MOUVEMENT RELATIF
Accélération dans on monYement composé.
152. Etant donnés le mouvement d'un point M par rapport à un système S et le mouvement de S par rapport à un système fixe, la Cinématique permet de trouver Taccélération absolue de M. M. Bouquet a exposé pour cette recherche une méthode que je résume sommairement, parce qu'elle a l'avantage d'être fondée sur la considération la plus naturelle, celle des vitesses. Je négligerai tout de suite les infiniment petits d'ordre supérieur à ceux que je considère, et, pour exprimer qu'une droite AC est la résultante de AB et de BC, j'emploie la notation adoptée par quelques géomètres :
(AC)«(AB)-f-(BC).
Soient i^, i^r'i ^e les vitesses absolue, relative et d'entraînement de M, y, 7^, y^ les accélérations de même nom pour Tépoque t\ si ^'^ est la vitesse à l'époque t'= t + dt^ nous écrirons avec notre notation, et en négligeant ce qui dispaïaît à la limite, [v^) ^[v^] •+- (ydt).
Soient A, B les points de S avec lesquels M coïncide aux époques teit-+-dt'^ on peut regarder le mouvement élémentaire de S comme formé d'une translation et d'une rotation autour d'un axe AI ; soient o) la vitesse de cette rotation, a l'angle ABI. Menons AE et AR égales et parallèles
à i', et i^r9 {^)^ {^^) + i-^^) 7 quant à j^', ce sera la résultante de la vitesse relative u^ à Tépoque «', représentée par AR', et d'une vitesse d'entraînement AE', qui est la vitesse absolue à l'époque t\ non plus de A, mais de B^
donc
(u') == [p] + [ydt] = (AE') + ( AR').
AE' est la résultante de la vitesse AE'^ de A à l'époque i', et de la vitesse que donne à B la rotation autour de AI5 mais la distance de B à l'axe est AB sina = i^^^^ sina, cette seconde vitesse E'^E' est égale à (ùi^^dtsina et perpendiculaire au plan ABI, à droite de AB, par rapport à AI^ donc
(AE') = (AE") 4- (E^E') = (AEy+ [y,dt) + («P,rf<sina).
Quant à RR^, ce n'est pas yrdt^ parce que, pendant le temps dt^ la rotation autour de AI a amené AR dans une position AR'^, et l'observateur, entraîné avec S, juge que l'accélération de M, c'est-à-dire son accélération relative,
R"R' est — - — -, mais, comme la distance de R à AI est i^^sîna,
l'arc RR^^ sera précisément égal et parallèle à E^'E'j donc on aura
( AR'] = (AR") + (R'^R' j ^ (AR) -f- {-/rdi) -+- (wcv ^^sina),
Remplaçons, dans l'expression de (j/'), AR' et AE'par leurs composantes, et supprimons ((^) dans le premier membre et, dans le second, sa valeur (AR) -h (AE)-, tout devient divisible par dt^ et l'on a
(A) (7) = (7e) 4- [yr] H- (awcvsina).
L* accélération totale est la résultante des accélérations d'entraînement et relatii^e, et d'une accélération comptémentaire perpendiculaire au plan de l'axe instantané et de la "vitesse relative, et dirigée à droite de cette vitesse.
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 2gy
Ce théorème, du à Coriolis, donne aisément les composantes de l'accélération en coordonnées polaires. Supposons qu'un mobile M parcoure un rayon vecteur pendant que ce rayon tourne dans un plan autour du pôle O^ l'accélé-
ration relative est •— ? dirigée suivant OM5 l'accélération d'entraînement a une composante — r— suivant OM, et
Cvw
une autre r— perpendiculaire; l'accélération complémentaire est, dans le plan du mouvement, perpendiculaire à
OM et éfi'ale à 2 -- —-• On connaîtra donc les deux com- ^ dt dt
posantes de y suivant OM et sa perpendiculaire,
d^r d^ d^B drdB ï d ^dQ
'dF'^^dt^^ ^'dt^ "^ ^dï di'^rdt^ di'
En faisant tourner le plan considéré autour de la droite qu'on prenait d'abord pour axe polaire, on aura le mouvement dans Tespace, et le lecteur retrouvera, par Fapplication du théorème de Goriolis, les composantes de l'accélération en coordonnées polaires.
