OM £/.0C £/.AC
H ;— = AC -f- OC ==: OM;
dt
dt
dt
SUB LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. l5l
si donc on élève OV perpendiculaire à OM et égal a OP, Ja droite MV représente en direction et en grandeur, vu notre unité de temps, la vitesse de M; on a une construction simple de la tangente.
97 . Déterminer la tangente au lieu des points M (Jig^ i a) > tels que le rapport de leurs distances normales à deux courbes C et S soit une constante n.
On peut regarder le point M comme glissant sur une nor-
Fig. la.
maie AM à G, tandis que cette droite se déplace en restant
toujours normale : la vitesse de glissement sera -— — qu'on
peut prendre égale à AM avec une unité de temps convenable. La vitesse d'entraînement est inconnue-, mais on sait qu'elle est perpendiculaire à AM, puisque le mouvement d'entraînement fait décrire des courbes parallèles à G ^ la vitesse s'obtiendra en joignant M à un point convenable de la tangente à G en A ^ mais on peut aussi bien produire le mouvement de M en le faisant glisser sur une normale variable à la courbe S. Or MA = «MB donne
£f.MA=:^.MB;
donc la vitesse de glissement sera BM avec notre unité de temps : la vitesse d'entraînement sera parallèle à la tangente à S en B, et la vitesse absolue s'obtiendra enjoignant
M à un point convenable de cette tangente. L'extrémité de
la droite qui représente cette vitesse est donc au point V
commun aux deux tangentes. Les triangles rectangles MAV,
MBV donnent
cosAMV = n cosBMV;
on en conclut aisément que, si des rayons lumineux s'échappant normalement de la courbe C se réfractaient sur la surface lieu du point M, et si Tindice de réfraction était w, les rayons réfractés seraient normaux à S; car cosAMV n*est autre que le sinus de T angle d'incidence, etc. La courbe S a été nommée par M. Quetelet V anticaustique de C.
C peut se réduire à une droite et S à un point ; le Heu de M est une conique dont nous savons ainsi mener la tangente. Supposons «^ I, la courbe est une ellipse; si des rayons lumineux arrivant parallèlement à MA et dans le sens de cette droite se réfractent sur une surface elliptique dont l'excentricité soit égale à l'inverse de l'indice de réfraction, ils iront converger au foyer de la courbe ; si Ton veut les recevoir en ce point, il faut limiter la lentille elliptique par une surface sphérique intérieure décrite du foyer comme centre. Une autre disposition, préférable pour concentrer en un point des rayons parallèles, consiste dans l'emploi d'une lentille plan convexe, la partie convexe AMB (fig, i3) étant formée par la rotation d'une hyperbole dont
Fig. i3.
le foyer est F et la directrice PQ; l'excentricité sera égale
sua LA MéCÀIilQUB RATIONICELLE. l53
à rindice de réfraction. La tangente s'obtient en joignant M au point Q, où la directrice rencontre la perpendiculaire au rayon MF.
98. La méthode de Roberval proprement dite n'est pas toujours facile à appliquer ^ cependant je citerai comme exercices, outre les cas les plus connus, la détermination de la t&gente à la cissoïde et à la courbe de Viviani, considérée comme lieu d'un point qui parcourt uniformément un cercle, tandis que celui-ci fait un tour autour d'un de ses diamètres, d'un mouvement aussi uniforme. L'étude des vitesses simultanées revient à une question de Géométrie infinitésimale-, j'en donnerai un seul exemple, la recherche, d'après M. Mannheim, du point où. une droite, mobile dans certaines conditions, touche son enveloppe, et l'application du résultat obtenu pour construire le centre de courbure d'une épicycloïde.
Considérons une droite qui tourne autour du pôle O dans un plan, et qui fasse avec l'axe fixe un angle 0. Soient sur cette droite trois points M, M', M'' décrivant des courbes C, C, C ; la perpendiculaire menée au point O sur OM est rencontrée en N, N', N'^par les normales à C, C, C'' aux points M, M', M''. On a, d'après une formule de Géométrie,
dB dO dO '
d'où
d.MW~ dM'W'
Supposons les courbes G, C', G''' telles que MM' et M' M" aient un rapport constant X ^ il en sera de même de leurs difierentielles , et par suite de NN' et N'N''; si donc on savait mener les normales en M, M', M'', et qu'on voulut trouver le point O autour duquel tourne la droite MM'M",
l54 BBCTJEIL D^EXERGICES
OU, simplement, auquel elle rencontre sa position infiniment voisine, c'est-à-dire touche son enveloppe, il n'y aurait qu'à chercher une perpendiculaire à MM' M'', telle que les segments déterminés sur cette droite par les normales connues aient un rapport donné.
Soit [fig- 1^)^01 cercle de rayon Ci A = Ri, qui roulé sur un cercle fixe dont le centre est C et le rayon R •, un^point M
Fig. 14.
lié au cercle Ci engendre une épicycloïde. Cherchons la tangente en M par la méthode de Roberval •, le mouvement du cercle Ci peut s'obtenir en supposant que son centre tourne autour de C avec une vitesse w.CCi, tandis que le cercle tourne autour d'axes de direction fixe, menés par Cj
avec une vitesse angulaire — co -— ^ • La vitesse relative de
CM
M sera perpendiculaire à MCi et égale à w. CCi 7^-r\ la vieil A
tesse d'entraînement est co.CCi perpendiculaire sur ÂCi \ le triangle formé par ces vitesses et leur résultante est semblable à MCiA et a ses côtés perpendiculaires^ la vitesse résultante est perpendiculaire à MA, et cette droite normale à l'épicycloïde.
La normale MA se meut dans des conditions où la méthode de M. Mannheim donne le point O où elle touche
SVH LÀ MÉCAKIQUE RATIONNELLE. l55
son enveloppe \ en effet, meaons CM' parallèle à MCi jusqu'à la rencontre de MA. On a
AM C^ R, Tir "^ CM' ~" R '
donc CM' est constant \ le lieu de M' est un cercle ayant son centre en C aussi bien que le lieu de Â, et les segments déterminés sur la normale par l'épicycloïde elle-même et les deux cercles restent dans le rapport de R à Ri . Les normales aux courbes C, C, C sont ici MM', AC, M'C; il s*agit de trouver un point O tel, qu'en y élevant une perpendiculaire sur MM', on ait ON : NN':: Ri : R.. Menons en A une perpendiculaire sur MM', et supposons que les droites CO et MCj la rencontrent en des points T et Ti ; les triangles semblables CNO, CAT, dune part, CNN', CiATi, de l'autre, donnent
AT JR^ AT. R.
ON "^ Ci\ ' NN' " CN '" or
R X ON =r R, X NN' :
donc
