MOUVEMENT DTNE FIGURE DANS UN PLAN
Du centre instantané de rotation.
99. Quand une figure plane se déplace infiniment peu dans son plan, un de ses points reste immobile^ les vitesses de tous les autres sont normales aux droites qui joignent les points correspondants au centre instantané de rotation, et proportionnelles à ces mêmes droites. Le mouvement fini de la figure peut s'obtenir en la liant à une courbe Si, lieu de ses points qui doivent être successivement centres instantanés, et faisant rouler S sur la courbe S, lieu des centres dans le plan immobile. Les points où une ligne L touche son enveloppe sont aux pieds des normales abaissées du centre instantané sur la ligne mobile.
Le centre de courbure de la roulette décrite par un point de la figure mobile s'obtient par la construction de Savary (98), sauf à remplacer la roulante S| et la base S par leurs cercles osculateurs de rayon Ri et R. Le centre de coujrbure de l'enveloppe d'une ligne L entraînée dans le mouvement s'obtient en appliquant la même construction au centre du cercle osculateur à L au point où elle touche son enveloppe. Soient n la longueur d'une normale menée du centre instantané I à un point M de L, cp Tangle de cette droite avec la normale commune à S et Si en I, p^ le rayon de courbure de L en M, p celui de l'enveloppe de L; on a, en supposant p compté de M vers I, j9i en sens contraire, R
SUR LA MÉGANIQUE RATIONNELLE. iSy
et Ri opposés,
^ ' \n-i-pi p — rij ^ R R,
Quand Tune des lignes change de sens, on change son signe, mais la construction de Savary s'applique toujours.
Dans cette formule, la base et la roulante n'interviennent que par la somme de leurs courbures ; le premier membre n'est pas altéré si l'on change R et Rj, la somme de leurs inverses restant constante. Faisons, par exemple, R infini, avec Rj = «, et l'on pourra traiter pendant deux instants consécutifs le mouvement comme un mouvement cycloidal^ a est dit rayon de roulement, et la formule (i), appliquée à la trajectoire d'un point M avec p^ = o, .donne
n — â^cosf
Prenons sur la normale aux deux surfaces roulantes en I une longueur II' égale à a ; le point I' est le centre instantané du second ordre, et le cercle décrit sur II' comme diamètre est le cercle des inflexions. Soit P le point où IM rencontre ce cercle •, le rayon de courbure de la trajectoire de M est troisième proportionnelle à MP et à IM : ce rayon est infini quand M se trouve sur le cercle, c'est-à-dire que la trajectoire présente un point d'inflexion, d'où le nom du cercle, qui souvent est plus facile à déterminer que les centres de courbure de la base et de la roulante ; on peut ensuite en déduire le rayon de courbure d'une roulette quelconque. Enfin, si, dans la formule (i), on fait jOi infini, et si l'on
remplace 5- -i- ^ô- par -» on a, pour déterminer le rayon
de courbure de l'enveloppe d'une droite entraînée,
p — /ï = acosf .
l58 RECUEIL d'eXEBCICES
Le centre de courbure est sur la circonférence symétrique de celle des inflexions par rapport au point I. Quand un polygone se déplace d'une manière quelconque, ses côtés enveloppent des courbes dont les centres de courbure sont à chaque inst.ant sur un cercle passant au centre instantané du premier ordre.
100. Théorème de Bobillier. — Quand un triangle de forme inv^ariable ABC {fig* i5) ^e meut de manière que deux de ses côtés AB, AC restent tangents à deux cercles, l'env^eloppe du troisième côté est aussi un cercle.