L'égalité (A) peut se mettre sous la forme
(B) ' (7,) = (7) — (7e) — (awt'rsina).
L'accélération relative est la résultante de l'accélération absolue, de l'accélération d'entraînement prise en sens contraire, et de l'accélération centrifuge composée; celle-ci est égale à acof^^sina, perpendiculaire à l'axe instantané passant par le mobile et à la vitesse relative, mais dirigée à gauche de la vitesse relative pour un observateur placé dans le sens de l'axe de rotation ; autrement, l'observateur dirigé suivant cette accélération, le sens positif allant des pieds à la tète, verrait la vitesse relative à gauche de l'axe de rotation.
Pour calculer les composantes de T accélération centrifuge composée suivant trois axes rectangulaires faisant partie de S, je rappelle le problème de Géométrie <jui consiste à chercher les cosinus directeurs X, /x, v d'une droite perpendiculaire à deux autres dont les cosinus directeurs sont a, J, c, a', J', c\ et qui font entre elles Tangle a. On doit avoir
aX + èp + cv = O, a'îl H- è'ft-+- c'v = o;
on en déduit une suite de rapports égaux
\ ^ V __ ±1 =bi
bc' — cb' ccû — ac' ab' — ba' d^lbc' ce')* *"^ *
Si l'on ne prend la perpendiculaire que d'un côté du plan des deux droites, de telle manière que l'observateur dirigé suivant cette demi-droite voie, par exemple, (a, J, c) à sa gauche, (a', è', c') à sa droite, on peut choisir le signe convenable 5 ce signe reste le même, quelle que soit la position des trois demi-droites par rapport aux axes, car les trois fractions ne sauraient changer de signe à la fois. Faisons coïncider la droite a, 5, c avec OX, la droite X, fz, v avec OZ5 la droite a', b\ c' sera dans le plan XOY et fera un angle aigu avec OY5 alors v = i, a=:i, i'>o, J=o;
donc -T7 T-7 est positif, et il faut le signe +. Pour nous
û= 7-> OZ=. --) •••» fl=— î O — J C —,
Vr dt Vr dt W « »
donc
I [ àf dz\
wPrSina \ dt dtj
Les composantes cherchées s'obtiennent en multipliant ces cosinus par aax^^sina^ ce sont
/ dr dz\ l dz dx\ [ dx dx\
['n-'^TtY Apii-'nr ""vTt-pii)
Sun LA MÉCANIQUE KATIONNELLE. 2QQ
Question d]riiamiqae.
1S3. Considérons un mobile de masse m et dont les coordonnées relatives soient x, j^, z-^ multiplions par m l'égalité (B) du Chapitre précédent 5 my^ est la force qui donnerait à une masse m un mouvement absolu identique au mouvement relatif de M; my est la force véritable qui sollicite M, et my^ est la force qui donnerait à une masse m l'accélération que possède le point A de S qui coïncide avec M; prise en sens contraire, on peut Tappeleryorce d'inertie d'entraînement. Le mouvement relatif est identique au mouvement absolu que produirait la force effective à laquelle on adjoindrait la force d'inertie d'entraînement, et la force centrifuge composée, produit de la masse par l'accélération de même nom. Ces deux dernières forces sont fictives et sont dites forces apparentes; leur introduction ramène toute question de mouvement ou d'équilibre relatif à une question de mouvement et d'équilibre absolu. Soient X, Y, Z les composantes de la force réelle, Xi, Yi, Zj celles de la force d'inertie d'entraînement^ les équations du mouvement relatif sont
m -rr = X -f- X| 4- 2m dt*
l dy dz\
Y'Tc^'^di)
et deux autres données par permutation tournante.
