X-I-Qcos(e-Ha) =ro, Y — P H-Qsin(0 -l-a) = o

Egalons à zéro les sommes des moments par rapport au

point A

2âQ sina — aP cosÔ = o.

Des trois équations obtenues résulte la solution du problème, et la discussion en est fort simple.

49. Condition d' équilibre d'une planche elliptique homogène maintenue dans un plan vertical et reposant sur deux chevfilles G, H situées à la même hauteur.

Il y a avantage à exprimer que les trois forces qui soUi-

citent le solide sont concourantes ^ les réactions des appuis s'exercent suivant les normales en G et H à Tellipse, le poids est vertical et agit au centre. Il faut donc que la droite qui va du centre au point de concours des normales en G, H soit perpendiculaire à GH. Prenons pour axes coordonnés les axes de Tellipse, de longueurs 2 a et 26, et soient x^^y^^ 3C^^y,i les coordonnées de G et H. Les normales en ces points ont pour équations

Faisons une combinaison ne renfermant plus de termes constants, nous aurons la droite qui va du centre au point de concours des normales

a^x{ jr, — ^2 )^| j, — b^y (j» — J2 ) .»^i J^a = o. La condition pour qu'elle soit perpendiculaire à GH est

(x, — .rj ) (r. — r^ ) ( «^riji -^ ^^^i ^2) = o.

Il peut y avoir trois sortes de positions d'équilibre ; si Ton fait Xi-^a:2= o, le petit axe est parallèle à GH; ce sera le grand axe si j^j — yi= o 5 enfin, en annulant le troisième facteur,

Zi -L' -

J?i Xi

on exprime que G et H sont aux extrémités de deux diamètres conjugués. La possibilité de chacune de ces solutions dépend de la longueur 2 e de GH : la première exige e<^ 6, la deuxième e<^a\ pour la troisième, il faut que 2e

soit compris entre a y/2 et i v2, distances minimum et maximum des extrémités de deux diamètres conjugués. Il peut y avoir quatre positions d'équilibre distinctes.

68 KECUEIL B EXERCICES

50. Déterminer quatre forces P, Q, R, S agissant à chacun des sommets d'un tétraèdre perpendiculairement à la face opposée, de façon qu elles se fassent équilibre.

Soient a^b^c^ d les aires des faces du tétraèdre ABCD^ chacune est égale à la somme des projections des autres sur elle-même :

a — b cosCD — c cosDB — c/cosBG ^= o,

h — c cosDA — d cosAG — a cosCD = 'o,

^ c — é/cosAB — a cosBD — b cosDA = o,

d — a cosBC — b cosGA — c cosAB = o.

Projetons les forces P, Q, R, S sur chacune d'elles successivement, et observons que Tangle de deux d'entre elles est supplémentaire du dièdre formé par les plans auxquels elles sont perpendiculaires \ nous aurons quatre équations ne différant des précédentes que par le changement de a en P, i en Q, . . . ^ on en conclut