Soient E, F les centres des deux cercles donnés, G, H les points de contact avec AB, AC; les points G et H du
triangle se mouvant pour un instant suivant les tangentes aux cercles, HE, GF sont normales à leurs trajectoires, et le centre instantané de rotation du triangle est à leur point de concours T. L'angle EIF est constant, 7t — A, en sorte que le lieu S de I dans le plan est un segment capable de TT — A décrit sur EF. Traçons tout le cercle dont il fait partie, abaissons la perpendiculaire IP sur BC : ce sera une normale à l'enveloppe de BC, et elle rencontre le cercle EIF en un point O; mais l'arc EO est constant, comme mesurant deux fois l'angle EIO égal à B. Toutes
SUR LA MÉCANIQUE RATIONKELLE. iSp
les normales à l'enveloppe cherchée passent en un même point O •, cette enveloppe est un cercle dont O est le centre. Le dernier théorème du paragraphe précédent se vérifie. En finies normales aux trajectoires de A, B, C sont lA, IB, IC. Il est aisé d'avoir le lieu du point A, soit le lieu du sommet d'un angle constant qui glisse sur deux cercles. Par E et F je mène des parallèles à AB et AC qui se coupent en un point A'; les droites EA\ FA' forment avec ABC une figure invariable, et LA' est un diamètre de la circonférence EIF, puisque lEA', LFA' sont droits. La courbe Si, lieu de I par rapport à ABC, est un cercle dont le centre est A', le rayon lA' double du rayon de S. On sait que, si un cercle roule sur un autre de rayon moitié moindre, en l'englobant, tout rayon tel que A' A du cercle mobile passe en un point fixe sur le petit cercle ; de plus la distance AA' est constante, et le point A' reste sur le cercle EIFj le point A décrit donc un limaçon de Pascal.
101 . On donne [fig* 1 6) un point O et une droite AB \ un angle droit EMB, dont le côté MB est égal à la distance OA rfe O à B, se meut de manière que le point B reste sur
Fig. i6.
la droite AB et que le côté ME passe toujours en O, lieu du sommet M, sa normale, son rayon de courbure: déter^ miner les courbes qu il faut faire rouler Vune sur l'autre pour produire le mouvement.
l6o RECUEIL D^EXERGICES
Les triangles OAB, OMB sont égaux \ OM = AB, et, si Ton prolonge OM jusqu'à ce qu'il coupe AB en K, 0KB sera isoscèle, OR = BK-, donc MK= AR, et le lieu de M est une strophoïde.
Le point B se déplaçant sur AB, le centre instantané I est sur BI perpendiculaire à AB5 quant au point O considéré comme faisant partie du côté ME, sa trajectoire sera tangente à OM, et il suffira de mener OI perpendiculaire à OM pour achever de déterminer le centre I.
Les triangles OMH, HAB sont égaux ^ donc OH = HB, et OHBI est un losange. Puisque 01 = IB, le lieu S de I dans le plan est une parabole ayant O pour foyer, AB pour directrice. La même égalité prouve que, par rapport à la figure mobile, le lieu Si de I est une parabole dont le foyer est B, la directrice ME. Ce sont ces deux courbes égales qu'il faut faire rouler l'une sur l'autre pour produire le mouvement : la tangente commune en I est la diagonale IH du losange. Gomme on n'a pas inmiédiatement les centres de courbure des paraboles, nous chercherons le cercle des inflexions pour arriver à la courbure de la strophoïde.
Le cercle des inflexions a pour diamètre une perpendiculaire à IH, et il passe au point B qui décrit une droite : il est aisé d'en conclure que son diamètre est H' et que le centre instantané du second ordre est le point l' pris sur AB; I' est aussi le centre du cercle de roulement. Conmie les deux paraboles S, Si sont égales, et qu'on a
le rayon de courbure de la parabole qui a O pour foyer, AB pour directrice est 2 H', et H' est la direction de la normale.
La normale à la strophoïde en M est MI ; le centre de courbure s'obtient à l'aide du rayon de roulement 11^ par la
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. l6l
construclion de Savary -, on joint l'M qui rencontre en T la perpendiculaire en I à IM ; puis on mène en T une parallèle à n' qui coupe IVII au centre de courbure C. Si Ton cherchait le point P où MI rencontre une seconde fois le cercle des inflexions, on aurait
MCXMP==MÏ\
On sait que le milieu du côté MB décrit une cissoïde, dont le cercle directeur a pour centre A et pour rayon
- MB 5 on aura par là un moyen de trouver le centre de
courbure de la cissoïde.
102. Etant donnés [fig- 17) deux cercles égaux qui se coupent à angle droit, une droite AB égale à la distance
Fîg. 17.
des centres O^O' se déplace de manière que ses extrémités glissent sur les deux cercles; lieu du milieu M de AB, centre instantané, rayon de courbure; mouvement général d'une bielle.
Soit a le rayon des deux cercles \ 00'= AB = a ^2. Les triangles OAB, OO'B sont égaux, comme ayant leurs trois côtés égaux chacun à chacun^ donc OAO'B est un trapèze isoscèle. OM étant médiane dans le triangle OAB, nous
Di S.-G. — Rec. • II
l6â RECUEIL d'exercices
avons
2Ôm' rr:* OÂV Ob'— 2Am'== Ôi'
On démontrerait de même que aO'M = O'A •, donc
Le trapèze OAO'B étant inscriptible, on a (ttéorème de Ptolémée)
0B.0'A=:f00'.AB--0A.0'B=2€i»— €i>; donc enfin
OM.O'M=: - =-tOO' .
