Position d'équilibre d'un poids C attiré vers deux

points égaux A, B, situés sur une horizontale, par des forces "variant en raison inverse de la distance.

Soient a, £, c les côtes de ABC ; P le poids du mobUe C^ les attractions qu'il reçoit de A et de B peuvent se repre-

senter par -^> — j X étant la distance pour laquelle l'attraction serait égale au poids. Egalons à zéro la somme des projections horizontales et verticales des forces agissant sur C,

XP XP XP XP

-^cosA cosB = o, -r-sinAH sinB — P ==: o.

n I , sinA ^B ^, .

Kemplaçons a et 6 par c -r-^> c -r-^? et réduisons :

sm \jt siu \jt

/sinA sinB

sin2A = sin2B, XI . ■ -f-

inBV j

in A/ si]

\sinB sinA/ sinC

n y a deux solutions :

A= B, sinC= —r«

•Cette solution n'est acceptable que si c <^ 2 X 5 ABC est isoscèle, C étant susceptible de deux valeurs supplémentaires.

l A= B, sinC = i,

/ C =X(taneA-hcotA)=:: -: r» sin2A= — •

ï smsA c

sm2A c

Il faut que c soit ^^X^ à cette solution correspondent deux triangles rectangles symétriques par rapport à la verticale issue du milieu de AB.

n y a toujours deux positions d'équilibre, et pas davantage.

6 RECÛEfL d'exercices

Ce problème est un cas particulier du suivant :

Trouver les positions d'équilibre d'un point [x^ j) attiré vers des centres fixes (^i, J'i, Xj, j^j. . . .), situés dans un plan, ai^ec des intensités réciproques à la dis-' tance.

Les coordonnées étant rectangulaires, m.- désignant la masse du centre Xi^ j",-, les équations d'équilibre sont évidemment

Ces équations ont une interprétation remarquable : ajoutons-les, après avoir multiplié la seconde par — ^ — i ,

^ ' {a: -^ ar^y -^ {X -^ Xi)' -^ ^ x,- -H ^f^{x — Xi)

Posons

ce qui revient à définir chaque point du plan par une valeur de l'imaginaire z •, l'équation précédente s'obtiendrait en égalant à zéro la dérivée de la fonction

Pour en déduire notre cas particulier, nous supposerons d'abord C attiré par A et B et par un point H situé sur la perpendiculaire au milieu de AB; on prend cette droite

pour axe des ^, AB pour axe des x-^ alors Zi= -j Zj = ?

^j=:r A y/— 1 5 faisons mi î= mj= i, et choisissons ma, de manière que pour l'origine les attractions de A et de H

, , , nW , ~fc aX aA h

soient dans le rapport de a P 5 — = — 5 /nj = - ;

puis on fera tendre h vers l'infini. En multipliant les masses

par X, on a

Egalant à zéro F'(-2),

Remplaçons z par x -^y ^ — i , et séparons les parties réelles et imaginaires :

Divisant par h et faisant h infini,

x^ — 7'-h 2\j — yc^ = o, xy — >xr=o;

on en déduit les quatre positions trouvées géométriquement.

5. Un fil Jlexihle, inextensible et sans niasse est fixé à l'une de ses extrémités B : il porte en C un poids P qui y est attaché à une distance connue a deB'^ puis il passe sui' une très^petite poulie A située à la même hauteur que B-, enfin il porte un poids Q à l'autre extrémité^ qui est libre. Quelle est la figure d'équilibre? Cas rfe P = Q.

La tension du cordon CA est, comme on Ta remarqué au commencement, égale à celle de AQ, c'est-à-dire à Q : le point C est donc en équilibre sous l'influence d'une force Q dirigée suivant CA, d'une force verticale P et d'une force inconnue T qui n'est autre que la tension du cordon CB. Chacune de ces forces est proportionnelle au sinus de l'angle des deux autres :

cosB sinG ces A

Soit AB =: c^ on a, dans le triangle ABC,

. ^ «sinB / I — cos'B

Sin C = — ; — - rr: tf i / , .

o y a} -\- c^ — 2accos£

Egalons cette valeur à celle qu'on déduit de (i), et réduisons^ il vient

(2) 2a^P2cos»B — (a^P'-h c'P'+ c'Q2)cos»B -+- c'Q«= o.

Les équations (i) exigent que B soit aigu, et aussi A si Ton veut que T soit positif; cette dernière condition exige

que c soit ]> a cos B, ou cosB <^ - • On ne peut donc prendre que les racines de l'équation (2), qui sont positives et moindres que - et que Tunité. Le premier membre de l'équation (2) est positif pour cosB=o, négatif et égal à — P*(a — c)* pour cosB==i5 il s'annule toujours pour une valeur de cosB comprise entre o et i; quand c est ]>a, cette racine est acceptable et donne une figure d'équilibre.

Lorsque c est <^ a, il faut que la racine soit <^ - ou que le

premier membre de l'équation soit <]o pour cosB = -•,

le résultat de cette substitution est c* — ^ — (Q* — P*) ; les

deux premiers facteurs étant positifs, il faut Q <[ P : il y a alors une figure d'équilibre; mais, si Q > P, l'équilibre est impossible; le point C serait tiré jusqu'en A, et AC ne serait pas rectiligne comme on Ta supposé.

Dans le cas de P = Q, l'équation pourrait être résolue,

car elle admet la racine - *, mais il est plus simple de remarquer que les équations ( i ) donnent alors

sinC == cosB, d'où C = - dz B.

Le signe -H exige €"^0^ alors

a COS2B ^ I / /— 5— X

c cosB 4^

Si Ton prend C = B, ABC sera rectangle en A, c <^ a 5

alors T est nul, comme l'exige la verticalité du fil AC.

Si le poids P était porté par un anneau dans lequel passerait le fil, on aurait facilement

T = Q, 8inA = sinB=:--;r-

Trouver la position d'équilibre d'un point non pesant attiré vers deux centres fixes par des forces variant en raison inverse du carré de la distance.

Les trois sommets d'un triangle attirent un point situé dans le plan du triangle avec des intensités proportionnelles à leurs masses et à r inverse du carré de la distance, autrement dit suivant la loi newtonienne. Quel doit être le rapport des masses des points attirants pour que le point mobile se tienne en équilibre dans une position donnée? (Fuhrmann.)

Un fil est attaché à ses extrémités A, B, en deux points d'une horizontale : déterminer deux points C, D de ce fil où il faudrait attacher deux poids donnés pour que, dans la figure d'équilibre, la droite CD fût horizontale et à une distance connue de AB. (W.

Waltok.)

Cas où le point doit rester snr une surface ou une courbe.

6. Quand un point sollicité par des forces F, F', . . . , est assujetti à rester sur une surface ou une courbe rigide et polie, il peut être en équilibre sans que la résultante des forces soit nulle , il suffit qu'elle soit normale à la surface

lO HGCUEIL d'exercices

OU à la courbe ^ autrement dit, les forces représentées par les projections de F, F', . . . soit sur le plan tangent, soit sur la tangente, se font équilibre»

Soient X, Y, Z les sommes des projections de F, F', . . . sur trois axes rectangulaires^ pour que le mobile soit en équilibre au point x^y^ z d'une surface <y (a:, j^, «) = o, on doit avoir