Mouvement d^un point pesant sur un plan incliné dépoli
La pesanteur se décompose à chaque instant en une force m^sini, dirigée suivant la ligne de plus grande pente, et une force normale au plan, qui donne lieu à une force de frottement mfgcosi^ dirigée en sens contraire de la vitesse du point. Ces forces ont des valeurs constantes, que je dé-
signe par niy et mny\ n est égal à -; ,\ elle est donc ^i,
selon que l'angle de frottement est supérieur ou inférieur à l'angle du plan avec l'horizon . Nous avons un cas particuliertdu mouvement d'un projectile dans un milieu résistant, où l'on supposerait la résistance constante.
Prenons pour axe des x l'horizontale du point de départ, pour axe des j^ la ligne de plus grande pente, en remontant^ désignons par Q l'angle de la vitesse avec l'axe desj^ et par ot la valeur initiale de d^ la vitesse (^ a d'abord la valeur a. Projetons les forces qui sollicitent m sur la tangente et la normale, et divisons par m :
[l] -7-= — 7COSÔ — «7, -=:7Sill0;
ds vdt , mais == — = — : donc
(2) dt=2
7 sînO Remplaçons dt par sa valeur dans (i), nous en déduirons
3 — =-~COtÔfi?Ô r-Tj v=a^-[ ^ i A '
^ ' V smO smô Xtang^O/
L'équation (2) montre que 6 va sans cesse en augmentant, sans que v» s'annule, jusqu'à 6 = 7r^ l'équation (1)
prouve que, si a est <[ -? p» diminue d'abord jusqu'à ce
quon ait cosfl = — n. Nous trouvons tout de suite une division essentielle dans la discussion du problème, selon que n est ^ I . Dans le premier cas, v ne cesse de diminuer, et Téquation (3) nous montre que, pour 6 = tt, v = o -, le mobile s'arrête donc en un certain point et il y reste immobile, car l'hypothèse est précisément que le frottement est plus grand que la force accélératrice. Au contraire, pour w <! i , V passe par un minimum et augmente ensuite indéfiniment quand 6 s'approche de tt. D'ailleurs la formule (a) nous donne la relation, entre et f ,
asinatang^ya rfô
7 sin"0tang*Y6
Pour abréger l'écriture et avoir une intégrale plus simple,
je pose
- sma tang" - a =: 2c, tang- = u,
et je désigne par e la valeur tang - a. Nous aurons
If 1 --h tt'
dtzzzc — —rr-du, .= -^ f JL L.U -^ (-1- - -J- V n -h I \«"-*-» tt"-^7 n — I ye"-' !£«-' /
Selon que n sera ^ i , quand B sera égal à tt ou u = oo , éprendra une valeur finie ou croîtra indéfiniment^ le temps au. bout duquel le mobile s'arrête, dans le premier cas, est
ri Cl
Nous calculerons dx et dj par les relations
a' . I d^ I H" tt^
dx=i çdt sin = — sin'a tang'" - a .— — — — ■ = 2 y c' , ^ du^
7 *=* 2 sm'ôtang"40 ' «»«+'
I — tt* rfr=fr^/cos©=:7C* -^^5;;^^ ^«'
312 RECUEIL D^EXEHCIGES
d'où
l / ^ ""* 2/î -4- î \e"»+' u""^') 2/2 — I \s*«-» "" «»«-'/ ' (6) y = -ïf-(-^ '-] l±-(-L Î V
or gardera une valeur fiiiie tant que n sera }> -» j^ ne sera
fini que si /z ^ 1 5 donc, quand n est ]> i , le mobile s'arrête en un point dont les coordonnées sont données par les for- . mules (5) et (6), où Ton fait u infini; quand n est compris
entre i et -» la trajectoire a une asymptote verticale à une
distance donnée par l'équation (5); enfin, si nS-j la tra-
jectoire présente une branche parabolique. A gauche de OY, on peut supposer que la courbe définie par les équations (5) et (6) soit prolongée ; on trouve que, pour m = o,
X et y sont infinis, — ayant une limite infinie; il y a donc
toujours de ce côté une branche parabolique à axe vertical. Les résultats obtenus pour le cas où la résistance du milieu est }is^ sont notablement modifiés.