Le lieu de M est une iemniscate de BemouUi, dont O, O' sont les foyers.
OA, O'B sont respectivement normales aux lieux de A et de B*, leur point de concours I est le centre instantané. Il est évident que AI = A'I^ donc
01 — 0'I = û, BI — AI = «.
Le lieu de I dans le plan est une hyperbole ayant O, O' pour foyers ; le lieu de I par rapport à AB est une hyperbole égale, ayant A, B pour foyers, et, comme la distance focale est égale à la différence des rayons vecteurs multipliée par ^, ces hyperboles sont équilatères.
Pour trouver le rayon de courbure au lieu de M, nous pouvons nous servir du cercle des inflexions \ soit P le point où il coupe lA \ le point A décrit un cercle dont le centre
est sur le prolongement de lA et le rayon (^)î
le point P se trouve entre A et O, et Ton a
.^ lA ,^ lA
SUR LA. MÉCANIQUE RATIONNELLE. l63
On détermine P comme troisième proportionnelle ; et puisque le diamètre du cercle des inflexions est sur la normale à • l'hyperbole, bissectrice extérieure de l'angle 010', il suffit d'élever PI' perpendiculaire à AP jusqu'à la rencontre de cette normale pour avoir le rayon de roulement II' ^ la construction de Savary, modifiée par le mouvement cycloïdal, donne le centre de courbure de la lemniscate en M.
Le mouvement que nous venons d'examiner est un cas particulier du mouvement d'une bielle AB réunissant deux manivelles OA, O'B. En général, un point M de AB décrit un lieu du sixième ordre ; car soient x^j ses coordonnées, MA=a, MB=.i, l'angle de BA avec l'axe des x-, les coordonnées de A et de B sont respectivement
X — a cos9, X — asind, a:-l-Acos6, j-+-ôsinô.
Exprimons que chacun de ces points est sur un cercle ; on a deux relations de la forme
PsinOH-QcosO = R,
P, Q étant des fonctions du premier degré, R du second degré eux ely\ si l'on en tire sinfl et cosô, et qu'on égale à I la somme de leurs carrés, on a une équation du sixième degré en x eX y.
Le centre instantané est encore le point I commun à OA et O'B \ on aura, comme dans le cas de la lemniscate, les points où OA, O'B rencontrent le cercle des inflexions, et Ton en déduira le centre de courbure du lieu de M.
Voyons quel est à cbaque instant le rapport des vitesses angulaires ci), tù* des manivelles ^ la vitesse absolue de A est cd.OA; celle de B, w'.O'B : ces vitesses sont proportionnelles aux distances de A et de B au centre instantané,
OA.» AI ft) O'B.AI O'B.w' ^M* ^"~ OA.BI *
l64 RECUEIL d'exercices
La transversale AB, qui rencontre 00' en C, détermine sur les côtés de 010' six segments tels que
OMB.IA^OC 6) O^C
ôÂTiBTcyc "" ' ' '^ "«"'"ôc*
Les vitesses angulaires sont dans le rapport inverse des distances des centres au point où le lien coupe la ligne des centres ou à ce lien lui-même. Quand deux cames sont en contact, le Diouvement est le même pendant un instant que si les centres de courbure correspondant dans chacune au point de contact étaient réunis par un lien rigide égal à la somme des deux rayons de courbure; les vitesses angulaires sont dans le rapport inverse des segments déterminés par la normale commune sur la droite des centres.
Des roulettes.
103. Considérons une courbe Si, qui roule sans glisser sur une courbe fixe S appelée base. Si est dite la roulante; le lieu engendré par un point M lié à Si s'appelle roulette. Le centre instantané est au point de contact I de S et de Si, IM est normale à la roulette, et le centre de courbure s'obtient par la construction de Savary. Pour trouver Téquatîon de la roulette, comptons sur S et Si les arcs s et s^ à partir de deux points A et Ai qui ont coïncidé à un moment jusqu'au point de contact actuel I *, la valeur de s détermine les coordonnées Xt , j^i du point I par rapport à des axes fixes et l'angle oc de la tangente à S avec l'axe des x; de même, pour la valeur de ^i, on connaît la longueur IMet l'angle (3 qu elle fait avec la tangente à Si en I-, les coordonnées de M sont
(l) a:=:j:| + IMcos(a -f- P), 7=7, -h IMsin(a -+- p).
