ÉQUILIBRE D*UN FIL FLEXIBLE

63. Considérons un fil parfaitement flexible et inextensible 5 chaque élément ds est sollicité par des forces exté-" rieures dont les composantes, suivant trois axes rectangulaires, sont Xe/5, Yds^ Ztfj; T désignant la tension en un point du fil, on a les équations d'équilibre

d^r dY d%

(i) €/T— -4-X^ = o, €/T-f--|-Y€/j=o, €/T--H-Z€/5=o. ^ ' ds ds ds

On pourrait en déduire j^ z, T en fonction de x^ ce qui résoudrait la question.

Si Ton ajoute les équations (i) après les avoir multipliées

dx dy dz -.dx ^

respectivement par —, — » -7- ou par a — »•••? ou enfin

CLo CXv €IS CL3C

par dyd^z — dzd^j^. • •^ on arrive à trois conclusions, qu'on peut aussi obtenir en projetant les forces qui sollicitent l'élément ds sur la tangente, la normale, la binormale :

i** dT=: — {^dx +Ydy -^ïdz)'^ lorsque le second membre est întégrable, on peut en déduire T en fonction d'une constante et des coordonnées d'un point quelconque du fil.

2** p étant le rayon de courbure, est égal à la composante normale des forces qui sollicitent l'élément ^55 cette relation peut servir à trouver le rayon de courbure de la courbe funiculaire.

88 RBCUEIL D^EXERCICES

3^ La résultante de ILds^ Yds^ Zds est dans le plan osculateur à la courbe.

64. Forme d'équilibre d'un fil flexible, homogène, non pesant, dont les extrémités sont fixées, et dont les éléments sont repoussés d'une droite fixe AB par une force perpendiculaire à cette droite et proportionnelle à la distance du point à AB. L'hélice peut satisfaire aux con~ ditions de la courbe funiculaire . Cas oîi les extrémités du fil -sont dans un plan qui contient AB. Cas où elles sont en A^B^ et oit la longueur du fil dépasse peu la distance KR, (La partie principale de ce problème a été proposée pour l'agrégation, i84â-)

Prenons un système d'axes rectangulaires dont A soit l'origine, AB Taxe des x \ les équatipns d'équilibre ont la forme

dx dy dz

(I) ifT-7- = o, dT'i--^<^Wds = o, dT-^-htA^zds=:o. ^ ' ds ds ds

La première donne T^ = C. Il est aisé de reconnaître

que le système est satisfait si le fîl a la forme d'une hélice tracée sur un cylindre dont Taxe est AB et le rayon R. Soit a l'angle des tangentes avec AB-, on a

dx dy z sin ol dz y sin a

— -=cosa, -f- = — j -— = i^— - — .

ds ds K ds K

Substituons dans les équations générales, on aura

^ C ^rsin'a ^zsin'a

CCS a R'cosa R'oosa

Ce système est verine en taisant C = — 7—^ } ce qui

•^ sin' a ^

donne la tension en chaque point de l'hélice.

Sun LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 89

J'écarte le cas de C = o, qui donne pour tous les points T== o, avec y = z = o ou bien dx = o. Quand C n'est

dx pas nul, T et — ne changent pas de signe*, on peut, en choisissant le sens de ds^ prendre leur produit positif et écrire

as 2

mais dT= — w' {ydy-i-zdz). Posons ^y=rcos6, s=rsin9, nous aurons

T =ri »'(«»— r»).

Ajoutons enfin la deuxième équation (I) multipliée par — ^ -et la troisième par — y

L'élimination de T donne les équations de la courbe funiculaire

ds

dx

On voit que x et 6 vont sans cesse en croissant d'une extrémité à l'autre du fil. Si ces deux bouts sont dans un plan passant par A6, 6 sera constant ou croîtra de 7.mz, Plaçons-nous dans le premier cas, seul admissible si un bout du fil est sur ÂB^ le fil est dans un plan passant par cette droite ; en le prenant pour plan des xj^ nous ferons r z=y^ et nous aurons

(n) c'$ = «'.,», dx = ±: '''^^

dx • ^/^^2 yiy ^4

Si la seconde extrémité du fil est sur AB, il y a un point

OÙ — = i^ donc a*'^ c*. On voit qu'alors jr va en croissant de o à ^a* — c*; le radical est alors > o, puis il change

de signe •, jr décroît jusqu'à — ^* — c', et croît ensuite, etc. On peut mettre dx sous une forme plus simple, en posant

jrz=z^a^ — c'sin», dx=z ^

da^+ c^ i/ i ; ; sin"©

L'exprQssion de ds se forme à l'aide de (II)

ds

= do v^f'-h c* i / I sin*® — ttc.

On a ainsi des intégrales elliptiques de première et de deuxième espèce. Comme, au point B, 7^= o, y doit varier de o à 72ir, et la courbe présente n branches égales, tour à tour au-dessus et au-dessous de AB. En général n peut être choisi à volonté. Pour déterminer a et c, on exprime que, pour f = tzk, 5 = 2/ et ,r = 2A, ce qui donne aisément

TT

hz=

nc^ /* ^ d<f

V^ÔH^ I , / «'— c^ . , / 1/ I 1 -, sm»y

TT

mais ce sont deux équations transcendantes. La courbe est

SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 9t

quarrable. Soit n= i:

Jo ^7 ~" Jq )/'2c'~^{a'''^c^ ) CCS» y

L'aire engendrée pour la révolution autour de AB est aussi quarrable.

Pour le cas où / surpasse peu A, je pose a' — c'= e', et j'ai

dxzrz -^

On remplace 2c'h- e* — j^* par ac', et il vient

zticdy , .r V 2

ds = dx \ / H ces* — ^~ = c?j: l 1 + -, ces* h • •

Les conditions données par le point B sont

On en déduit les constantes c et e, et l'équation de la courbe devient

4 ixTj T\ ' ^^-^

y= "^ S/h(l — h) sm — r- •

•^ /ITT ^ ^ ' 2/t

C'est une sinussoïde. La tension est

/ — h nnx ces'

I ds Ah^ f A-