Dans le cas de 7z = i, les équations (3), (4)) (5), (6) deviennent
•4-cL-» c = -sm^-a,
/sin4-a\* c / I i\ ^ u
\SlQyô/ 2 \S» W) l
L'éliminatiou de u entre x ^X. y est irréalisable ; mais on n'en voit pas moins clairement la forme de la trajectoire, branche hyperbolique à droite, branche parabolique à gauche. Pour 6 = TT, la limite de v est a sin* - a.
SUH LÀ MÉCANIQUE HÀTIONNELLE . 21 3
128. Mouv^ement d'un point matériel M attiré vers un cenlrejixe O par une force — ^ 5 r étant la distance OM, c une constante; la distance initiale est a, la vitesse initiale — fait l'angle aigu a as^ec la droite MO \ enfin le
centre O est entouré d'un milieu non homogène exerçant
, . , 3/wcosa , \me résistance mesurée par ; {t.
Soit fx l'angle de la tangente avec le rayon vecteur ^ on aura
rrfô dr ds dr
tanfi[u =:: — -— ) €13 = -» fi =1 -T- — = ; •
^^ dr coStt ' d^-^diL dr
^ sinfA h oosur/fA
Projetons les forces sur la tangente et la normale à la trajectoire, qui est évidemment plane, et divisons par m,
, . dp d-lt^ r* 3p*cosa c' r* .
(.) =^=-cos{» p-, -=^sm^.
La seconde donne, en remplaçant p par sa valeur,
c'^i + rcotH^)
La première équation (i) peut s'écrire
d,w^ 2/'* 6f^cosa
dr c^ rcosp
On y remplacera u* par sa valeur tirée de l'équation (2), et •^ par la valeur obtenue en diâerentiant cette formule \ il
âl4 RECUEIL d'exercices
vient, après réduction,
d^yi I -4- sin2fA dyi^ 6 cosa -4- ^ cosf* d^i.
dr* sin^ft dr^ /-cosp dr
6sina , ,
= — î— cosa -H cosia).
r ' cos^ fA ^ '
On ne peut intégrer cette équation; mais, comme on aperçoit l'intégrale particulière cosfx = — cosa, fx = tt — a, on devra essayer si elle peut vérifier les équations (i) du problème, en tenant compte des conditions initiales. Or les équations (i),ou leurs transformées (2) et (3), donnent, par /x = TT — a,
c' dr c'
la seconde est conséquence de la première et elles sont compalibles; fi étant constant, la trajectoire est une spirale logarithmique, et la loi du mouvement est donnée par la formule
r* dr 1 j tcosct
c dt cosa. r a c
Ainsi le mouvement donné par Tintégrale particulière satisfait à toutes les conditions du problème; il aura donc réellement lieu.
Forces centrales.
Quand la force qui sollicite un point passé constamment par un point fixe, la trajectoire est plane, le principe des aires a lieu, et les simplifications qui s'offrent dans la valeur de l'accélération se reproduisent quand on considère les forces. Si la force motrice rencontre toujours une droite fixe, c'est pour la projection du mouvement sur un plan perpendiculaire à la droite que le théorème des aires est vérifié.
SUR LÀ MÉCÀiriQIIE RÂTIOlTirELLE . 2l5
129. Mouvement d'un point attiré vers un centre fixe C avec une intensité proportionnelle à la distance; étudier les variations de la trajectoire quand on change la direclion de la vitesse initiale.
Prenons pour origine le point de départ, pour axe des z la droite OC, et pour axes des x et des j^ deux droites quelconques passant en O. Les équations du mouvement ont une forme bien connue
Je désigne la vitesse initiale par X^, et ses composantes suivant les axes par Xfxa, X^x^, Xfjiy, les intégrales du problème sont
.r=:>asinfit/, jr = Xpsinfitr, z = c(i — cosfA^] + X7sinfA/: Les équations de la trajectoire s'obtiennent en éliminant t
On reconnaît une ellipse passant en O et ayant son centre en C.
Cherchons le lieu formé par les trajectoires quand ou suppose la vitesse initiale constante en grandeur, mais prenant toutes les directions dans un plan donné. Je choisis ce plan pour plan des xy^ je prends la projection de OC pour axe des x et une perpendiculaire pour axe des j*^ on aura
L'élimination de a, |3, y entre ces relations et les équations (i) donne
La surface formée par les trajectoires considérées est un
ai6 RECUEIL d'exercices
ellipsoïde dont C est le centre, O un ombilic^ le plan donné le touche en O, et le plan ZOX est principal.
