Centre de grainté d'un arc de cardioïde
r=:a(i -hcosô).
On a
ds=.dQ sj2,à}{i 4- cosô) = na cos - <£6,
La ( sin - — sin - ô* | ,
cos 9 ^^
2 cos — i — cos 1 — cos — 1 aô
,/, . , . 00 .30 .30. I . 50 I . 5G«\ = «* ( 4 sm 4 sin — h sin sin h -= sm -r sin —
I jef5 = 1 rsinôe/j z= 8fl* 1 cos* - sin - = -^ aM cos* — — cos* - ]•
IJ est aîsé d'en tirer Xi et yi ; pour la moitié de la courbe, de 9 = o à 9 = w, on a
28. Centre de granité d'un arc d'hélice ordinaire commençant sur le plan des xy^ et oii la densité est représentée par e"*"*.
Soient a le rayon du cylindre sur lequel est rhëlice, 27rA le pas^ on a, pour chaque point de la courbe,
x-=.a cos Y» ^ = a sin - •
La masse de Tare considéré est
' er'*dz = Ja^-h h^ ; — i
SUE LÀ MÉCÂIIIQUE RATIOlTirELLE. 3g
/xdm = — Ja^ -^ h^ 1 e""*' cos t ^* ^ Jo ^
On aura immédiatement a:,,yi, Zi. Si l'arc est prolongé indéfiniment, les résultats se simplifient et deviennent
^fl^+A' ac^h^ ack \
ch I -4- c' A' I -h c' A* c
29. Déterminer une courhe plane passant par V origine, et telle que la densité soit une fonction donnée f(s) de Parc, et que l'ordonnée du centre de grasdté d'un arc, compté à partir de l'origine, soit une autre fonction don-née(f(s). Cas bu f{s) :=^aj^, <f[s)=zas'^,
(Agrégation, 1871.)
On voit immédiatement que la courbe satisfait à Téquation
ff{s) r/{s)ds= f\/{s)ds.
Différentions;
?(')/(')+?'(*) rf{s)ds=yf{s);
Jo
y est dès lors une fonction connue de s
donc
(2) dxz=zds^i — 4f'\s).
4o RECUEIL d'exercices ^
Si Ton peut intégrer, il n'y aura plus qu'à éliminer s à l'aide de l'équation (i) pour avoir l'équation finie de la courbe. Quelquefois on peut résoudre l'équation (i) par rapport à s^
et il suffit d'intégrer
(3) flr=:djr^rj'-^(jr]-i.
Dans le cas particulier proposé, l'équation (i) devient
en prenant, pour abréger, la nouvelle constante c. L'équation (2) donne alors
dx =^ds sji — c*^''*""'.
Cette différentielle binôme pourra s'intégrer quand
ou ! — seront des nombres entiers : ces deux con-
ditions reviennent à dire que ^L doit être de la forme ?
n étant entier. Le second procédé ne donne pas d'autre cas d'intégrabilité.
Soit 71 = 15 alors fx = 2, j- = - 5*. Nous appliquerons
l'équation (3)
= dy^l
C'est une cycloïde ayant son sommet à l'origine et touchant
l'axe des x\ le rayon du cercle générateur est — •
Soit 71 = 2 , fji = - ; nos formules deviennent
^ = -^C5', dx=zds^i — c^s.
SUR LÀ MÉCAiriQUE lUTIONNELLE. 4^
Intégrant,
C'est l'hypocycloïde à trois rebroussements , enveloppe d'une droite de longueur ^-^ qui glisse sur Taxe des x et la
droite x = ^-z*
Pour 7z = oo,fx = i, on a une droite.
On ne peut donner à n de valeurs négatives, car /x serait
<[ ï, et —^ infini pour ^ = o, ce qui est impossible.
Centre de gravité des surfaces.
30. Centre de grav^ité de l'aire comprise entre un arc d'ellipse, le diamètre qui aboutit à une extrémité de Varc et la corde conjuguée passant par Vautre extrémité.
En prenant pour axe des x le diamètre donné, pour axe des j^ la tangente à son extrémité, Téquation de Fellipse est de la forme
On décompose Taire donnée en une infinité de bandes élémentaires parallèles à l'axe des j^ ^ la masse de chacune peut être représentée par j^rfx, et son centre de gravité a pour
coordonnées x et -y. L'aire considérée est, 6 désignant l'angle des axes,
i/2 — X 3c^dxû^%
^sinOr a — h . ,. y — -"1
= a'arccos. —rKa — h\\i7.aU — h^y
4a iiEct7EiL d'exb&cices
Si Xi^ ji sont les coordonnées du centre de gravité,
h sinô r ,
are cos [lah — h^y
— a{a — h) ^1 ah — h? j,
Ar, = / -fa — a: -a:*) sia6^=:^ r- \ah^ — -^rS*
On en déduit pour ^i> j^i ^^s valeurs assez compliquées, mais qui s'adaptent, en se simplifiant, à plusieurs cas particuliers \ ainsi, pour 4e quart d'ellipse, on fera h = a, et l'on
aura
irab ^a ^b
4 3ïr on
Si l'on veut passer au cas de la parabole, on fera b* = ap^ on développera suivant les puissances négatives de a, qu'on
fera ensuite infini ] mais il est bonde remplacer arc cos
par 2 arc sm i / — ^ on a
A=-sin9 i/- aa'arcsini/ (a — A) y^aaA ( i j 1
et ainsi pour les autres ; à la limite, en faisant ^2ph = k^
Âr=:-M8inOy ar, = gA, ^, = g ^.