On remarque que la force centrifuge composée disparait dans trois cas : quand il y a équilibre relatif, quand le mouvement d'entraînement de S est une simple translation, enfin quand la vitesse relative est parallèle à l'axe de la rotation instantanée. Quand elle existe, son travail est nul, et elle n'intervient pas dans l'équation des forces vives.
i 54. Ecfuilibre du régulateur à boules quand on /tegUge la masse des tiges.
3oo
KECUEIL D EXERCICES
L'appareil consiste essentiellement en un arbre vertical OA (fig' 23) tournant avec une vitesse uniforme cd, et portant une tige horizontale ÂG, à Textrémité de laquelle est articulée la barre CS qui porte Tune des boules 5
Fig. 23
cette droite doit rester dans le plan mobile OAC. En un point H est articulée une seconde tige dont l'autre extrémité B glisse sur Taxe OA et est soumise en B à une force verticale F provenant des organes que le régulateur est chargé de soulever. Soient AC = a, CS = /, CH= c, BH= A, BIS = ô, ABH = y , m la masse d'une boule. La tige HB exerce sur CS une force dont les composantes sont X parallèle à AC, Y à AB.
La seule force apparente à introduire est la force d'inertie d'entraînement, ici force centrifuge \ la résultante des forces centrifuges sur les molécules de la boule est la même que si la masse était concentrée au centre : elle serait appliquée au centre de percussion de la sphère par rapport à OA, mais je néglige l'écart de ce point avec le centre de la boule. On égalera à zéro la somme des moments par rapport à C de cette force centrifuge, du poids de la sphère et de la
SUR LA. MÉCANIQUE lUTIONIîELLE. 3oi
force appliquée en H, ce qui donne ml[gsinB-^ (/sinO — ajw'cosô] H- c{YsinÔ -f- Xcosô) =o.
Écrivons que la somme des projections verticales des forces agissant sur BH est nulle, ainsi que celle de leurs moments par rapport à B :
Y — F = o, Xcosç — Ysin^zrro.
Éliminant X et Y, on a, pour Téquation d'équilibre,
(i] m/ffi'sinô— f/sinô— a)û)*cosei+cF^î^îi? i = o.
' •- ^ ' cosy
Pour avoir une autre équation entre 6 et y, je projette le contour ACHB sur une horizontale
(2) a — csinô 4- Asinç = o.
L'influence de la masse des tiges sera faible, parce que leur poids et la force centrifuge qu'on leur applique agissent en sens contraire pour faire varier 9 et se neutralisent en partie. La résolution rigoureuse du système (i) et (2) n'en reste pas moins très-compliquée; mais on négligera d'abord a et F, et l'on aura une première valeur approchée
cosfli = -^ 5 on emploiera ensuite la méthode des approximations successives.
L'appareil est ordinairement disposé de manière que cp diffère peu de 9; supposons-les égaux, et par suite
sin(0-4-<p) . ^
— i ^ = 2sin0,
ços^
et posons uFc = mly\ l'équation (i) devient
(3) (^ + 7)sinô— (/sinô— ii)»'cosô = o.
3oa RECUEIL d'exercices
Faisons varier o)* de Jw*, et calculons la variation de 6,
[(§'"+■ 7) cosô -i-(/sinÔ.— û)»'sinÔ — /«*cos'ô]^0 = (/sinO — a)cos0^û)'.
Substituons à g* -+- y sa valeur tirée de (3), et calculons J6,
(Zsinô — a) sinOcos0(yw*
"" «^(/sin^e — «)
La sensibilité de Tappareil sera excessive si le dénominateur est nul, a = /sîn'65 dans ce cas, C sera le centre de courbure au point S d'une paraBole qui aurait OA pour
axe : car le rayon de courbure est de la forme ,", j et Tor-
r* donnée du centre de courbure j = — ptang'fl= — psin'9,
/^ ce qui est la relation entre AC et SC.
155. Mouifement d'un point pesant placé dans un tube droit qui tourne uniformément autour d'un axe horizontal; pression sur le tube, (Agrégation, i8do.)
