Déterminer la forme d'équilibre d' un fil pesant
Q2 RECUEIL d'eXERCIGÉS
OU la densité varie en fonction donnée de l'arc, ou déduire cette loi de variation connaissant la forme de V arc. Exercices sur la chaînette.
Ces questions peuvent se trailer à Taîde des équations générales (i); mais il peut y avoir avantage à introduire Tangle a de la tangente au fil avec l'horizon (Casey, Cambridge Messenger, III). De ce que le plan osculateur est toujours vertical, il s'ensuit que le fil est dans un plan vertical. La première équation (i) donne
T ces a = T.
pds étant le poids d'un élément, la composante normale de ce poids est égale à T multiplié par l'angle de contingence
TdoL =z pds cosa.
Combinant avec la première, où r est la tension au point le plus bas,
doL dXdLnaoL r
T — —=zpds, pz=ZT ^ —
ces' a ^ ^ fig p cos'a
Quand la chaîne est un cercle,
Rt
p rrr R, p z=:
R^cos'a'
la densité est réciproque au carré de la distance au diamètre horizontal.
Pour la cycloïde, convexe vers le bas,
pzr:4«COSa, P = •
aacos^x
Pour la parabole à axe vertical de demi-paramètre c,
c T ces a
ces* a c
SUR LA MÉCANIQUE RATIOWNELLli. gS
Pour l'hyperbole équîlatère 7* — j:* = a",
p= iî /?= 7- (cosaa) •
Soit donné p constant :
T ;;::7: =^pds cosa ^=zpdx^ pxzzzrJu tang ( 7 -♦- - )
CCS a
, , . T sinacfa t t ^ \Z 2/
p cos*a pcosoL p
2 tang
Si Ton pose - = a, on a
puis
I / i -i\ ct)sa=r— , tanga=:~le^ — e *"/,
cosa
Ces formules donnent immédiatement la solution de quelques exercices sur la chaînette, que j'emprunte au P. JuUien :
« Un fil homogène est attaché en deux points d'une horizontale dont la distance est 2a : quelle doit être la longueur du fil pour que la tension aux deux points d'attache soit égale au poids total? Qael est Tangle a de la tangente en ces points ayec la verticale?
> Un fil homogène, dont les deux extrémités pendent librement,
p4 1LECUE1L d'eXEUCICES
est posé sur deux chevilles à la même hauteur, et dont la distance est 2«; "pour une longueur totale donnée du fil, déterminer la longueur qui est courbée en chaînette : les deux bouts libres sont égaux. En appelant 2/ la longueur du £1, le paramètre c de la chaî-
nette qu'il forme dépend de l'équation l=z ce^^ et l'arc courbe a
pour longueur c\e^ — e ^ ) ,
a Un fil homogène a une extrémité fixée en un point d'une tringle horizontale, l'autre est portée par un anneau enfilé sur la tringle et dont le poids est n fois celui de la demi-chaîne ; le coefficient de frottement sur la tringle est /*, et la longueur du fil / : quel est l'écart maximum de ses extrémités pour qu'il puisse y avoir équilibre? On trouve
66. Un fd flexible et inextensible^ pesant^ est fixé à ses extrémités; outre son poids, chaque élément supporte une charge proportionnelle à sa projection horizontale ; déterminer la loi suivant laquelle varie l'épaisseur du fil lorsque la tension en chaque point est proportionnelle à l'épaisseur; forme de la chaîne^ sa longueur, son poids. Ce serait le problème d'un pont suspendu, sauf l'allongement du câble, application numérique pour mettre en évidence la nature des constantes : il s'agit d'un câble en fer, dont le poids spécifique est 7,7 ] les deux points d'appui sont à 100 mètres l'un de l'autre sur une horizontale, lafièche de V arc est de lo mètres, le poids supporté par la chaîne est 3 00 kilogrammes par mètre de projection, enfin la tension doit être de 11 kilogrammes par ndlli^ mètre carré de section.
