a et 5a; donc
{^^âx-^Sa-^-^nSa^ — a:^)(ÙK'h j 2^25a'— ar^r/jr, o Jfta
A= — â* arc sm g — -^ a%
en prenant l'arc sinus terminé dans le deuxième quadrant, I26*^52'i2'', ou, en parties du rayon, 2, 21 43. L'intégrale fxdxdy se calcule de même et donne
Ax, = i^r a*.
44 KECUBIL d'exercices
Enfin
2Jo y J
dx ^25 a} — jc', lia
Ati = o? arc sm -■ ^r- a*.
L'arc sinus est le même que dans la première intégrale. On a sans peine x^ et j^j.
32. Centre de gravité d'une dend-boucle de la lent' niscate de Bernoulli
On fait varier 6 de zéro à j \ alors r = o, et Taire de la courbe est
' I rdrdB=:a^ j cos^BdB = - a^.
Ax,= l 1 r*œsBdrdB = -a* I ^ cos9(cos29)'<i9.
On intègre en posant u = ^2 sin0, d'où
^2 cosBdB = rftf, C0S2 = 1 — «',
2 /•■ 1 . 3 2 ira*
3 J * ' ib 3 b
AjTi = / / r* sine </r<f9^ 5 a' 1 ^siii9(cos2 9)' <A
SUR LÀ IftCAiriQtJE BATIOlfNELLE. 45
Posons ^cosfl=:tt, ^sm9rf9 = — rfu, cosae=M' — 15 On en conclut
= |a, ri = «[^L(i4-v^)-|v^J.
33. Déterminer une courbe plane telle que le centre ' de gravité de l'aire comprise entre les axes, la courbe et
l'ordonnée x =.h ait pour abscisse x* = r •
La courbe cherchée satisfait à l'équation
^-^^ Jo Jo
DifTérentions et réduisons \
DifTérentions encore ;
a^r=: [nax -f- 3x^) r-l- x^ia -f- x) -— j
d'où
\ dy à* — 2fl.r — 3x^ rt — 3.r
^ dx x*(^a -h xj a:'
L'intégration donne évidemment
La courbe présente un point d'arrêt à l'origine; du côté des X positifs 9 elle part de Torigine tangentiellement à OX, s'élèye au-dessus de cet axe, et lui devient asymptote pour
46 KEGUBIL D^EXBRGICES
X infini. Quand x décroît de zéro à — oo , ^ croit de — oo à zéro. De ce côté de l'axe des x, il était impossible a priori de satisfaire à l'énoncé du problème j mais il n'y a pas contradiction avec nos calculs, car, si x est <^ o, la valeur trouvée pour j^ rend infinies les intégrales de l'équation (i), et celle-ci devient illusoire.
34. Etablir la relation qui existe entre les aires des quatre triangles ayant pour bases les côtés d'un quadrilatère et pour sommet commun le centre de gras^ité du quadrilatère .
Prenons {fig» 2) pour axes les diagonales AA^, BB', et faisons OA = a, 0A'= a\ OB = i, 0B'= b\ AOB = ô. Joignons B, B' au milieu M de A A' 5 il est clair que le centre
de gravité G se trouve sur une parallèle à BB' qui coupe MB et MB' au tiers de leur longueur à partir de M 5 et, comme
OM = - (a — a'), Tabscisse de G est - (a — «') -, par ana-
logie, son ordonnée sera ^ [b — V). Maintenant Faire du triangle GAB est
- sinÔ
SUR LA MÉCANIQUE RATIOlTirELLE . fyj
L'aire de GBA^ se calcule de même, Â' ayant pour coordonnées — a, o,
GBA'= p = g sme(ûft -f- ha' -h «'&');
de même
GA'B'=7 = g sinÔ(«6'-t- ht^^a'y),
GB'A = ^=gsinÔ(aô-f-û6'4-a'*').
On lire de ces équations, en posant a-f-P-Hy + î = S,
U suffit d'égaler le produit des deux premières et des deux dernières quantités ; on a, en divisant par 1 2 coséc*&,
OU
Les quatre aires ne peuvent donc être prises arbitrairement.
