lA
Or nous avons dit que 6 doit être indépendant de A ^ il faut
SUR LÀ MÉGANIQUE RÀTIOirNELLE. 2â3
donc que les coefficients des diverses puissances de ce paramètre soient nuls. Considérons celui de h*'^ nous trouvons que /i* doit être égal à i ou à 4) soit /i = i ou n == 2 ^ selon celle des deux valeurs qu'on adopte, on trouve
?'(«) = A ou /(«)=:--•,
mais
donC) suivant le cas,
Les seules lois d*attraction qui donnent des trajectoires toujours fermées, et par suite un mouvement tel que le mobile revienne dans un même azimut après des temps égaux, sont la loi de Newton et l'attraction proportionnelle à la distance, et cette dernière ne saurait guère se réaliser pour des corps éloignés. La loi newtonienne est la seule qui convienne aux mouvements périodiques de tous les astres, même des étoiles doubles où l'on ne peut guère constater que la périodicité.
Cette proposition est due à M. Bertrand {Comptes rendus de V Académie des Sciences, 1873), et j'ai reproduit en partie sa démonstration. La formule (3) avait été donnée par Newton pour les mouvements presque circulaires, et la lenteur extrême du mouvement des périhélies planétaires confirmait l'exactitude de la loi de la gravitation universelle.
132. Sur les constantes du moui^ement d'un corps attiré vers un centre fixe suii^ant la loi de Newton; moui^ement sur une trajectoire parabolique ', théorème de Lambert,
Soit — la valeur de l'attraction à la distance r\ la loi du
aa4 KECDEIL D EXERCICES
mouvement est donnée par l'équation des aires et celle des forces vives
On en tire
dB
—ib-H^-^-ir-m
L'intégrale du second membre est un arc cosinus, et en résolvant par rapport au cosinus, on aura l'équation delà trajectoire
On reconnaît la section conique dont le pôle est un foyer; si l'on égale les termes de notre équation aux termes correspondants de l'équation ordinaire des coniques, on a de quoi déterminer les éléments de la trajectoire
Ou en déduit
a To /fx
La trajectoire est une ellipse, une parabole ou une byper-
bole selon que e* = i, ou selon que -^^ est <^ o, = o
ou > o. Quand la trajectoire est elliptique, en appelant T le temps d'une révolution, on a
SUU LA MÉCiJriQUE EÀTIOSHELLE. %%5
2ir
est le moyen mouvement^ vitesse angulaire moyenne,
que Ton désigne par n ^ donc, en nous reportant à une formule précédente,
Si l'on applique cette dernière formule à la Terre, en supposant le Soleil fixe, et si l'on prend pour unité de temps le jour solaire, pour unité de longueur le rayon moyen de l'écliptique, on trouve
Mais, si l'on prend la seconde pour unité de temps, le rayon terrestre pour unité de longueur, on trouve à peu
près
c'est environ g divisé par le rayon terrestre exprimé en mètres et multiplié par le rapport de la masse du Soleil à celle de la Terre, 356 000 5 on retrouve l'identité de la pesanteur et de l'attraction universelle.
Quand la trajectoire est parabolique ou que a^jx =roi'J, on trouve le paramètre
p = j-= " ' ^==2roSm»(r„p.).
L'angle du périhélie avec le rayon vecteur initial se déduit de Téquation de la parabole en y faisant r = ro, d = o-,
on a
p I -h cosa = — •
Pour avoir la position du mobile sur sa trajectoire, je suppose que Taxe polaire passe au périhélie, en sorte que
Db S.-G. — iRec. i5
S désignera l'anomalie vraie. Le théorème des aires nous donne
Intégrant et faisant t = o pour = 0,
D ne sera pas commode de résoudre par rapport à 0, mais on construira des Tables qui donneront t en fonction de 8, et par interpolation on en déduira l'anomalie vraie du mobile à chaque instant.
Le théorème de Lambert consiste en ce que l'intervalle de temps employé par le mobile pour aller d'un point à un autre de la parabole peut s'exprimer sans faire intervenir le paramètre, et seulement au moyen des rayons vecteurs extrêmes et de la corde de l'arc parcouru. Soient aelb ces rayons extrêmes, 0i, 6^ leurs anomalies vraies, a^ ^ les tangentes des moitiés de ces angles, c la corde de l'arc parabolique; l'équation (i) donne, pour le temps que le mobile met à passer d'une position à l'autre.
Le carré de la corde de l'arc parcouru est d'où
= ^ cos» ?i=^' =p^i 4- a6)^
cos'— COS* — 2 2
«+*±<:=,(,.-»-l±i')±WP-«)y/.-^(&±^)'.