Les équations du problème sont de la forme suivante :
dT-^ = 0, dT-, pds-^qd}c=^o,
as as
SUR Ll MÉCANIQUE KÀTIOHNELLE. qS
p étant le poids d'une longueur égale à Tunité avec l'épaisseur correspondant à Télément ds^ q la charge additionnelle pour une longueur dont la projection est l'unité. On doit avoir T = ap. En appelant c la valeur de p au point le plus bas, les équations précédentes donnent
dx dy ds*
as cLx cLx
OU
,dy
acd --
dx
•=idx.
dy^ dx^
Intégrant, en prenant pour axes la tangente et la normale au point le plus bas,
r = — a L ces — i / •
Il n'y a qu'une branche utile, symétrique par rapport à OY^ pour a: = o, ^ est nul^ elle croit jusqu'à l'infini pour
x = - a i/ ; au delà y est d'abord imaginaire. Pour
rectifier la courbe, on a
, 7 + c nx z^ — I
Je pose - = 71, tang — = :
* c ^ ^ a inz
flf(l +z')'<fz dz . («* — \)zdz
96 REcimiL d'exercices
Pour a: == o, on a
d'où la valeur compliquée de 5
on (z'4-2/2' — a/ï ^n^ — i )(i-H2/i'H-2/i y^/i' — i)
Le poids est moins compliqué, car il est égal à
= a slc{q^c) tang^ W
qx.
Dans l'application numérique, considérons une portion du câble de i millimètre carré de section; le poids de l'unité de longueur serait le poids de i centimètre cube de fer, 0^^,0077; la tension étant de 11 kilogrammes, a est égal à
= mètres. L'équation (I) doit être vérifiée
pour X = 5o™, j^ = 10"; c va être déterminé par l'équation
35o /3oo -h c L ces ^^^^^ i / = — 0,007.
Pour résoudre rigoureusement cette équation, il faudrait passer au logarithme décimal, chercher l'arc correspondant en fonction du rayon, et en déduire c; mais, comme l'arc est petit, en le désignant par a, on peut prendre
L cosa = u*, ce qui nous donne
Un mètre de fer ayant l'épaisseur de la chaîne au point
le plus bas pèse 28*^, 7 , il occupe un volume — — = 3^*', 7 ;
la section est donc 87 centimètres carrés.
On peut achever les calculs approchés, mais sans logarithmes. Calculons d'abord
Au point le plus haut, — est égal à y/i -*- (0,402)".= 1 ,078 \
la section de la chaîne sera de 40 centimètres carrés. Le poids de la chaîne sera
a \c(q -h c) tang — 4/ 100^
X 28,7 X 0,402 — Boooo =: 2964^'.
Dans aucun cas, - i/- • ne peut atteindre - 5 il faut
toujours avoir
x<^'- a i / <r - « ou :c <r 224o™.
^2 V q-hc^ 2 -- t
67. Forme d'équilibre d'un fil homogène et pesant, posé sur la surface d'un cône droit dont l'axe est vertical et le sommet en bas, (Vieille.)
En supposant le cône parfaitement poli, sa surface exerce sur chaque point du fil qui la touche une réaction normale
De S.-G. — Rec, 7
98 ILEGUEIL d'exercices
dont les composantes sont
^,.Tds ^. yds ,, 2 tanfir'afl?.ç ,, ,
— N— , — N^, N -| , V=:^a:^-hj^+z'tang*a;
a est le demi-angle au sommet du cône. On a les équations
d'équilibre
a.T -r- = — xds.
as V
dz . N
d,T-r =pds — - ztSLns^xds.
ds V
On en déduit
dTz=.pdz, Tz=p(z--a).
Multiplions la première par — y, la seconde par j:, ajoutons et posons x = r cosô, j^ == r sinô, nous aurons, en tenant compte de la valeur de T,
,„ / dr dv\ , , dB
La Géométrie donne
zzizr cota, ds*z=:r^dQ^-\ : dr^;
sm'a
donc
(I) sinar/9=:
r^r^[rcolQL — ay — c*
Cette équation n'est pas généralement intégrable; mais, comme z doit être ^ a pour que T soit positif, r cota ^ a 5 la quantité sous le radical ne s'annule que pour une râleur Ti supérieure à atanga; si donc r est d'abord croissant, il croit indéfiniment; s'il décroit d'abord, il atteindra un minimum r^ pour augmenter ensuite à l'infini. On peut
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. gg
voir que la projection du fil, définie par l'équation (I), a des asymptotes passant par le centre 5 car, en supposant 6 = pour r = Ti, quand r devient infini 6 devient égal à
^^" ^ Jr >/^' (' CO^ * -la)»— T^ '
le dénominateur étant de l'ordre de /**, 0^ est fini. Quant à la distance du pôle à l'asymptote, c'est la limite de rsin(0i — 6) pour r infini; or
lim 7^ sin ( 0, — Q)-- lim — = lim
,. c'rsina
= hm ■ -- 1.^ = o.