35. Centre de grasfitè de la portion de surface du paraboloïde
qui se projette sur le plan des xy entre les parties positwes des axes et V ellipse
-tH-7t=I, 3 = 0. ( FUERHANN.]
Le long de la courbe à double courbure qui limite Taire
48 KEGUEIL d'ïXEKCICES
proposée, la normale au paraboloïde fait un angle constant avec l'axe desz (licence, 1874)9 on calcule les intégrales du problème en remplaçant x^ y par les variables
a:=attsiny, jr z=z bu cos(f\
on a tous les points situés à l'intérieur du quart d'ellipse
donné en faisant varier u de zéro à i, 9 de zéro à ~; on
découpe le plan eu petits parallélogranmies qui ont pour aire, d'après les formules connues pour le changement de variables dans les intégrales multiples,
(dx dy dx dy\ ;; ; r- \ du do zm ttb U du do, d<f du du df J ' '
La normale au paraboloïde en a:, y fait avec l'axe un angle y tel que
On peut calculer l'aire courbe et ses moments par rapport aux plans coordonnés :
A=ab j I udud^^i -h u'= "^ [2\2 — i),
A.ri=zà^b j j u^dud(fsmff^i-\-u'=z [3v^2 — l(h- y^a)],
Ayi=ab^ j / i/'^tt^(j)COS©v^i-t-a*= -^ [3v^2 — l(h- v/2)], Az, = -ab j j w»(asin^ç -f- b cos*(f) du dtf^i -h u^
SUR LA. MécAiriQX3E EÂTIOUlfELLE. 49
36. JLa distance du centre de gratuité de l'aire d*une figiu^e sphérique à un plan est quatrième proportionnelle à l'aire de la figure, à sa projection sur le plan et au rayon R de la sphère.
En efiet, prenons le plan de projection pour OXY, le centre pour orîgîne 5 on a
Az, = I j z — dx djr = Rproj. de A.
On en déduit que la distance du centre de gravité d'un triangle sphérique ABC au plan du grand cercle BC est
K a — b cosC — c cosB
cette formule et les deux autres analogues font connaître le point cherché.
Considérons une demi-boucle de la surface de Viviani
' -f-^' -h 3' = R% r' H- j» — Rx — o ;
son aire est ( 1 j R*, et ses projections sur les trois
plans coordonnés sont, comme on le voit sans peine,
on en déduit
Centre de gravité des solides.
37 . Centre de gras^ité du volume homogène engendré par la rév^olution de la boucle d'une strophoïde autour de l'axe.
De s. -G. — Rec. 4
5o KECUEIL d'exercices
Prenons Taxe pour axe des x^ et le point double pour origine \ l'équation de la courbe est
Le volume est
Jo «
d'oii
Jo \ a-^^.x) \ 3/
Le centre de gravité est sur Taxe des a:, et, x^ étant son abscisse, on a
\a:^z= I ira:* — dr z=z n a* l — — 2L2I,
Jo «-♦-^ \"^ /
17 — 24 La o,365 ^
jc^=:za —7- 7, = a — ^^ = 0,57a.
38. Centre de gras^îté du ^volume engendré par le secteur parabolique compris entre deux rayons vecteurs et tournant autour de l'axe de la parabole.
Le rayon vecteur correspondant à l'angle d est
P ^ i -h cosô
et, si a et |3 sont les angles polaires des rayons qui limitent le secteur, on a
Ja Jo ^ L(i + cospj^ (H.co8a)»J
f r'sinOcosO^fO^fr « Jo
"~ 2 ^^ L^ (i -♦- cosBy 3(1-+- cose)»J.^
STJE LA MÉCÀlflQUE RATIOITIVELLE. 5l
OU
I 3(i-4-cosa)(n-cosp)fcosa-f- cosp) — 2(cosa — cos^)*
* 4 {i-+-cosa}(i H- cosP)(2 -f- cosa-f-cos^j
39. Centre de grauité du volume compris entre les trois plans de coordonnées rectangulaires et les surfaces des cylindres elliptiques
La surface courbe qui limite l'espace compris à Tintérieur des cylindres au-dessus du plan xy est la voûte d'àrète, et les lignes d'intersection des deux cylindres sont contenues dans les plans ay = ± bx- Nous ne prenons que le quart du volume compris sous la voûte ^ des plans horizontaux y déterminent des sections rectangulaires dont les côtés ont pour longueur
On aura de suite le volume Y et l'ordonnée z du centre de gravité
'~-{c^—z')dz=^abc.