Il n'y aura qu'à éliminer s et Si qui sont égaux, ou plus
SUR LA MÉCANIQUE HATIONMELLE. l65
généralement les paramètres qui fixent la position de I sur Set Si. L'enveloppe d'une ligne entraînée par Si se trouverait de même, sauf à remplacer IM par la normale IP h Tenveloppée.
Quand la base est une droite, on peut, sans rectifier la roulante, trouver Téquation différentielle de la roulette. Prenons la droite S pour axe des 0:5 Tangle /3 est MIX : la nature de la roulante donne une relation entre cet angle et IM = r : F{r, (3) = o -, d'ailleurs Yj de M est /- sin^, et
l'angle de la tangente à la roulette avec OX est 9 = P •
On a trois équations qui, par l'élimination de r et jS, donnent une relation différentielle entre y et cp. Pour l'enveloppe d'une ligne entraînée, la modification est la même que dans le cas général.
104. Une cardioïde représentée en coordonnées polaires par r = a (i — cosô), roule sans glisser sur une crcloïde dont le cercle générateur a pour rayon a, de manière que les points de rebroussement des deux courbes se correspondent; roulette décrite par le pôle de la car- 'dioïde, eni^eloppe de son axe.
Soient {fig* 18) M le pôle de la cardioïde, MX, son axe;
Fig. 18.
9 est l'angle IMXi. On trouve aisément que l'arc
MI = .ç, = 4^ ( ï — cos - 1 >
l66 RECUEIL d'eXEKGIGES
et que Tangle de MI avec la tangente IT est p = tt •
Soient maintenant C le centre du cercle générateur de la cycloïde correspondant au point I et ICN = u ^ on a
4^ ( 1 — COS-tt j
Comme s = Si\on a. u = 9, On sait enfin que l'angle de IT avec OX est = a. Gomme CIT = CTI = -» les
points M, I, C sont en ligne droite. Les équations (i) deviennent
js=: a[u — sintt) -h fl(i — cosujcos 1 u\
=z a(u — 2sintt-4- sinwcostt),
jr =z a[i — costt)-f- a[i — costt) sin ( m j =za[i — cos«)'.
L'élimination de u donnerait un résultat compliqué, et il est plus simple de garder les deux équations et de faire varier u. On a
fLr =zi — aûf(i — costt) cosudu^ dy ■=. %a[\ — cosi/) sinu Ju,
dr
Quand u varie de zéro à - ? a: décroît de zéro àa( 2Jî
y croît de zéro à a; la courbe part de A tangentiellement à AN et s'éloigne vers la gauche au-dessus de AN^ u allant
de - à 71, a: croîtra jusqu'à tt a^y jusqu'à 4 « \ puis la courbe
aura une partie symétrique de celle que je viens d'indiquer par rapport à l'axe de la cycloïde : elle est rectifiable et quarrable.
Pour l'enveloppe de Taxe de la cardioïde, abaissons IP perpendiculaire à cet axe \ on aura
IP =:a(i — cosd)sinO = a[\ — cosi/jsinu, PIT=r - (tt — «).
SUR LA MÉGANI4^I7E RATIONNELLE. l6j
Les coordonnées du point P seront, d'après les équations (i),
x = a[u — sini£ 4- ( i — ces u)sinu cos 2 w], j" =za(i — cos w ) ( I — sin tt sin 2 tt ) ,
d'où
dx=zasinu sin2i£(4 cosm — 3)duy
dy =: asiatfcos2ii(4cosu — V)du\
X et r partent de zéro et commencent par croître jusqu'à
ce que cos m = -t- Là est un point de rebroussement^ x et
y diminuent, le premier jusqu'à m = - > le second jusqu'à
u = jj puis ils croissent, sauf j^ entre u = -y- et m = tt-,
alors la courbe présente un nouveau rebroussement, qui coïncide avec le sommet de la cycloïde.
