DES PRINCIPES GÉNÉRAUX DE LA DYNAMIQUE

AU RfOUVEMENT DES SYSTÈMES.

La recherche du mouvement d'un système de points matériels peut toujours se ramener à la détermination du mouvement individuel de chaque partie du système : si les différents points sont libres, on connaît les forces qui sollicitent chacun d'eux, et Ton en déduit les équations différentielles de son mouvement; s'il existe des liaisons, on introduit des réactions qui en représentent les effets, et les points peuvent être traités comme des points libres; on introduit de nouvelles inconnues, mais les conditions qu'on exprime donnent un nombre correspondant d'équations, et l'on peut toujours déterminer la position des parties du système et les réactions : il n'y a jamais qu'une solution.

Dans bien des cas, il suflGit d'un très- petit nombre d^ données pour déterminer la position d'un système, et les théorèmes généraux sur les mouvements des systèmes pourront les faire connaître : il faut, pour procéder ainsi, choisir les quantités les plus simples qui fixent la position des mobiles considérés, et les principes généraux, en nombre égal à celui des inconnues, qui peuvent s'appliquer à la question. Je rappelle ces principes.

Le centre de gravité d'un système quelconque se meut commç un point où toutes les masses seraient concentrées, et les forces extérieures appliquées, en conservant leur

sua LÀ MÉCANIQUE RATIONNELLE. 817

grandeur et leur^direction. Les forces intérieure» provenant de Faction des parties du système les unes sur les antres n'influent pas sur le mouvement du centre de gravité général. Un principe équivalent au précédent consiste en ce que la dérivée par rapport au temps de la somme des projections des quantités de mouvement sur un axe est égale à la sommie des projections des forces extérieures; autrement, la somme des impulsions des forces projetées sur Taxe égale la variation de la somme des quantités de mouvement estimées suivant le même axe.

La somme des moments des forces extérieures par rapport à une droite est égale à la dérivée par rapport au temps delà somme des moments des quantités de mouvement. Si la première somme est toujours nulle, la somme des masses des points multipliés par la projection sur un plan perpendiculaire à Taxe de Paire décrite par le rayon vecteur issu d'un point de Taxe croît proportionnellement au temps. Quand cela arrive pour tous les axes passant par un point, il y a un plan invariable, plan du maximum des aires, sur lequel la somme des produits considérés est maximum.

Enfin la demi- variât ion de la force vive du système est égale à la somme des travaux des forces qui y sont en jeu. Ici les forces intérieures peuvent intervenir; seulement leurs travaux se détruisent quand le système ne se déforme pas, et en générai quand les déplacements se font conformément aux liaisons, que des corps polis glissent les uns sur les autres, etc.; mais les déformations intérieures peuvent donner des travaux : quand deux points se repoussent avec une intensité P, si leur distance augmente de rfr, il y a un travail P dr ; quand deux surfaces dépolies glissent Tune sur l'autre, il y a un travail élémentaire résistant égal au produit de la force de frottement par Parc de glissement.

3l8 RECUEIL D^EXEBCICES

Pour étudier le mouyement d'un systèi^ie, on peut chercher d'abord comment se meut le centre de gravité, puis considérer le mouvement par rapport à des axes de direction fixe menés par ce centre. Ce mouvement relatif se traite comme s'il était absolu, à condition d'appliquer à chaque molécule une force fictive égale à sa masse multipliée par l'accélération du centre de gravité prise eti sens contraire. Un calcul bien facile montre que la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à un axe fixe est égale à la même somme par rapport à un axe parallèle mené par le centre de gravité, augmentée du moment par rapport à l'axe fixe de la quantité de mouvement de la masse entière concentrée au centre de gravité. De même la force vive absolue est égale à la force vive relative à des axes menés par le centre de gravité, plus la force vive de toute la masse supposée réunie en ce centre.

Il est commode d'introduire dès à présent l'idée du moment d'inertie par rapport à un axe : soient m la masse d'un point du système, r sa distance à l'axe \ le moment est

k s'appelle rayon de gyration par rapport à l'axe. Le rayon de gyration d'une droite de longueur a a par rapport à une

perpendiculaire en son milieu est-^» celui d'un cylindre

de rayon R par rapport à son axe est —= * Enfin le carré du

rayon de gyration par rapport à un axe est égal au carré du même rayon relatif à l'axe parallèle mené par le centre de gravité, plus le carré de la distance des deux axes.

