PQ R S
Chaque force est proportionnelle à Taire de la face à laquelle elle est normale.
Pour que l'équilibre soit assuré, il faut encore prouver que la somme des moments des forces par rapport à trois droites formant trièdre est nulle. Considérons l'une des arêtes du trièdre A, AB par exemple. Les moments de P et de Q sont nuls 5 pour évaluer le moment de R que je représente par Xc, j'abaisse CH perpendiculaire sur le plan ABD, et dans ce plan HI perpendiculaire à AB ^ le moment de R
3V est XcxHI-, mais, V étant le volume du tétraèdre, c= -~ ;
le moment devient --^HI = 3XcotAB. On verra que le
CH
moment de S est le même en valeur absolue, mais de signe
contraire. La somme des moments des forces par rapport à AB, AC, AD sera nulle de la même manière.
Remarques. — Puisque quatre forces dirigées suivant les hauteurs d'un tétraèdre peuvent se faire équilibre, ces hauteurs sont sur un hyperboloïde.
Le déterminant des équations (i) égalé à zéro donne la relation entre les six dièdres d'un tétraèdre.
fquilibre de plusieurs corps.
51 . Une enveloppe sphérique homogène, de centre C et de poids P, est placée sur un plan incliné quelle touche en A, et renferme à son intérieur un petit corps M de poids Q, qui est attiré "vers un point O du plan incliné avec une intensité proportionnelle à la distance ; position d'équilibre du système.
Je dis d'abord que C et M sont dans le plan vertical qui contient la ligne de plus grande pente du point O; car supposons M lié invariablement à la surface sphérique : l'équilibre n'est pas troublé. Or le système est en équilibre sous l'action de trois forces, l'attraction de O qui s'exerce suivant OM, la résultante verticale de P et de Q, enfin la réaction normale du plan en A : ces trois forces sont donc dans un plan qui est vertical et contient les droites OM, AC normale au plan donné ^ OA est donc une ligne de pente de ce dernier plan.
Soient maintenant OA = x^ ACM = 0, N la réaction du point M sur la sphère-, les coordonnées du point M par rapport à OA et à une perpendiculaire en O sont
X — Rsind et R(i — cosô);
les composantes de l'attraction de O sont de la forme À(x — R sinô), XR(i — cosô) -, on a pour l'équilibre de M,
en désignant par a l'angle du plan donné avec l'horizon,
— > (.r — R sin 9 ) -f- Q sin a -f- N sin = o,
— >R(i — COS0) — Qcosa -h NcosO = o.
La sphère est sollicitée par trois forces, N, P et la réaction en A, qui se coupent en C; projetons sur OA
P sin a — N sin r= o.
Eliminons N entre cette équation et chacune des deux premières :
(P-f-Q) sina — X(ar — R)sin0 = o,
PsinacosO — Qsin9cosa — XR(i — cos9)sin0 = o.
La première donne x quand on connaît 6, et cet angle est déterminé par la dernière^ prenant pour inconnue
tang - = M, elle devient
Psinatt^-H 2 (XR -f- Qcosa)i/3-4- 2Qcosau — Psiaa = 0.
Cette équation et sa transformée en — u ont chacune une variation 5 il y a précisément une racine positive et une négative, et la substitution de i et de — i montre que la première racine est entre zéro et i , la seconde entre — I et — 00 ^ il y a deux positions d'équilibre : pour Tune fi est <C. 90*^5 pour l'autre, il est entre 180 et 270 degrés. Si P est beaucoup plus grand que Q, u se rapproche de i et de — I, fi de 90 ou de 270 degrés.
52. Une tige AB, de poids P, est mobile autour de son extrémité A, et soutenue à Vautre par un fil de masse négligeable et de longueur l\ ce fil passe sur deux trèspetites poulies C ef D, la première située ^verticalement au-dessus du point A, et se termine en H où il soutient l'extrémité d'une chaîne pesante, de longueur X, parfai-
lement flexible , et dont l ^ autre extrémité est attachée en un point fixe E sur la verticale de la poulie D. On donne la distance AG =^h du point A au centre de grai^ité de la barre AB et le poids q de l'unité de longueur de la chaîne EH, et l'on demande la position d' équilibre du système ( Agrég. , 1 87 1 . )
Soit I rextrémité inférieure de la chaîne^ la longueur HI que le fil a à porter s'obtient en évaluant de deux manières la longueur DI :
DI r= DH -f HI = DE -f- X — HI, HI = - (DE -h > — DH ),
et la tension du fil sera T=-^(DE + X — DH). Le fil
devant tenir la barre AB en équilibre, le moment de sa tension par rapport à A est égal au moment du poids de AB ;
T X AC sinACB = P^ sinCAB.