Prenons l'axe de rotation pour axe des x. la perpendiculaire commune à cette droite et au tube pour axe des 2, et une perpendiculaire aux deux autres pour axe des y. Soient a la plus courte distance OA, cf Tangle du tube avec OX, 7' la distance AM du mobile au point où le tube coupe OZ, m la masse de M, w la vitesse angulaire avec laquelle le système des axes et du tube tourne autour de OX. Si l'on commence à compter le temps à partir du moment où OA est en sens contraire de la pesanteur, le poids du mobile aura pour composantes
X = o, Y = — mg sinuf, Z = — mg cosw f.
Les composantes de la force d'inertie d'entraînement sont Xi=:o, Y, = mw'j = mw'/'siny, Z, = /?îû6)*;
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 3o3
enfin la force centrifuge composée sera parallèle à Taxe des
dr di
dr .
Zj égale à 2mû) — - sîncp, et, en supposant cp aîgu et positif,
du même sens que OZ quand ~ <^ o. On pourra décomposer
Y et Yi en deux forces, les unes suivant l'axe du tube, les autres perpendiculaires 5 les deux premières sont les seules forces tangentielles et ont pour somme (Y H- Yi) sin^. L'équation différentielle du mouvement est donc
dt^ ^ ° ^
c'est une équation linéaire à second membre, dont l'intégrale est
« cr Gi 1^ tf%
r= Ae"'»«T-f- Be-"'»*»î-l- —j-^ Xr—, sinw^
w'(i -h sm'(j>)
dr
On détermine A et B par les valeurs initiales de r et de —>
AH-B = ro, (A— B)wsiny4- ^sm? .^>^
&)(i -h sin*^)
En général A est différent de zéro, et le mouvement finit par avoir lieu toujours dans le même sens et avec une vitesse de plus en plus grande. Si A et B étaient nuls, ce qui exigerait
le mouvement serait simplement oscillatoire.
La pression exercée sur le tube est égale à la somme des composantes, normales au tube, de la pesanteur et des forces apparentes; sa projection sur OZ est
dr .
3o4 K£CtJ£lX. d'exercices
sa projection sur le plan des xy et dans le sens de la normale au tube, située du côté des x positifs, est
/w^sinw^cosflp — mw^rsiny cosy.
Si A est différent de zéro, ces projections augmentent indéfiniment avec le temps.
H est remarquable que le mouvement relatif ne dépende point de a ; la force centrifuge augmente avec cette quantité, mais non pas sa projection sur Taxe du tube. En supposant o = - j on aura le cas d'un tube qui décrit un plan
vertical en tournant autour d'un point du plan -, il n'y a pas de simplification essentielle.
156. Moiwement à' an point pesant assujetti à rester sur un plan incliné qui tourne avec une vitesse constante iù autour d 'une verticale.
Je prends pour axe des z l'axe de rotation, pour origine le point où cette droite perce le plan, pour axes des x et des y deux horizontales, la première située dans le plan. Soient i l'inclinaison constante de la surface sur l'horizon, N sa réaction comptée positivement au-dessus du plan, i la masse dû mobile M \ il suffit d'écrire les équations générales du mouvement relatif
d^x dy
^^ dt* dt
//2 ly dx d^ 2
(2) =a>'j-Nsin?-2a> — , =:NC0SI-g^.
Si l'on remplace z par j^ tangt et qu'on élimine N entre les équations (2), on a une équation qui, avec (i), indique comment se meut la projection horizontale de M
d^ Y dx
{ 3 ) -7^ = «' r cos*/ — s mi cosi — 2 « -r- cos'i.
^ ' dt* ^ dt
SUR LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 3o5
Pour intégrer les équations simultanées (i), (3), on pose
r et X étant des constantes qui vérifieront les équations /•' = w'-f- 2/wX, X/'' = X«^cos^/ — 2rwcos*/.
On en tire
(4) X = et H — (i — 3cos'0/''û)'-+-»*cos*/ = o.