^r^[r cota, — a)- — c*
On peut intégrer (I) quand a = o; le minimum de r est Ti = c ^/tanga; si pour cette valeur est nul, on aura
^ . I ^'tanffa , c'ianca
Ôsma=-arccos ^^—y /•'= — ; — -•
2 r* cos2(ôsma)
Il est aisé d'en conclure que le fil suit la transformée d'une
hyperbole équîlatère dont le demi-axe est - ? et
ysinacosa
dont le plan serait enroulé sur le cône, le centre de l'hyperbole étant au sommet du cône. Pour réaliser ce cas, supposons que les extrémités du fil soient attachées à des hauteurs égales, en des points pour lesquels r = r', 6 =:±: fl'; et soit 2 / la longueur ; on doit avoir
,j c'tanga cosa /"'' r^dr
'' ~cos2(fl'sina)' ~'^^ X .Jû^ V^'' «ot'a ^
lOO RECUEIL d'exercices
la première détermine c' et la seconde / à l'aide d'une intégrale elliptique.
On peut encore intégrer (I) quand le polynôme sous le radical admet un facteur double ; alors
^c^z=za^ tang a, r, = — a langa
et
a'tanga^r
cosa<fÔ =
/•(^r — a tanga) ^(2/* — atanga/ — aa^ tangua
dr
ir — a tanga r)
\l{ir — «tanga)' — 2a^ tangua
ou
T aJ^. ' ar-f-atan'îa
ô cosa =: — r aix cos arc ces =: 5
^2 arcota — a 2ry^2
quand r va de r^ à 00 , 9 croit de y (^ — i) séca.
Pour déterminer la pression exercée en chaque point sur le cône, ajoutons les équations d'équilibre multipliées respectivement par x^y^ — z tang*«,
di* dY /zz
(II) xd.T-^ ^yd,T-^ ztang^arf.T-- =NVc&— /?ztang»afl?,v.
Or l'équation du cône donne
dx dy ^ dz
d'où
tir dy ^ ^dz
xd- hrrf-^ ztang'a^-7-
ds ds ^ ds
= -(^'-4-£(y»— £&*Uag'a) = ( — — -rr — I ) ds.
ds^ " ' \cos'a ds^ J
SUR LA MÉCANIQUE UATIONNELLE. lOl
Tenant compte de ces relations, on tire de (II) NV=^ztang'a(^,----^,)T
= 273 tangua —p[z — a) -—- - . , - *
Remplaçons dO par sa valeur générale en fonction de rfr,
z par rcota, et V par » nous trouvons
* ^ cosa
N z=p sm a '-\-, ^——ç- '
Pour r infini, N =p sîna ; pour savoir s'il est positif tout le long du fil, on cherche le §îgne du numérateur pour r=:ri'^ comme r\ (ri cota — a)"= c*, le numérateur a le signe de ri(ri — atanga) — (r^cota — a)" ou de a-|-ri(tanga — cota).
Or Tj =. - tanga [a -h y^a"-h4c' cota) \ pour que N puisse
être <[o, il faut
aa -4- tanga (tanga — cota)(« h- y^a-'-h 4 c' cota) < o,
ce
qui exige en tous cas a<Ciy
68. Forme d 'équilibre d'un fil dont chaque élément est . soumis à une pression norm/ite proportionnelle à sa distante à une droite fixe; ce serait la forme trajisuersale que tend à prendre vers son milieu une^ enveloppe cylindrique fi exib le dont les bords sont tenus par deux tringles horizontales, et dans laquelle on verserait un liquide pesant. (Resal.)
Traitons rapidement ce problème pour donner un exemple de discussion de courbe définie seulement par des relations entre les coordonnées et un paramètre variable. Je
lOa RECUEIL d'exercices
prends pour axe des x Thorizontale sur laquelle sont les extrémités du fil. Taxe des y étant dirigé vers le haut, et j'appelle a Tangle de la tangente avec Taxe des x. Le fil étant soumis à des forces normales, la tension est constante \ nous avons, en projetant sur la normale les forces qui sollicitent Télément ds et observant que la courbe est évidemment plane,
(i) T—=TdaLz=z — pyds.