Mais, dans le triangle ABC,
sinCAB CB ^ ^ PACB
= -zr ; donc T ==
sin AGB AB ' AB X AC
D'ailleurs BC = / — DC — DH5 donc on a, en reprenant la première valeur de T,.
I^(DE-f-X-DH) = -^|^(/-DC-DH),
d'où
2P^(/-~CD) — gAB.AC(DE-4-a) "~ 2PA — ^AB.AC
La valeur de DH donnera la forme du système. Pour que le problème soit possible, il faut que DH soit positif et inférieur à DE 4- i, et aussi à / — CD — ( AC — AB), en prenant pour cette parenthèse sa valeur absolue. Un cas re-
marquable est celui où Ton a
i^h=i qÂB, AC, / — CD = DE-f-X;
DH est de la forme -> c'est-à-dire que le système sera en
équilibre pour toutes les inclinaisons de la droite AB. On trouve là le principe d'un système de ponts-levis, dits à contre-poids ^variable, du au général Poncelet.
53. Trois sphères égales, de poids P, de rayon a, sont attachées à un point fixe O par des fils de longueur l \ sur ces trois sphères, on en pose une autre de poids Q et de rayon h \ déterminer les conditions d' équilibre du système en supposant les centres des trois sphères soutenues dans un plan horizontal.
Soient A, A', A" les centres des sphères de rayon a, B le centre de la quatrième*, il peut arriver que les sphères A, A', A" se touchent, et que chacune soit en équilibre sous l'action de son poids, du fil qui la soutient, de la pression N exercée par les deux sphères de même espèce et la pression N| de la sphère B \ ou bien les sphères ne se touchent pas et les forces N n'existent plus.
Soient, dans le premier cas, ^ et (3 les angles de OA et de BA avec la verticale 5 les points A, A', A'' forment un
triangle équilatéral dont le rayon est --=:', on a
sma = — .^ smp =
Les pressions exercées par A' et M sur A se composent en
une force N sj'i , horizontale, passant au centre A et située dans le plan AOB-, pour l'équilibre de A, il faut annuler la
somme des projections des forces qui le sollicitent sur la perpendiculaire à OA dans le plan AOB :
Psinor — N, sin(p — a) — N^cosa = o.
L'équilibre de B s'obtient en projetant les forces qui le sollicitent sur une verticale : Q — 3 Ni cosj3 = o. Substituons Ni dans la précédente :
Psina-Sî^^P^-T-^'-Nv^Scosa^o.
3 ces p ^
Pour que l'équilibre soit possible dans les conditions supposées, il faut que N soit positif, ce qui donne
3Psinacosp — Q(sinpcosa — cospsina)>> o,
(3P -. Q) -^ ^ . - 3-(-,V.T' ><^ T^TIWl V " - ^^"^
OU
— 3[3(a -f- fc)=— 4a»]P»<o.
n faut que Ton ait l^a-h b'^ on aura en outre
(a-4- b) ^3^ia\
sinon la sphère B passerait entre les sphères A, A', A", et ne pouiTait être soutenue. La seule condition pour que l'inégalité (i) soit satisfaite est que Q soit inférieur à la valeur positive qui annule le premier membre.
Supposons que les sphères A ne se touchent pas, et soit 2X la distance de leurs surfaces, en sorte que les côtés du triangle AA'A'^ soient a (a -Ho:); les formules trouvées pour le premier cas se modifient d'une façon très-simple \
on trouvera
sma =3 — ^ — ^z—^ , sin S =: - '
. Q sin(p— a) tc w Q
Psina— -- ^^-- -'=0, NrrrO, N, ::rr ■ ^ .
3 cosp 3cosp
)v/3 On en lire
(a -\-xf=j(a-\- b)
3,. . u^. r-ja-^bY Q»
4^ "^ 4 P»-f-2PQ
On reconnaît que, P étant constant, a-^x diminue quand Q augmente ^ pour Q = o, on a
a-f-x= — (a-4-ô), dou p=:-*,
B est dans le plan KA!A!''^ Q pourra augmenter jusqu'à ce qu'on trouve x = o, et alors il a précisément la plus grande valeur qui satisfaisait à l'inégalité (1)^ quand Q est inférieur à cette limite, il y a deux positions d'équilibre \ audelà, il n'y en a plus.