105. L'eni^eloppe d'une droite L, entraînée par un cercle Ci qui roule sans glisser sur un cercle fixe C, est une développante d' épicycloïde ,
Soient I le point de contact, Oi Ai le rayon de Ci qui est parallèle à L, IP la perpendiculaire sur Oi Ai, enfin A le point de la circonférence C qui a coïncidé avec Ai •, on sait que P décrit une épicycloïde 5 car il se trouve sur le cercle ayant lOi pour diamètre, et l'arc IP est égal à AI, parce qu'il mesure l'angle inscrit lOi Ai, tandis que lAi mesure le même angle, mais placé au centre d'un cercle de rayon double; donc arcIP = lAi = LA, et le point P appartient à
un cercle de rayon - Rj roulant sur C. La développée du
lieu de P est une épicycloïde intérieure au cercle C*, or Tenveloppe de Oi Ai et celle de L ont les mêmes normales : elles ont donc la même développée.
ItECIIErL D EXERCICES
106. Une parabole roule sans glisser sur une parabole égale et symétrique ; lieu du sommet de la parabole m^obile, enueloppe de l'axe.
L'identité de la base et de la roulette simplifie le problème^ la roulette décrite par le sommet mobile s'obtient en doublant les rayons vecteurs de la podaire du sommet de la base : c'est une cissoïde dont la droite j: = — p est l'asymptote. Pour avoir l'enveloppe de l'axe, considérons le point de contact I d'une tangente et le pied P de l'ordonnée de ce point ^ on est amené k chercher le lieu symétrique de P par rapport à la tangente en I. Soit a l'angle de la tangente avec l'axe; les coordonnées d'un point du lieu
sont
y^iz^p cota cos' a, a: = - cet* a — 7,p COS*a.
On construit la courbe à l'aide de ces équations plus aisément qu'avec l'équation finie
l*ljr* -4- 120:*^' H- Sa/?** -h ^Opxy^ — p^y'^-jzz o.
107. Une ellipse roule sans glisser sur une droite Jîxe; lieu décrit par un foyer, courbure de ce lieu; env^eloppe d ' une directrice .
Je prends [fig* 19) pour axe des x la droite fixe et pour origine le point O qui coïncide à un instant avec le som.-
Fig. 19'
met A le plus voisin du foyer F que l'on considère. Soient
2a, 2 b les axes, e rexcentricité ; le centre instantané est au point de contact de l'ellipse avec OX et la tangente au lieu de F, perpendiculaire à IF, fait avec OX Tangle a égal à FIN ; on a une relation entre y et a, en écrivant que le produit de6 distances des deux foyers à OX est 6',
^(20 COSa — jr'j =z b^.
Puisque cos a = — ' 5 c'est une équation différentielle de la
courbe \ mais il vaut mieux tirer de cette équation la valeur de y
X z=z a cosa z!r >Ja^ cos*a — ^*, * dyzzz — asîna//a( i dt
\ y'Vcos'a — b* )
OL est d'abord nul quand le sommet A est sur OX , puis il
augmente jusqu'à la valeur aj = arc cos-» qu'il ne peut
dépasser. Il diminue ensuite jusqu'à zéro et — ai, pour revenir à ai, et ainsi de suite. Quand a croît de zéro à ai, il faut prendre dans les équations (i) le radical avec le signe — 5 da est ^ o, et, comme la dernière parenthèse a le signe du radical, dj^.o^ y croît de a(i — e) ai : c'est le moment où le sommet du petit axe est sur OX, et la roulette présente une inflexion. L'angle a revenant de aj à zéro, il faut prendre le radical avec le signe +, et, comme da <^ o, dy reste ^o\ y croît de i à a(i -+- <?)•, la moitié de l'ellipse a alors roulé sur OX, et le reste du lieu est symétrique de la première partie par rapport à l'ordonnée qui la termine.
La valeur de x peut s'obtenir sous forme d'intégrale elliptique
dxr^idy cota •=. — cos
, / , a^cosa \
OidtL ( a riz — =:^z:i== | ',
X va toujours en croissant. L'arc ds est intégrable :
( 2 ) £W = — =: — adoLzp
Il faut faire attention au signe du radical -, ainsi l'arc compris entre le point le plus bas et le point d'inflexion est
/•«»/ a^cosa \ ^ /^ \
S,=: I ( — a -H z^r^ Wa= ( a, la;
Jo \ \/a^ cos" OL — b^J \^- /
l'arc du point d'inflexion au point le plus haut est
8,= / ( — a — -.=: ^^ ) doLz=:{-^aAa;
JoL, \ V«'C0S-a — b') \2 /
donc Si -4- Sj= «a : c'est la demi-circonférence de la podaire du foyer par rapport à l'ellipse.