On peut former dans la partie rationnelle la quantité sous le radical, et écrire
On a un carré, et, si l'on veut mettre en évidence la racine prise en valeur absolue, on devra écrira, en supposant
d'où
(a-4- 6 -hc)^ — («4- ^ — c)'
= /?' (p — a) (3 -H a' H- ap 4- p^.
Comparant à Téquation (2), nous avons l'expression cherchée
Nous connaissons le produit de a 4- J 4- c et de a -i- J — c\ nous aurons facilement leur somme
ces* — cos' —
aH-6-f-c et a-j-b — c sont racines de l'équation du second degré
«2 — /? (a 4-«'4-P')tt 4-p'(l4-ap)»=0;
donc
aa8 nEcuEiL d'exercices
Sie,— e^ est > 77, 4/14- j (S -h a)* est<i(|3 — a)Set l'on aura
T = -4= I (« -h 6 -4- c)^ + (fl -h ô ^ c?)^ j .
Ces formules donnent une expression remarquable de Taire d'un secteur parabolique, qui est égal à -c*T ou
-T^pJ[i'^ Taire du secteur est donc
En adoptant pour unité de temps le jour moyen, pour unité de longueur le rayon moyen de Técliptique, nous
avons trouvé
^/fA = o,oi7î; donc •
T = gi i64( « -♦- ^ -^ c r — ( « -^ ^ — ^ )^] .
Cette formule est employée dans la recherche des orbites paraboliques des comètes ^ si Ton connaît le temps qui sépare les deux passages de Tastre dans le plan de Técliptique, ou en d'autres termes aux extrémités d'une corde focale, on en conclut la longueur de cette corde; c étant égal à a + i, la formule devient
T = 27Ji5»»Xc\
SUR Li MlftCAHIQUE EÂTIOIfKELLE. ^29
Mouvement rectiligne d*im point attire par une force propordonpelle à la distance vers un centre d'action qui parcourt d'un mouvement uniformément accéléré la drrâte que le premier point suit également* (Riccati.)
Un corps pesant tombe sans vitesse initiale d'une hauteur a sur un plan horizontal parfaitement élastique qui le fait rebondir avec vitesse égale à sa vitesse d'arrivée; le mouvement a lieu dans l'air
dont la résistance est ^ ^ à quelle hauteur remontera le mobile
après avoir rebondi n fois ? ( W. Walton.)
Les formules du mouvement dans l'air montrent que, si l'on désigne par «/-i et «/les hauteurs d'ascension après le / — i'*"* et f*» bond, on a
On en conclut
^' » (h -H i)tf*' — n
j^çk> J^ jj
Un point matériel décrit une parabole sous l'action d'une force perpendiculaire à l'axe, proportionnelle à la distance du point à cette droite, et sous l'influence d'une seconde force parallèle à l'axe; déterminer la loi de cette force et du mouvement du mobile sur la parabole, connaissant la vitesse c au sommet.
Ia force donnée étant — ^'r, l'autre est Lk^x*
Un centre fixe attire avec une intensité proportionnelle à la puissance n de la distance ; déterminer n de manière qu'un mobile parti de l'infini ait à la distance c du centre la même vitesse qu'il aurait
à la distance -7 si sa distance initiale eût été c. it =: — • ( Waltôn.)
Étudier le mouvement rectiligne défini par l'équation
—r--- = a-h bt — ex.
23o BECUEIL B EXERCICES
Un point pesant, lancé horizontalement dans un milieu non homogène, dont la résistance est proportionnelle à la densité et au carré de la vitesse, décrit un quart de cercle dans un plan vertical ; comment varie la densité du milieu? (P. Jullien.)
Mouvement d'un point pesant qui tombe dans un milieu résistant où la densité varie en raison inverse de la distance à un plan horizontal.
Mouvement d'un projectile dans l'air en supposant la résistance proportionnelle au cube de la vitesse ; étudier toute la courbe qui lui sert de trajectoire ; montrer qu'en le supposant en mouvement avant l'instant où Ton compte les temps il a dû avoir une vitesse infinie en un point qui est à distance finie.
Si un fil dont chaque élément est soumis à une force connue F dessine une certaine courbe dans un plan, un point matériel pourra décrire la même courbe sous l'action d'une force F' ayant la même
direction que F aux points correspondants et égale à -; — ,9 i étant
l'angle que F et F' font avec la tangente à la courbe. Ainsi un point lancé parallèlement à une droite dont il est repoussé avec une force proportionnelle à la distance peut décrire une chaînette.
(P. Seubt.)
Une bille pesante est lancée horizontalement à partir d'un point d'un plan incliné parfaitement élastique. Quand elle retombe sur le plan, elle rebondit avec une vitesse égale à sa vitesse d'arrivée, mais symétrique par rapport à la normale au point d'incidence ; trouver l'angle d'incidence au /z'^" bond et sa distance au point de
départ. La tangente de l'angle cherché est — - — ^- — -> (Bob-
