IL ^ Z
(1) nr = -r = -r-
Le point doit-il être en équilibre en un point d'une courbe sur laquelle les déplacements dx^ dj^ dz sont liés par les deux équations de la courbe, on a
(2) Xrfx-^-Y^J-+-Z£fe=:0.
On peut résoudre les mêmes questions en traitant le point comme un point libre, pourvu qu'aux forces extérieures F, P, . . . on adjoigne la réaction de la courbe ou de la surface; on n'en connaît pas la grandeur a priori, mais on sait qu'elle est normale : elle est d'ailleurs égale et opposée à la résultante des projections de F, F', . • • soit sur la normale à la surface, soit sur le plan normal à la courbe. J'appellerai seulement l'attention sur le cas où le point est en équilibre sur une surface dans laquelle il ne peut pénétrer, mais dont il peut s'éloigner extérieurement. La résultante des forces F, F', ... , qui est alors normale, doit être dirigée vers la partie de l'espace où le mobile ne peut pénétrer; et l'on sait (Calcul dij^érentiel de M. Bertr^uid, p. 94) que la portion de normale allant vers les points extérieurs, pour lesquels o(^, J^j -2) ^ ®î ^ pour cosinus directeurs
^t:.. ^?'r. V»" v= vv^(,;j'4-(,;j'+(?;)'.
SUR LÀ MÉCANIQUE RATION ITELLE. Il
Au lieu de donner la surface ou la courbe sur laquelle le point est obligé de rester, on peut demander quelle doit être leur nature pour que le point y soit partout en équilibre sous l'action de forces données; appelons, pour abréger, ces lieux surfaces ou courbes de niveau. Les équations (i) et (2) doivent y être satisfaites pour tous leurs points^ mais, au lieu de définir les surfaces par les équations simultanées (i), il revient au même de les regarder comme déterminées par l'équation différentielle totale (2) ; elle peut n'être pas intégrable ; alors il n'y a pas de surface de niveau pour les forces données. Quant aux courbes, cette équation (2) ne suffirait pas à les définir : il faut se donner une surface sur laquelle elles doivent se trouver. Lorsqu'il s'agit de courbes planes situées dans le plan jcy^ on fera z = o dans les équations qui précèdent.
7 . Un point pesant est placé sur une ellipse dont le petit axe est vertical et exerce sur ce point une action répulsive horizontale proportionnelle à la distance du point à l'axe : position d'équilibre, pression correspondante.
Les composantes de la force qui sollicite le point sont L'équation de l'ellipse — -|- ^, = i donne
xdx ydr
La condition X rfx H- Y ify = o devient
px \.Ty
La solution x = montre qu'il y a équilibre si le point est aux extrémités du petit axe \ la pression sur l'ellipse est
I a RECUEIL D EXERCICES
le poids du corps. L'autre solution
Pb' u «
donne deux positions d'équilibre ûXa^^pb. La pression exercée sur la courbe a pour composantes
ces composantes sont de même signe que les cosinus directeurs de la normale extérieure -- cj»',, ^ y^ • le point est donc appuyé contre la partie concave de l'ellipse .
8. Troui^er dans un plan vertical une courbe de niveau pour un point pesant, repoussé de l'axe des y, qui est vertical, par une force Xx.
En tous les points de la courbe, on doit avoir
\xdx — pdy=zQ'^ intégrant,
On a des paraboles égales, ayant pour axe Taxe des x 5 la pression est dirigée vers Textérieur et égale à ^X* x*-hp^.
9. Trouver dans un plan une courbe de niveau pour un point repoussé de l'origine avec une force proportion^ nelle à la distance et sollicité par une force constante dirigée suivant la tangente et dans le sens qui fait un angle aigu avec le rayon vecteur.
¥r Soient F la force constante, — la force émanant du pôle \
dx dy Faî F y
leurs composantes sont — F -7-5 — F -7- et — > — : la con- ^ as as a a
Sm LÀ MÉCANIQUE RATlOlfNKLLE. l3
dilion d'équilibre devient, après avoir divisé par F,
(X dx\ fy dy\
a ds I \a ds)
On aurait aisément Tintégrale en prenant des coordonnées polaires^ mais, si Ton écrit Téquation sous la forme équivalente
dx dy
''Ts^^Ts^"^
elle exprime que la distance de l'origine à une normale quelconque de la courbe est égale à a; la ligne cbercbée est donc la développante d'un cercle ayant pour centre le pôle et pour rayon a. La pression normale est égale à
elle est proportionnelle au rayon de courbure de la développante.