54. Un segment de paraboloïde de ré\^olution dont l'axe est ^vertical et le sommet en bas repose sur deux plans également inclinés, qui le tiennent en équilibre; si on le suppose partagé en deux moitiés par le plan vertical qui contient l'intersection des deux plans fixes, quelle hauteur peut-on donner au segment sans que les deux parties se séparent? ( Waltow ) .
Soient O le sommet du paraboloïde, A le point où son axe coupe la base du segment, OA = A, C, C les points de
Sun LA MÉGA?ilQI3E RÀTXOlfKELLE. y 5
contact avec les deux plans, i rinclinaison de chacun de ces plans ; je prends OA pour axe des z, le plan de séparation des demi-segraents pour plan desj^z, et une perpendiculaire en O pour axe des x. Le centre de gravité du volume OAC est situé dans le plan xz^ et Ton obtient son abscisse en décomposant le volume en tranches parallèles à ZOY ^ on trouve aisément
Jnyiph r / ^5 \ n
I % sl^ph — X* (h — ^—\ xdx •=: —=— slipk .
ith^p
Les coordonnées du point de contact C sont ^tangi, zéro, -/>tang'i^ la réaction normale du plan rencontre la verticale du centre de gravité en un point H dont le z est
z'^= - p tang'/ — (x, — p tang/) cot/
= - 0(2 -I- tang'/J ^- v2/?Acot/.
Les deux parties exercent Tune contre l'autre une pression qui est nécessairement horizontale, et dont le point d'application est entre O et A; la pression exercée sur Tun des solides doit faire équilibre à son poids et à la réaction du plan sur lequel il s'appuie; ces deux dernières forces ont une résultante qui passe en H, et qui, pour une valeur convenable de la réaction du plan, est horizontale; mais, pour qu'elle puisse détruire l'action du second solide, il faut que z' soit ^ o :
2Â ^ iStt,
— <-r— 2tang; -htang^z).
On a ainsi la hauteur maximum compatible avec l'équilibre.
55. Déterminer la forme d* équilibre d'un polygone plan ABCDEF dont chaque côté est sollicité par une force qui lui est perpendiculaire, appliquée en son milieu et proportionnelle à sa longueur.
Cette équation, résolue par Fuss (Mémoires de V Académie de Saint-Pétersbourg, '^^ 7)? peut être traitée simplement en partant de ce théorème que, si trois forces se font équilibre, elles sont concourantes et dans le même plan. Le côté AB est en équilibre sous l'action de la force X AB qui lui est normale, et des deux réactions R, R' exercées par les côtés voisins AF, BC 5 ces deux forces doivent concourir en un point I sur la perpendiculaire au milieu M
de AB: AIB est isoscèle, et R = R'= — .' ^^ > Or élevons
' 2 smIBA
en B une perpendiculaire à IB qui rencontre IM en O ; on
voit que R = iBO, BO = y' Pour une raison analogue, la
perpendiculaire au milieu de BC coupe BO en O', tel que XBO'= R^ donc BO = BO', et les droites menées par les sommets perpendiculairement aux réactions mutuelles des côtés qui y aboutissent concourent en un point O équîdistant des sommets. Le polygone ABCD. . . est inscrit dans un cercle, et les réactions des côtés les uns sur les autres sont égales et tangentes au cercle.
Si Ton imagine un vase dont les faces latérales soient des rectangles articulés suivant leurs droites d'intersection qui sont verticales, et dont le fond soit formé d'une membrane extensible; si l'on verse un liquide dans le vase, chaque face latérale éprouve une pression normale proportionnelle à son aire, et la section droite est un polygone inscriptible dans un cercle.
56. On donne dans un plan ^vertical un assemblage ABCDE formé de quatre barres égales, pesantes et homo-
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. nn
gènes, articulées entre elles en BCD \ les extrémités A e£ £ sont attachées par des charnières à deux points fixes d'une horizontale; on demande la forme d'équilibre, (Couplet, Des charpentes.)
J'applique la méthode de Varîgnon pour l'équilibre du polygone funiculaire : je mène par un point O [fig* 4) ^"^^ droite Ob parallèle au côté AB du comble et proportionnelle à la pression qui s'exerce sur chaque section droite de cette barre. Comme le poids P de chaque barre peut être
Fig. 4.
remplacé par deux poids yP appliqués à ses extrémités, le polygone ABCDE est dans les mêmes conditions que si des forces verticales P étaient appliquées à ses sommets mobiles \ si donc par le point b je mène une verticale bc proportionnelle à P, Oc représentera en grandeur et en direction la pression du côté BC •, de même, si crf = rfe = P, Orf, Oe seront parallèles à CD et DE. Cela posé, je dis que Oc et Oé/ font des angles égaux avec Thorizontale OH^ car, si Ton avait cOH^HOd, on aurait aussi iOH^HOe^ la projection de ABC sur une verticale serait plus grande que celle de CDE, et A et E ne seraient pas sur une même horizontale.