__ lab , ,\ , 1 , 3
yzi^=::t -f(^ — z^)zdz=z jabc^, z,r=gc.
Pour prendre les moments par rapport au plan des^^, il faut diviser le volume en petits prismes de base dx dy^ parallèles k OZ^ mais la hauteur de ces prismes n'a pas la même expression aux divers points du plan xy ^ pour les points compris entre Taxe des x et les droites x = a et ay=bx^ le volume des petits prismes est limité au second cylindre parallèle à OY *, au contraire, c'est au premier cy'-
a a EECUEII. D EXEKGtCES
lindre que se terminent les parallèles menées à OZ par des points compris entre Taxe des y^ les droites ;^ = i et ay = io:. On partage l'intégrale définie en deux
hx ay
Sx{=i \ dx \ dy— sja^— x^ 4- \ dy i dx^sJV^^^K
Pour la première, on intègre d'abord par rapport à y, et dans la seconde c'est par x qu'on commence, et Ton trouve, en écrivant y^ par analogie,
40. Centre de gra\^ité du volume compris entre le plan des xy, le plan des zx, la sphère de rayon a dont le centre est à V origine, et le cylindre
x^-^jr"^ — ax = o.
Le volume ainsi défini et la surface sphérique qui le limite ont été étudiés par Viviani. Prenons des coordonnées semi-polaires r, et ^ -, sur la base du cylindre, on a r=. a COS0, et les formules ordinaires conduisent à des quadratures qui ne présentent pas de difficulté :
TT 2 /»aCO80
rdrs^à} — r»=: j~^ a*,
lO
V^,=r / 1 i^cosBfJâ^^^dBdr= ^a\
i?.8 On en déduit de suite JC| , j^i , Zj .
41 . Des solides terminés par deux faces planes parallèles, et tels que l'aire de la section faite par un plan pOfrallèle à la base s'exprime par une Jonction entière et du deuxième degré de la distance du plan sécant à la hase.
La définition précédente comprend un grand nombre de corps remarquables par la simplicité avec laquelle on peut déterminer leur volume et la distance de leur centre de gravité aux bases. Soient a A la hauteur d'un de ces corps, z la distance de la base inférieure à un plan parallèle horizontal, pour fi.xer les idées, et
A = mz' -h pz -^ q Taire de la section déterminée par ce plan . Le volume est
(mz^-hpz -\-q)dz = - {8mk^ -f- 6ph -|- 6^).
On peut l'écrire
V— -^[(4m^'-f-2/?>i-f- q) -i- ^{mh^-^- ph -h q) -\- q].
Les trois parties du crochet représentent Paire de la base supérieure, de la section moyenne et de la base inférieure -, désignons-les par Bi, Bg^Bo, et nous aurons
Vz=r g2A(B.-f-B,-4-4B2)• La distance du centre de gravité à la base inférieure est
5i= == I {mz^-i-pz -h q)zdz
= ^ (6«A' + 4/»* + 3) = Il (B. -4- 2B,).
On aura de même la distance à la base supérieure et leur
rapport
2i B,-i-2B, z^ Bo-l-2B,
Dans la classe des solides que nous considérons rentrent les segments de surfaces du second ordre, et les polyèdres limités par des bases parallèles, et latéralement par des triangles ou des trapèzes dont les sommets coïncident avec ceux des bases. Pour le montrer dans ce dernier cas, prenons le plan de la base inférieure pour plan des xy \ les arêtes latérales sont représentées par les équations
az-hoL, jr z= bz -+- P;
le polygone déterminé par un plan sécant parallèle à xy a des sommets dont les coordonnées sont fonctions linéaires du z du plan ; ce polygone se projette en vraie grandeur sur xj, et l*on sait que l'aire d'un polygone est une fonction entière du second degré des coordonnées des sommets^ et par suite de z. Puisque le nombre des faces latérales est quelconque, on peut les supposer infiniment étroites, et avoir le solide limité par deux faces parallèles et une surface réglée quelconque.