10. Position d'équilibre d'un point pesant assujetti à rester sur une hélice dont l'axe est vertical; un point de l'axe repousse le mobile ai^ec une intensité réciproque au carré de la distance.
Prenons le centre de répulsion pour origine, l'axe de l'hélice pour axe des z^ et appelons a le rayon du cylindre qui contient l'hélice. Si la force répulsive est P à la distance c, ses composantes seront, pour la distance yja^ + 2' ,
Vc^x Vc^y Vc^z
Pour tous les points de l'hélice, on a
xdx -^ ydyz=io;
X4 BEGHEIL D 'exercices
la condition d'équilibre se réduit à Z == o, ou, divisant parP,
Posons a*-h «*= «, nous aurons l'équation
/(«)=: «8 — c^u 4-aV=:0.
On ne peut admettre que les racines > a*. Or f{à^) et y ( 00 ) sont positifs \ pour qu'il y ait une position d'équilibre, il faut que la racine positive de l'équation dérivée soit ^ a et rende y* (w) <^ 05 cette double condition est comprise
dans l'inégalité c*> -a*^. Si elle est vérifiée, il y aura
deux positions d'équilibre, et non quatre, parce qu'à chaque valeur de u il faut faire correspondre la valeur de z qui est positive. La pression exercée sur la courbe aura pour composantes
EUe est dirigée suivant la normale principale de l'hélice, et, conmie le reste, indépendante du pas.
1 1 . Troui^er sur une sphère une courbe de nweau pour un point pesant, attiré vers l'extrémité d'un diamètre horizontal par une force réciproque au cube de la distance.
Prenons pour origine le centre de la sphère dont le rayon est a, et faisons passer l'axe des x par le point attirant^ les composantes de l'attraction peuvent se représenter par
[{a — xy ^ y -^ z^y' [{a-^xy-i-j'-hz^y'*'"
La condition d'équilibre en un point de la courbe cherchée
SUR LA ICÉCAiriQDE ratioviœlle. i5
sera
Pc'
Or
(a — x)*-4-^*-}-3*= 2a(tf — a:) et xdx -hjrdjr -hzdz = o;
donc
^a[a — xy
Les courbes clierchëes sont à double courbure et se projettent sur le plan des x^ suivant des portions d'hyperboles équilatères dont une asymptote touche la sphère au poinjt attirant. La pression sur la courbe se calcule aisément pour chaque point :
12. Position d'équilibre d'un point pesant assujetti à rester sur la surface d'un ellipsoïde dont le petit axe est vertical. Le point est attiré "vers une extrémité de l'axe moyen par une force proportionnelle à la distance, et qui serait égale au poids du point s'il était au centre de la surface.
Prenons pour axe des x le grand axe, l'axe moyen pour axe des y^ Tautre pour axfe des z\ Téquation de Tellipsolde sera
Les composantes de la force qui sollicite le point x, y^ z sont
l6 KECDEIL d'eXEBCIGES
Par suite, les équations d'équilibre sont, en multipliant
h par — -,
Ce sont précisément les conditions pour que la normale à rellipsoïde en .r, j^, z passe au point S dont les coordonnées sont o, i, — b. Le résultat pouvait se prévoir, car les valeurs de X, Y, Z montrent que la force attractive et la pesanteur se composent en une attraction aussi proportionnelle à la distance et émanant de S.
Les équations (i) se réduisent à une seule en faisant ar = o 5 mais on ne trouve alors que deux systèmes de valeurs réelles pour x^j^z-^ car on ne peut mener que deux normales à la trace de Fellipsoïde sur le plan ^z par notre point S qui est extérieur à la développée de cette trace. Dans Tune des solutions, la valeur de z est négative 5 dans l'autre, positive^ comme la composante Z de la pression sur l'ellipsoïde est toujours négative, il en résulte que dans la première position le point est pressé contre le côté concave de la surface, dans l'autre, contre le côté convexe.
En supposant .r^ o, les équations (i) donnent deux nouvelles positions d'équilibre à l'intersection de T ellipsoïde et de la droite
b^ ' bc^
2— ^,ï a' — ci
Ces points sont réels si a*(a» — 2i*)(a'— c')'>i*c*(a' — i'j'5 le point y sera pressé contre le côté convexe de la surface 5 en sorte que, si le mobile était posé dans l'ellipsoïde, il n'aurait qu'une position d'équilibre.