Principes des forces vives.

160. Mouvement d^une chaîne pesante, très -mince, mais non homogène, enfermée dans un tube dont la forme

SUR LÀ MÉCANIQUE RATIONlîELLE. Sig

est celle d'une cycloïde située, dans un plan ^vertical a^ec la base horizontale et le sommet en bas. (Puiseux.)

Il suffit de connaître le mouvement d'un point de la chaîne, par exemple du point A qui est le centre de gravité quand la chaîne est en ligne droite. Le principe des forces vives va nous donner notre unique inconnue : d'ailleurs la réaction des parois du tube sur la chaîne est en chaque point normale au déplacement et son travail nul \ la chaîne étant flexible et inextensible, les forces intérieures ne donnent pas non plus de travail, et Ton doit ne tenir compte que du travail de la pesanteur.

Prenons pour axes des x et des j* la tangente et la normale au point le plus bas de la cycloïde, et appelons a le rayon du cercle générateur, s l'arc de courbe à partir de l'origine; on sait que 5* = 8 aj". Soient r la valeur de s au point A, c la densité au point M tel que l'arc MA soit égal à /, V la vitesse de la chaîne, m sa masse. Si l'on suppose la vitesse initiale nulle, le théorème des forces vives donne, les intégrales étant étendues à toute la chaîne.

lm,A = gJ,dl[y.-y)=^ J,dl (

Mais s = r -^ l^ et / est invariable avec le temps ; donc

puisque A est le centre de gravité de la chaîne rectifiée,

(i) \Udl — o, et lv^z=z4-(r\ — r'Y

Le point A se meut donc comme s'il était isolé, et toute la chaîne participe à ce mouvement bien connu.

Pour avoir la tension T en M, je considère la partie MP de la chaîne qui se trouve au-dessus : soient A^ le point qui

320 KECUEIL d'exercices

serait le centre de gravité de MP rectifié, arc OA'^^t^, m' la masse de M P, /Ma distance rectifiée d'un de ses points à A^ Appliquons le théorème des forces vives à un déplacement infiniment petit de MP^ on a, en prenant les intégrales le long de MP,

gm'

D'après Tcquation (i),

donc

,1 grdr , , ,

û?.~^»=: — ^7 — et dr=dr;

La tension est indépendante du temps et toujours négative,

c'est-à-dire que la chaîne tend partout à se replier et à se

raccourcir.

La pression N dl exercée par un petit élément MM' sur

le tube s'obtient en évaluant la force centripète pour cet

élément \ soient p le rayon de courbure de la cycloïde, a son

angle avec la verticale \ la projection de la tension en M'

l dl

sur la normale en M est sensiblement égale à T — -, on aura

donc

p' dl ep2 — T sdl- =^dl — gsdl cos OL -\-T —9 ]V = hâ'ecosa.

N est toujours positif : c'est dire que Je fil appuie toujours sur le côté concave du tube.

161. Un fil flexible et inextensible est enroulé sur un cylindre mobile autour d'un axe horizontal, et porte à

Sl]R LÀ MÉCANIQUE aATIONIfELLE. 3a I

ses deux extrémités deux poids V et Ç^\ déterminer le mouvement du système en supposant que P et Q aient une vitesse initiale a^ mais que les fils qui les soutiennent restent verticaux; on suppose que l'air oppose au mouvement de V et de Q une résistance proportionnelle au carré de la vitesse, (Licence, 1869.)