Ce résultat est très-souvent utile, surtout si Ton connaît à l'avance une ligne sur laquelle doive être le centre de gravité. Indiquons seulement quelques applications. Le centre de gravité d'un demi-ellipsoïde divise le demi-axe dans le rapport de 3 à 5. (Volume et centre de gravité d'un tas de pierres). Quand deux surfaces du second degré se coupent suivant deux coniques situées dans des plans parallèles, le volume compris entre ces deux surfaces (tel sérail le volume engendré par la rotation d'un segment de conique autour de l'axe) a son centre de gravité au milieu de la droite qui joint les centres des coniques communes. Que deux ellipsoïdes homothétiques soient coupés
suivant des courbes réelles par deux plans parallèles, le volume compris entre les deux plans et les deux ellipsoïdes a son centre au milieu du diamètre commun^ car les aires annulaires déterminées par des plans de section parallèles sont équivalentes.
42. F^olume et centre de gratuité d'un prisme ou d'un cylindre tronqué.
Je prends pour axe des x l'intersection des plans des deux basés, pour axe des y une perpendiculaire abaissée du centre de gravité C de la base inférieure, pour axe des z une parallèle aux génératrices faisant Tangle i avec le plan XOY ^ enfin soit z = cj l'équation du plan de la base supérieure \ on a, en étendant les intégrales à la base inférieure,
V =ifjcy sin idxdy.
Le volume est égal à Taire de la base inférieure multipliée par la hauteur du point d'intersection de la base supérieure avec la parallèle aux génératrices, menée par le centre de gravité de la base inférieure : c'est aussi l'aire de la section droite multipliée par la droite qui joint les centres de gravité des deux bases.
Le centre de gi'avité G du tronc est dans le plan z^^ycjr (pii passe par les milieux des génératrices ; on a, pour sa projection sur le plan XY parallèlement à OZ, en appelant A Taire de la base, v Vy du point C,
Jft= - / / cxydxdjr&mi= -r- j f xydxdy, yx=]^ \ \cy^dxdy%\xii = J^ f j J^^^^^X-
On verra dans la Dynamique que le point ainsi défini est le centre de percussion de la surface de la base par rapport à Taxe OX.
56 RECDEIL d'exercices
Trouver le centre de gravité des systèmes suivants :
Arc de cycloide, de spirale logarithmique, de parabole, de Li courbe qui se projette sur le plan des xy suivant la parabole Y^:=z ^ax, sur xz suivant une cycloîde ayant O pour sommet, OX pour axe, a pour rayon du cercle générateur. (FqnaMANN.)
Aire comprise entre la chaînette et deux ordonnées, la cissolde et son asymptote, la spirale d'Archimède et deux rayons vecteurs, entre la cardioide et son cercle directeur, de la courbe
xy^z=i b'(a — x^j.
Aire comprise entre un arc d'ellipse et deux rayons vecteurs. Sèment et secteur circulaires.
Aire d'une zone de parabololde de révolution, aire engendrée par la révolution d'une boucle de lemniscate autour de l'axe, aire d*un tronc de cône ou de cylindre de révolution limitée à deux génératrices.
Volume engendré par la rotation d'une parabole autour de la tangente au sommet, segment de parabololde de révolution limité par un plan méridien et un parallèle. Volume entre un paraboloîde hyperbolique, le plan tangent au sommet et les plans projetants de quatre génératrices qui forment un quadrilatère gauche. Demi-octaèdre régulier où la densité en chaque point est proportionnelle au carré de la distance au centre.
Faisons tourner une chaînette autour de son axe, et considérons le volume compris entre la surface de révolution, un cylindre quelconque parallèle à Taxe de la chaînette, et le plan engendré par la rotation de la base de la courbe : ce volume a son centre de gravité sur la même ordonnée que la portion de la surface de révolution intérieure au cylindre, et la hauteur est moitié moindre.