L'équation ( a ) donne une propriété remarquable de la courbe 5 si l'on y remplace le radical par sa valeur
(1) y — ^zcosa,
et si l'on nomme p le rayon de courbiu*e de la roulette, il vient
ds a} cos CL a Y ï i F
da " y — acosa «cos« — y FI p a
Si donc on fait tourner la roulette autour de OXn elle engendre une surface de révolution dont les rayons principaux de courbure sont p et FI ^ la somme des courbures principales de cette surface est constante. (Delaunay.)
L'enveloppe de la directrice est le lieu du pied P de la perpendiculaire abaissée du centre instantané sur cette droite. L'angle de la normale I]N avec l'axe NA de l'ellipse est le supplément de l'angle a que la tangente à l'enveloppe fait avec OX. On sait que la dislance du centre de l'ellipse
à cette tangente est
(3 ) 9 = ^a^ cos^a 4- ^^ sin*a ;
si Ton désigne par x^ l'abscisse du point I par rapport aux deux axes de l'ellipse, la distance du centre au point d'in-
tersection de Taxe focal et de la tangente en I est —5 donc
î=— cosDNI= cosa-, enfin IP= x^- Mais
j^ = IPcosa5 remplaçant IP par x^= — h -r cosa,
et enfin 5 par sa valeur (3), on a l'équation différentielle de l'enveloppe
a cosa a^ cos^a
^ ^a^ cos' a -f- 6' sin' a
Pour avoir la variation de j^, je différentiel
, , , , . , r 1 {'i.b^'\- a}€^ cos=a ) a cosal (4) djr=z — asaiaLda\ - + ^ ^ 3- |-
L^ (tf^cos'a-t- ô'sin'a)"^ J
Gomme l'angle analogue à IND est d'abord égal à zéro, a commence par avoir la valeur tt pour décroître constamment jusqu'à zéro quand le sommet A' est venu sur OX. Pour savoir le signe de rfy, cherchons si la quantité entre crochets {4}^ f(o^)y peut s'annuler; on aurait, en réduisant,
a*e* cos^a -f- a^e^h* cos*a — b* = o.
On n'en tire pour cos*« qu'une valeur positive
cos^a
si cette quantité est <^ i , ou si l'on a
iy2 RECUEIL D*EXE11GIGES
y(a) s'annule pour une valeur a© de a, et il faut évidemment prendre cosao<C o» Comme y (a) est ^ o quand
« <^ -9 il sera <[ o pour a ^ ao ^ or — sin xda est toujours
positif^ donc, lorsque a varie de tu à ao,j^ diminue d'abord, tandis que x croît, puisque dx = cotarfj^; quand a passe par «0 pour devenir moindre, dx et rfj^ changent de signe ; il y a rebroussement, puis x décroît, tandis que j)^ augmente. La courbe, d'abord au-dessous de OX, le coupe pour
a = -? puis passe au-dessus, et l'ordonnée devient a H —
pour a = O] puis vient une branche symétrique de la précédente, et ainsi de suite.
Au contraire, si e < > j- ne change pas de signe;
1 doc.
y croît sans interruption de a àaH — \ x décroit d'à-
bord pour croître quand a <C - La valeur dx = coiocdy
n'est intégrable qu'à l'aide des fonctions elliptiques, mais ds est plus simple. On a en général
j dy fl 2 — e' — ^'.sin*a
as = -r^ — -j=L d% a cos aaa ;
sma e , . xT
( I — e' sm* a )
cependant, quand a décroit de tt à «o, il faut changer le signe*, car, dj étant négatif, on a
sma
Lorsque dy ne s'annule pas, on a sans peine l'arc de développée répondant au roulement de la demi -ellipse, l'intégrale du terme en cos a est nulle, et il reste Si =: — ; dans
CT
le cas du rebroussement, — est l'arc depuis le point de rebroussement jusqu'au point le plus haut, moins l'arc
compté jusqu'au point inférieur ; ce dernier est
/**• . r^ fi — e')cosa cosa 1
S,= / ad<x\-'h^ ^ y H jl
"^ V (i — ^sin^a)' (i — ^»sin»a)'J
a[\ — <?*)sinafl lie — c.,, — arc sin(esina«l
sl\ — df'sin^a, ^
L'arc total de l'enveloppe est h aSj.