Soient P celle des deux masses qui descend d'abord ^ X la quantité dont elle est descendue au bout du temps t ] p, q les masses respectives, a m la masse du cylindre,

R son rayon, o) sa vitesse angulaire, -la somme des forces

résistantes que Fair oppose au mouvement de P et de Q. La force vive du cylindre eslftù^r^dm^ ou «' multiplié par le moment d'inertie par rapport à Taxe, c'est-à-dire

nm X - R' w* = 7» R* w* 5 mais, puisque le fil s'enroule sans

glisser sur le cylindre, Rct) est égale à la vitesse commune t' de P et Q, et la force vive du cylindre est mt^. Appliquons le théorème du travail à un déplacement infiniment petit du système

I v^ II) d-{p -^q 'hm)v^ = g[p^ q)tLc dx^

Supposons p'^q^ et faisons

on aura

Si a<^h^v croit constamment, pour devenir égal à k quand x est infini \ si au contraire a >> A", la vitesse décroîtra pour devenir égale à A^ à la limite : le mouvement aura lieu indéfiniment dans le même sens, tant du moins que le permet la longueur du fil* On peut avoir x en fonction du DbS.-G. — A«0. ai

322 RECUEIL d'eXEUCIGES

temps, car la dernière équation donne évidemment

dt = dx \h^ -f. (a^ — />) e'^\ ,

•— — Là : ' )

c^i A- -ha

(X'-4-âf)e^«"-4- (>t — «)e *-•»*= 2X•^'=^

Revenons à Téquation (i) dans le cas oiip<^q^ et faisons cg[p — 9) = — ^'5 on aura, comme dans le premier cas,

La vitesse est d'abord égale à a, mais elle va en diminuant et s'annule quand

CjiA a* -4- X^

(fl2-j- /.2)e CJ*^.2^ ^__

On sépare les variables comme précédemment, et Ton trouve

dtz=e^v^da:\a} '\' P— k^&=v^\ ,

d'où

kt . /é?*^»* . k

= arc sm -^=- — arc sm

La valeur de a: pour laquelle f' s'annule rend le premier

terme du second membre égal à -9 et l'on a pour le temps que P mettra à descendre

eu k

r=-r- arccos

^ y/a'-hP

A partir de ce moment, c*est Q qui descendra; on ne pourra plus employer les formules précédentes, mais la quantité dont Q descend se calcule par les formules du premier cas, en changeant penq^ et faisant a = o.

Supposons en dernier lieu p z=z g*^ Téquation (i) devient

d.v^ idx ~ = : d ou v=iae ^^\

la vitesse diminue indéfiniment, mais elle ne s'annule que pour X infini ; en remplaçant v par sa valeur, il vient

é'^ dx = adt, rz=: ^ (e^ — ï ).

La tension de l'un des cordons se calcule en appliquant l'équation du travail au déplacement infiniment petit d'une des masses qui le terminent. Soit le cordon qui porte le poids P,

d.pç!^ =: 7.pgd.T — 7,Tdx — 2 — <ir.

La valeur de T s'obtient aisément, mais n'a rien de remarquable.

162. Un fil inextensible et sans masse passe sur deux très-petites poulies A ef B situées sur une horizontale, et porte à ses extrémités deux poids égaux P. ^u milieu de AB on pose sur le fil un poids Q^ et on l'abandonne sans vitesse initiale. Quel est le mouvement du système? Cas où, Q est beaucoup plus petit que P.

Le poids Q tend à suivre la verticale de son point de départ, et, comme l'action du fil est symétrique par rapport à cette verticale, rien n'en fera dévier le mobile. Soient donc z la quantité dont il descend et x cçUe dont montent en même temp^ les poids P, AB = 2a, ^ la masse de Q,

324 RECUEIL D*EXEIICIGES

p celle de P. Le théorème des forces vives donne immédiatement

Or X est égal à Faccroissement de la distance de Q à la poulie A :

Remplaçons z dans l'équation des forces vives

X est d'abord > o pour que yjx^-^ lax soit réel 5 mais, pour que le second membre de l'équation précédente reste positif, on doit avoir

Quand 2/7 est <[ q^ l'inégalité est toujours satisfaite, et le mouvement se continue indéfiniment dans le même sens, et) quand x devient très-grand, on a sensiblement

dx*

c'est dire que le mouvement se rapproche du mouvement imiformément accéléré. Lorsque 2/7 ]> ^, x a une limite

supérieure y ^ — - à laquelle correspond la valeur

Pour étudier ce cas, il convient de transformer l'équation (i)j or les inégalités (2) montrent que est

SUR LA SIÉCÀNIQUE KÀTIOlYimLLE. 323

compris entre zéro et -4—^* Posons donc

d'où

9ai'u^ 2a , La^udu

Substituant dans Tëquation (i), il vient, après quelques réductions,