Alors &H=: 3cH-, si donc a et ^ sont les angles de AB
yS RECUEIL d'exercices
et de BC avec l'horizon, on aura
tanga = 3 tang^.
Il suffit d'écrire que AE est égale à la projection du polygone sur l'horizon pour avoir une seconde équation entre a etp
l=zp[coscL •+- cosp).
Posons tangP = a:, et éliminons a :
y^-H Qx^ V^I H- x=' P
Quand x croît de zéro à oo , le premier membre décroît de 2 à zéro ^ il y a donc une et une seule solution quand l'écart AE est moindre que deux fois la longueur d'une barre.
57- Position d' équilibre de deux poids égaux assujettis à rester sur une parabole dont l'axe est vertical, et se repoussant ai^ec une intensité inversement proportionnelle à leur distance.
Soient A, B les deux points, a:, y^ oc\j' leurs coordonnées, a:*= 2/7J- Téquation de la parabole. En écrivant pour les deux points la condition X dx-^ Y rf^ = ô, on trouve deux équations de la forme
Remplaçons^" et r' par^^j ^— > et débarrassons les frac-
lions du facteur x — x' qui ne peut être nul 5 il vient
Retranchons la première de la seconde, et simplifions en> core la fraction :
On a d'abord la solution j:' = — x^ et, en substituant dans l'une des équations (i), on trouve
Si l'on cherche une autre solution, on divise par x -H or', et il reste
dans ce cas, ajoutons les équations (i) après avoir multiplié la première par x\ la seconde par x\ on en déduit
xx^ •=. — 2/>';
on connaît la somme et le produit de a: et de j:'. Cette seconde solution est réelle toutes les fois que jix' — agp > o-
Équilibre en tenant compte du frottement.
58. Une tige pesante OA, parfaitement mobile autour de l'extrémité O, s'appuie en A contre un plan ^vertical dépoli ; déterminer la position de la barre quand elle est sur le point de glisser.
Soient a la longueur de OA, Q son angle avec la perpendiculaire OP abaissée sur le plan fixe, ^ l'angle du plan
8o RECUEIL d'exercices
AOP avec rhorîzon, N la pression normale, fN la force de frottement dirigée suivant la tangente en A au cercle que A peut décrire sur le plan fixe. Prenons pour axe des z la verticale de O, pour axes des x OP, pour axe des j" une perpendiculaire aux deux premières ^ les coordonnées de A sont a cosd, a sinO cos^', asinO sin^p*, les composantes de la force de frottement X = o, Y = — fH sintj/, Z =/*N cosvp. Nous n'avons qu'à égaler à zéro la somme des moments par rapport à OZ :
— a/N sini|/cosô -h «N sinOcos\|; = o, tang^j/ = ^tangO;
il y a toujours une solution indépendante de l'épaisseur de la barre.
59. Une tige homogène AB peut tourner dans un plan vertical autour de son milieu C, et porte à une de ses ex^ trémités B un poids Q \ une autre tige OE, mobile autour d'une de ses extrémités O, appuie sur l'extrémité K de la première tige; le point O est situé verticalement au-dessus de Ci à une distance CO = CA = a ; déterminer la posi-tion du système quand le point A est près de glisser sur OE, en remontant vers O ou dans le sens opposé.
Le poids P de OE peut être considéré comme appliqué en son centre de gravité à une distance A de O. Soient a l'angle COE = CAO , f le coefficient de frottement 5 quand le point A sera près de glisser vers E, la barre AB éprouvera en A une action N normale à OE, faisant avec
AB l'angle a, et une action fH faisant l'angle a en
dessus; prenons, par rapport à G, les moments des forces qui sollicitent AB :
Q sin2a — N cosa -+-/N sina = o.
Prenons par rapport à O les moments des forces qui agis-
SUR LÀ MÉCANIQUE RÀTIOHHELLE. 8l
sent sur OE ;
2Na cosa — P^ sina =: o.
Éliminant N :
sina[4aQcos'a — PA(cosa — /*sina)] = o.
On a la solution évidente a = o et une autre qui dépend d'une équation du quatrième degré. Quand le glissement doit se faire vers AO, on change y en — f.