1 30. Moui^ement d 'un point M sollicité par deux forces émanant d'un centre d'action O, l'une, attractive, pro^ portionnelle à la distance, l'autre, répulsit^e, en raison inv^erse du cube de la distance. Cas où., à l'instant initial, la vitesse est perpendiculaire à la droite qui passe en O, et les deux forces se font équilibre. (Licence, 1869.)
Le mouvement a lieu dans le plan qui passe par O et par la vitesse initiale*, en prenant O pour pôle et employant la valeur de l'accélération qui convient dans le cas des forces centrales, où r*d& = c^dt^ nous avons
"" dr '"^^ r»'
Multipliant par str^r, on en déduit l'intégrale des forces vives
Désignons par t l'angle de ro et de ^0 9 on a
c^ =1 r,c,sin«;
si l'on divise l'équation précédente par r*, on peut l'écrire
I dr^ I
. r UQ
Le second membre est positif pour r = r», mais il devient négatif quand r est très-grand ou très-petit; r doit donc rester entre deux limites a et 6, et, quand elle les atteint,
SVH LÀ HÉCÀlîIQrE RATIOiriîELLE. 217
dr est nul ; la vitesse est perpendiculaire au rayon vecteur ; les valeurs correspondantes A et A: de cette vitesse sont telles que ah = bk^ c* = r^ Va sine.
Si Ton prenait pour origine des temps Tépoque où le rayon vecteur atteint un de ces maxima ou un de ces minîma, l'équation des forces vives garderait la forme (i), où
TT
l'on ferait r^'=za^ ^»o = ^i f = ->
Posons, pour simplifier l'écriture, X* -f- aVi^ = n^a* :
ïL
n^ny
Nous prendrons — pour inconnue, et, en admettant qu'elle commence par décroître, c'est-à-dire que a soit un mini-
mum, nous aurons
En supposant = o pour r = a, on aura, sans constante d'intégration.
— -— = arc cos h
d'où
2 «2/2* /l w'+éZ^fA'X
3 — = -- cos» -7- -4- i-- sm' -r--
Cette courbe est comprise entre deux cercles concen-
21 8 RECUEIL d'eXEKGICES
triques au pôle et ayant pour rayons a et -; l'angle d'un
rayon vecteur minimum avec le maximum qui suit est moindre que - ; la courbe est fermée et algébrique si -
est commensurable. Il est aisé de voir que, en appliquant
le plan de la figure sur un cône droit dont le demi-angle au
h sommet ait pour sinus -> le pôle étant au sommet du cône,
la transformée de la trajectoire se projettera sur un plan
perpendiculaire à Taxe du cône suivant une ellipse dont les
, . ah h
demi-axes sont — et - •
La trajectoire se réduirait à un cercle si le maximum et le minimum de r étaient égaux, a|!z = /i ou fjt'a*= X*h- a}h^. Il faudrait que la vitesse initiale fût perpendiculaire au rayon vecteur et moyenne proportionnelle entre ce rayoD et l'accélération du mobile à cette époque ^ c'est la relation qui existe constamment dans le mouvement circulaire uniforme.
La trajectoire présente un point d'inflexion lorsque la
valeur de r pour laquelle l'accélération serait nulle — ^ est
comprise entre les limites a et - entre lesquelles varie la
distance du mobile au pôle.
La loi du mouvement sur la trajectoire est donnée par le principe des aires
— rfô /'-r/0 ah
dt-=. =
-: cos^ -r + 4 sm* -ra^ h n^ h
ad^
I H ~ tanff' -r- Â cos^ -r-
SUR LA. MÉGAiriQUE KÀTIOITlfELLE. aip
L'intégrale devient, en faisant £ = o pour d = o,
Le temps employé pour décrire Tare compris entre un
maximum et un minimum de r est — et ne dépend point
de X.