Multiplions par sina, posons T = a'/7 et appelons (3 la valeur de a pour j^ = o,
(2) <3'sina<fa=: — ysinads = — ydjr, y=i — ay2(cosa--cosp),
d'où *
, asina^a , , acosa//a
dy z=z — % cLr. z=z ccAcLcLy z=z - ^
\/2(cosa — cosfij y2(cosa — cosp)
adcf.
ds = -
^2(C0S« — COSpj
On ne pourrait avoir a: qu'à l'aide d'intégrales elliptiques^ mais on voit que, a croissant de zéro à |3, ^ va constamment
en augmentant : il en est de même de a: si (3 <^ - • Si
P]^-» X augmente d'abord pour diminuer ensuite 5 le
vase se rétrécit au sommet. J'appelle 2 c la distance des extrémités du fil, 2a sa longueur, et j'ai entre P et a les équations
cosp)
J^ V^2(cosa — cosp) ■ Jq y/2(cosa —
Posons, pour transformer ces intégrales, cosa = 1 — 2 sm* -» cosp = 1 — 2 sm' -> sm - = sm - smy.
SUE LA MÉCANIQUE KATIOHNELLE. Io3
d'où
sin' — sin^® 2 ^
Jo V 2 I â / • »P • ï
/ 4/ I — sin'-sin*®
— j — ne contient que l'inconnue sîn - /3, et on la calcule
par approximation à l'aide de Tables des fonctions elliptiques complètes. Si Ton se donne /3, on trouve le rapport
— r— : soit p = - » on a
I sin' o
/ ^^ \/ ^ sin'ç 1= 1 ,35i, — j — =i,46'
On voit que, dans les conditions du problème, le minimum de c est zéro^ j3 est alors environ i3o degrés. Si /3 est plus
grand, quand a va de - à |3, a: devient négatif, et le fil pré-
sente un point double au-dessous de l'axe des x-^ si même on avait (3 = tt, la courbe s'étendrait à l'infini pour être asymptote à l'axe des x. Pour obtenir toute la courbe définie par l'équation (2), il faudrait faire revenir a de (3 à zéro; mais, en changeant le signe du radical, on a une branche symétrique de la partie utile par rapport au point qui est sur l'axe des Xj puis a va de zéro à — j3, j^ redevient nul, et la courbe forme une suite illimitée de branches superposables. Enfin remarquons que nous n'avons pas
I04 RECUEIL d'exercices
toutes les courbes contenues dans (i), car on eût pu disposer des constantes d'intégration de manière que la courbe ne coupe pas OX.
69. Un fil élastique, homogène à l'état naturel et pesanty est placé sur une cjcloïde dont la base est horizontale, et la convexité vers le haut; une extrémité est attachée au sommet, et l'autre^ qui est libre, atteint le point le plus bas; quelle est la longueur naturelle du fil, et la loi suii^ant laquelle uarie la tension P
Prenons pour axes la tangente et la normale intérieure au sommet^ la cycloïde est représentée par les équations
ar= «(tt -f- sintt), y= a(i — costt);
la longueur d'un élément est ds= 2a cas- udu^ et son poids de la forme
2a/? ces — ««« : ( i-f- — j 5
Q est la tension qui doublerait la longueur naturelle de l'élément. Projetons les forces qui le sollicitent sur la tangente, inclinée à Thorizon de -
dT -f- — — ap sinudu = o,
Intégrant, comme T = o pour m = tt,
(Q -4- TY= 2éï/?Q(i -H costt) -i- Q%
qui donne la loi de la tension ^ quant au poids du fil, c'est
cos- udu
J^^ :iapQcos\udu , — — . /
, = 2v/i/7Qarcsin 1/ ■
i/0^-4-4û/?OcosH" V '
l^ap
V^Q^-4-4fl/?Qcos4tt V 4^p -^ Q
On eu déduit la longueur naturelle en divisant par /?.
SUR LA MÉGAiriQTJE RÀTIONlf ELLE . Io5
Forme d'équilibre d'un fil homogène dont les extrémités sont fixes, et dont chaque élément est repoussé d'un point fixe avec une intensité inversement proportionnelle au carré de la distance.
Étant donnés trois axes rectangulaires dont l'un, OX, est horizontal, trouver la forme d'un fil pesant ayant une extrémité fixée en O, l'autre en un point quelconque : chaque élément est soumis à une force Vx parallèle à OX et sa masse est proportionnelle à sa projection sur OX. (Fuhemaitn.)
Trouver la force qui sollicite chaque élément d'un fil qui a la forme d'une demi-ellipse à axe vertical, et où la tension est proportionnelle à la projection de l'élément sur l'axe vertical.
io6