60. Une tige pesante et homogène AB s'appuie par son extrémité A sur une horizontale, et touche en un point variable M une courbe située dans le plan vertical qui contient la droite fixe; les coefficients de frottement sur cette droite et sur la courbe sont égaux. Déterminer la courbe de manière que, dans toutes ses positions^ AB soit sur le point de glisser.
Prenons pour axe des x un point O de Thorizontale fixe, qae nous choisirons plus tard, et désignons par aalalongueur de AB, par P son poids, a son inclinaison sur OX, N et N' les réactions normales en A et M, (f Tangle de frottement.* Projetons les forces sur une horizontale, une verticale, et prenons les moments par rapport à A :
/N = N'(sin« —/cosa), P = N -+- N'(cosa -+-/sina),
aPCQSOL=Z -; — ^
sma
y étant l'ordonnée de M. On tire de ces équations
Psin^cos^ „ Pcosçsin(a — y)
sina sina
sin2f
y = —, sin*« cosa.
Cest une équation diflerentielle de la courbe cherchée;
Di S.-G. — JKee. 6
8a REGDEIL D* EXERCICES
mais, pour la construire, il est commode d'exprimer j: et^ en fonction de a, et de faire varier ce paramètre au lieu de l'éliminer. En posant na = nsinâf , on trouve
y=zn sin* a cosa, dy=iin[Z cos'a — i) sina doL^ dx = dy cota = /i (3 cos'a — i) cosa^a, ar = (2 — sin'a)/{ sina.
Nous plaçons ainsi l'origine à l'extrémité A de AB quand elle est horizontale. La courbe est symétrique par rapport aux deux axes, parce que, si Ton change a en — a, j^ ne change pas, et x se change en — a: 5 si Ton remplace a par TT — a, c'est X qui ne change pas. Il suffit donc de faire
varier a de zéro à -; quand a varie de zéro à arccos -=, xçXy augmentent tous deux en partant de zéro, pour atteindre, le premier la valeur î/i 1/ô> l'autre - n l/-î« En
ce point, il y a rebroussement, et quand cl varie depuis la valeur précédente (54**440 à 90 degrés, xeljr diminuent, le premier jusqu'à n, le second jusqu*à zéro.
En se reportant aux valeurs de N et de N' qui doivent être positives, on voit que la seule partie utile de la courbe est celle qui répond aux valeurs de a supérieures à f .
Quand (f varie, on obtient des courbes homothétiques : ' l'équation de l'une d'elles serait, en coordonnées polaires,
r« — (36cos»0 — 27 cos^ô — 8)/iVh- 16/1* sin*e = o.
61 . Quels dowent être les coefficients de frottement du fer sur le fer et sur le sol pour que quatre boulets sphériques, disposés en pile triangulaire, soient sur le point de glisser i
Soient P le poids commun des quatre sphères, O le centre d'une des trois sphères inférieures, O' oelui de la sphère supérieure; la droite 00' fait avec l'horizon un angle a
SDR LA MÉCÀNIQI3E EATIONNELLE. 83
dont le cosinus est -n*, soient encore A et B les points de
contact de la sphère O avec C et avec le sol, N , N' les réactions normales en ces points, ff les coefficients de frottement aux mêmes points. L'équilibre peut être rompu, soit parce que les sphères O glissent sur le sol aux points B, la sphère O' roulant en A, soit qu'il se fasse un glissement en A et un roulement en B5 il faut considérer le cas où l'un et l'autre de ces mouvements sont prêts à se produire; mais la direction des deux glissements de O' sur O ou de O sur le sol se trouve par raison de symétrie dans le plan vertical de 00'. Projetons sur l'horizontale de ce plan et sur une verticale les forces agissant sur O, et prenons les moments par rapport au centre :
N(cosa —/sina) =/'N', P -t- N{sina -f-/cosa}= N', d'ailleurs N' est évidemment égal à ^P; on en conclut
- , ., COSa I n: r- ^ r^
i-+-sma y'3-f-v/2 ^
62. M. Kurtis a signalé une formule qui permet de trouver aisément Téquation d'équilibre d'un solide sur lequel agissent une force extérieure et deux réactions \ il suffit d'écrire que ces trois forces sont concourantes, car on pourra disposer ensuite des grandeurs des réactions pour compléter les conditions d'équilibre. Or, si, dans un triangle ABC, on mène une droite AD qui coupe BC en D. on trouve sans peine
/N .HT.^ DCcotCAD — DBcotDAB DBcotC — DCcotB
I) cotADB = = •