Dans le cas particulier proposé, X^ est égal à ^a^\ on prendra la forme (2) pour Tintégrale des forces vives, a représentant le rayon vecteur initial, h la vitesse initiale^ v^ sera égal à fjt'a'-h A*, mais la trajectoire sera toujours représentée par l'équation (3) ; a est le minimum de r, car
l'autre limite - est > a. Pour r = a, le rayon de courbure
de la trajectoire est infini sans qu'il y ait inflexion \ seulement la tangente a un contact du troisième ordre.
131 . Un mobile est attiré 2*ers un centre fixe ai^ec une intensité Jonction de la distance au centre d 'action ; frou^ [fer quelle doit être la forme la plus générale de cette fonction pour que la trajectoire soit toujours une courbe fermée, quelle que soit la direction de la vitesse initiale, dont la grandeur doit seulement ne pas dépasser une certaine limite.
Soit f(r) l'attraction du centre fixe qu'on prend pour pôle; le mouvement s'effectue dans un plan, et l'équation des forces vives, avec la forme qui convient aux forces centrales, donne
~ 2 r/[r]dr.
Posons - = M, S^f(r) rf/' = 9 (m), et nous aurons
aao RECUEIL D EXERCICES
Si la trajectoire est une courbe fermée, u devra rester entre certaines limites finies ^ supposons qu'il commence par décroître, il diminuera jusqu'à ce qu'il atteigne une valeur a pour laquelle le second membre de (i) changerait de signe ; il faudra que u aille ensuite en croissant jusqu'à une valeur b pour laquelle (i) changerait encore de signe; n revieudra ensuite à a^ et ainsi de suite. Dans tous les cas la trajectoire sera formée d'arcs superposables et comprise
entre deux cercles de rayons - et -• Les changements de
signe du second membre de (i) ne se feront qu'en passant
par zéro et jamais par l'infini; car alors, — étant infini, la
courbe serait tangente au rayon vecteur, et le principe des aires ne'seraît plus vérifié. Prenons pour Uo la valeur mî-
nimum a, -y = «r*, et l'équation (i) devient
Pour u =i= 5 , --- est nul : donc
L'angle de deux rayons vecteurs maximum et minimum qui se suivent est
(^j 5 r* duy/,ih]-<,{a)
(^) Si p («) = ilu' H- /A» la méthode semble en défaut; mais il est aisé de ▼oir que la trajectoire peut être dans ce cas une spirale.
SUA LÀ MÉCAiriQUE RATIONNELLE. 221
Pour que la trajectoire soit fermée, il faut et il suffit que $1 soit commensurable avec tt^ cela implique que l'intégrale (2) soit indépendante de a et &^ sinon, en faisant varier très-peu ces quantités, 0i varierait d'une manière continue, et ne serait pas toujours commensurable avec ir. Faisons a = c — A, i = c-f-A, u=cH-Az, et supposons A excessivement petit; on développera <f{c — A),... par
la formule de Taylor, on divisera haut et bas par hyj^h et, négligeant les termes qui contiendront encore ^, on trouvera
Le coefficient de tt doit être commensurable; si on le représente par - <! il vient
Intégrant,
^'(c):=Ac-', ç(c)z=-A c-«'+B,
Substituons cette valeur dans Tintégrale qui représente 61 ; les constantes A et B disparaissent, et, en divisant haut
et bas par \/?{^) — ?(^) ' ^^ obtient
'.=Xt'"":''C"-°"''-'°---'f''"
Je reprends les valeurs a = c — A, Z> = c -I- A, i/ = c H- Az, mais je fais c = i ; je développe les diflerents termes par la formule du binôme, et j'obtiens pour la quantité entre crochets, après avoir divisé par (2 — /i*) A les deux termes de
la fraction qu'elle comprend,
4 A ^ ' in^--i]n^ ^ -^^(^ -4-1)- A»(^»-i
xri-"^^^^=^'A*+...i---2A(z+i)-A'(a»~i)
= «»A«(i— z») -+- 'ilI:^JZiiA»z(z^— ,)
-4- ^^^^^^ A^ ( z» - I ) [ /î' - 3 - ( lî» H- I ) z» ] ;
donc
»/— I /ïi/l — z^
x|i-+-^-3-^'Az— l^A»[3-/i»-4-(/i»-hi)z»]4-...p,
L'î 24/1 JJ,^i — z«
On sait que la première intégrale définie est égale à tt, la
deuxième à zéro, la troisième à ->