Si Ton remplace l'ellipse par une parabole, on obtient le lieu de F en remarquant que le pied de l'ordonnée est sur la tangente au sommet. Projetant cette ordonnée sur Taxe de la parabole avec lequel elle fait l'angle a,
— = y cosa,
équation d'une chaînette dont le sommet est à la distance - au-dessus de OX. D'ailleurs les points F et P sont symétriques par rapport à OX, dans le cas de la parabole ; l'enveloppe de la directrice est une chaînette.
108. Théorèmes de Steiner. — Considérons une courbe convexe et fermée S, un point M de son plan, la roulette R engendrée par M quand S roule sur une droite fixe, la roulette Ri engendrée quand S roule sur une courbe égale et sjmétrique, enfin la podaire P de M par rapport à S : 1° un arc de R est égal à l'arc correspondant de P; a® l'aire de R, limitée par la base et les normales extrêmes, est double de l'aire de P et moitié de l'aire rfe Ri.
I® Soient [fig» 20) lA, l'A' deux tangentes successives de S, 6 l'angle de contingence, AA' l'arc de podaire 5 on a AMA'=e, et, comme MAA'I sont sensiblement sur un cercle dont AI est le diamètre, arcAA= eMI^ mais que la courbe roule sur AI considéré comme fixe, M décrit un
1^4 RECUEIL d'eXEKGICES
arc de cercle MM' égal à MI'xMI'M'= eMI= AA'-, donc, etc.
2® L'aire de R, comprise entre l'arc MM', les normales aux extrémités et la droite fixe, est sensiblement
MirM' = Mir+ -sMÎ',
surf. R = surf. S + ^ IcMI ' ,
la somme s'étendant à tous les angles de contingence de S ^ mais
surf. P = 2MA A' = - SsMA '.
Cette aire peut aussi s'évaluer comme la somme d'éléments dont l'un se compose du secteur Mil' et du triangle
Fig. 20.
lAA'^ on prend ainsi l'aire de la courbe et celle qui est entre la courbe et la podaire ^ donc
surf. P ==r 2Mir -4- 2 -Ia' e;
ajoutons à l'expression précédente
2 surf. P = 2Mir H- - 2c (ma' 4- ÂÎ' ) = surf. R.
Si l'on fait rouler S sur une courbe symét rique fixe.
SUR Lk MÉGANIQUE RATIONIVELLE. IjS
quand le point de contact se déplace de I en F, S tourne de 2e 5 Tare décrit par M est MM''= aMM', et la surface
MM'^II' est Mil' 4- eMÏ\ Pour avoir Faire intérieure à R^, il faut ajouter à la somme de ces éléments Taire de la base ] donc
surf. R, = 2 surf. S -4- 2s Ml =2 surf. R.
Cette élégante démonstration est développée dans le Cours de Calcul intégral de M. Bertrand.
109. Etant données la base et la roulette, tr ouvrer la roulante qui a engendré cette roulette; exemples.
Par chaque point I de la base, on peut mener une normale EN^ à la roulette, et Ton a une relation entre la longueur r de IN et son angle [k avec la tangente à la base li=f[r) 5 prenons dans le plan de la roulante N pour pôle, cette courbe étant tangente à la base en I, la relation précédente donne pour chaque valeur du rayon vecteur son angle avec la tangente à la courbe cherchée^ comme
tang/x = —j-y on a l'équation différentielle de la roulante.
La base et la roulette sont deux droites faisant entre
elles l'angle a^ fx est constant, égal à a. La roulante
coupe tous ses rayons vecteurs sous un angle constant : c'est une spirale logarithmique.
La roulette est une parabole dont l'axe est la base-, la sous-normale de la parabole étant constante, rcos|ui = p^ les normales de la roulante sont à une distance constante du pôle: on a une développante de cercle.
La base est un cercle et la roulette une tangente au cercle ^ soit a le rayon : on trouve sans peine
. ardB (a--r)dr r=:a[i — smixjnra =» dQ= -^-—z — •
y/dr*-hf^dQ* r^T^ar^r'
1^6 RECUEIL D^EXE&CICES
En faisant 6 =:::= o pour /* = a, l'intégrale est
/lia — r
/• — a B = i — i / arc sin
L'équation différentielle montre plus clairement la forme de la courbe \ puisque d6 = o pour r =^ a^ la courbe est tangente au rayon vecteur. Du côté où /• croît, prend des
valeurs négatives et est égal à i pour r= 2a : c'est
un sommet de la roulante*, du côté des angles positifs, r décroît et s'annule pour infini, la courbe est asymptote au pôle. Quant à la tangente au cercle, il n'y a que la portion à une distance a de part et d'autre du point de tangence qui puisse être décrite comme roulette avec le cercle pour base.
Accélérations dans le mouvement épicydoîdal.
110. Quand une figure se meut dans un plan, les accélérations des divers ordres de ses points sont soumises à quelques lois qu'on peut trouver à l'aide d'un changement de coordonnées. Soient Xi, yi les coordonnées absolues d'un point M de la figure, x^j" les coordonnées relatives à deux axes rectangulaires faisant partie de la figure mobile, p^ q les coordonnées absolues de l'origine mobile -, on a
.r, = jT cosç — ysmff -hp, Xi = .^i sin :f -f- .ri cosy ■+- q, ou, en posant cosf = a, sin^ = &,
.r, =:ajr — bjr -\- p, yi= bx -i- ay -h q.
Pour avoir les composantes de la vitesse ou des accélérations successives, on différentic par rapport au temps
Il y a un point A dont les coordonnées relatives sont a^ et
SUR Lk MÉCAiriQUE HATtONlTELLE. IJJ
jJ^pour lequel ces deux composantes sont nulles; on le nomme centre des accélérations du n — i**"** ordre. Faisons
jr — «1, = /•« cos 0„, ai") = o»„ cos3L|, ,
^ — p» = r« sin 0„, bi") i=«„ sin X, .
Les composantes de l'accélération d'ordre n — i prennent la forme
j:(«)= »«r„cos(e„+ >„), jr^C^ = ^^ r„sin(e„-h >„).
L'accélération d'un point quelconque M est proportionnelle à sa distance au centre A des accélérations de cet ordre ; de plus, AM faisant avec OXi l'angle 9„-f- 9, fait avec l'accélération d'ordre n — i un angle constant et égal à i„ — ç, quel que soit le point M.
Soient donc A et B les centres des accélérations d'ordre n — 1 et p — I par exemple, la vitesse comptant comme accélération d'ordre zéro dont le centre est le centre instantané de rotation. Les points pour lesquels y,,i et y^^t ont un rapport donné sont sur un cercle conjugué à A et B, car leurs distances à ces centres ont un rapport constant. Les points où les deux accélérations font un angle donné e sont sur deux segments capables des angles e ± X„ =p X^ décrits sur AB comme corde. En particulier, les points où l'accélération est tangentielle ou normale à la vitesse sont sur des cercles passant au centre instantané de rotation \ on ne peut rien conclure sur Taccélération en ce dernier point, où la vitesse a une grandeur nulle et une direction indéterminée.
Ces théorèmes peuvent s'établir en considérant les binômes
De S.-G. — iZec. la
}jS RECUEIL d'exercices
M. Jordan remarque que ces binômes sont les premiers membres de l'équation d'un cercle passant par les centres de 7„-i et de y^-.!- On en conclut, outre les propositions précédentes, que le cercle est le Heu des points où A„^p, B„^p ont une valeur donnée, aussi bien que ceux où A„^p= lA^f^p', .... Si, au contraire, on donne
An
7„, cos (7„,, jp..t ) = — ^ =r l, ou 7«, sin (7„i ,7^, ) = )/,
un point M du lieu est tel qu'il existe un rapport constant entre sa puissance relative à un cercle qui passe au centre A de l'ordre p — i et la longueur MA. Soit B le second point où MA rencontre le cercle considéré : la puissance par rapport au cercle est MA X MB; il faut donc que MB soit constant 5 le lieu de M est une conchoïde du cercle AB, dont le point double est A. Tel est le lieu des points où l'accélération tangentielle ou centripète a une valeur constante.
Supposons qu'à l'époque t les axes fixes et les axes mobiles coïncident, que l'origine soit le centre instantané, et l'axe des jc tangent aux courbes lieux des centres instantanés; p, y, p\ q'^ cp sont nuls. L'accélération du point O
, y ds de la figure mobile est dirigée suivant OY et égale k kù — j
ds étant le déplacement du centre instantané pendant le tempt dt\ en effet, la vitesse de O, nulle à l'époque f, est est (ùds k l'époque t -^ dt\ d'ailleurs
Si Ton calcule x\ eXj\ , on trouve dans ce cas
„ dtù „ ds dtù
Le centre des accélérations du premier ordre est donné par
sru