Cette équation admet quatre racines, deux à deux égales et
de signes contraires \ r' sera réel quand cos'i sera' <^ -^ les
signes que prennent dans ce cas les coeflScients de (4) prouvent que les deux valeurs de r* sont }> o, et les quatre de r réelles. Les intégrales du mouvement ont la forme
X = Ae«H- B^P'-f- A'^-'^'+ B'e-P',
' y:=z—^ tang/ -h A €^-¥
En général x^\y augmentent indéfiniment, à moins que A et 6 ne soient nuls *, faisons dans les équations précédentes et leurs dérivées Â, 6 et £ nuls :
KàT 2aa> 2 pu
En éliminant A' et B' entre ces quatre équations, on aura deux conditions auxquelles doivent satisfaire les données initiales du problème pour produire ce mouvement
De S.-G. — Rec, 20
3o6 RECUEIL d'exercices
particulier; le mobile tendra vers le point du plan
^^ = o, ^=:-^^g^tang/U
qui serait d'ailleurs une position d'équilibre relatif.
Quand cos'i^ -, les racines de l'équation (4) sont
imaginaires, et les intégrales du mouvement deviennent, avec des constantes réelles,
a: = ^'(Acosp/ H- B sinp^ ) -+- e— '(A' cospr -h B' sinpr), \ ^' r/ Aa--BB\
(6) •^=^Lr"^*p~"'"^^)'^'^'
(b-aP-«'^^)-p.] + ....
En général  et 6 ne sont pas nuls, et, pour des valeurs très-grandes de £, les parties principales de x et 7- sont de la forme
X z= flrc*'coà ( p^ + A), j = a'c«' cos (p^ -+- A' ) ;
elles définissent un mouvement en spirale : le rayon vecteur augmente à Tinfini, et Tangle polaire croit de 2r
dans le temps -^- Si A et B sont nuls, le mobile tend vers
une position limite, définie comme dans le premier cas, mais il n'y arrive qu'après une infinité de circonvolutions.
Le cas dé cos'i = - se déduirait des formules (5} par la
méthode que d'Alembert applique à l'intégrale d'une équation linéaire dans le cas où l'équation caractéristique a des racines égales. On peut aussi faire tendre dans les formules (6) |3 vers zéro, cos^t vers i, sin|3£ vers j3t, et poser
SUR LA. MÉCANIQUE A ATlOITlf ELLE • 'Aoy
Bj3 == C, B' j3 = C'^ on trouve à la limite, a étant — >
/=^tang/-f- Aa-f-C (Aa— C)h-C M —
Le rayon recteur augmente, en général, à Tinfini, mais sa direction tend vers une limite déterminée.
Le cas où i = - > c'est-à-dire où le plan contient Taxe
de rotation, doit se traiter àTaide des équations (i) et (2) -, comme j" et ses dérivées sont évidemment nuls, elles se réduisent au système très-simple
d^x . djr d^z
=1: »-X, N = — 2bi
dt^ dt dt
et
» -jr.=—S'
Les intégrales sont, en tenant compte des circonstances initiales,
La trajectoire relative a une branche infinie dont la tangente tend vers l'horizontalité, mais elle n'a pas d'asymptote.
157. Un point matériel libre M est attiré vers un point d'un plan horizontal par une force fonction de la distance F = 9 (r) •, il se meut de manière à se trou\^er constamment sur une spirale logarithmique S qui aurait son pôle en O et tournerait autour avec une vitesse uniform.e Cl). Déterminer la loi de la force F et la nature de la trajectoire. (Licence, 1874.)
3o8 hecueil d'exercices
Il est. naturel de traiter ce problème comme une question de mouvement relatif, bien qu'il soit possible et même plus court d'employer d'autres considérations. Si nous imaginons un plan horizontal qui tourne autour de O avec la vitesse ««>, nous savons que la trajectoire relative est la spirale
L'axe polaire est le rayon vecteur initial OA, dont la lon-
gueiu* est a, et/x, <[ -> désigne l'angle sous lequel la courbe
coupe ses rayons vecteurs. Supposons que la rotation co ait
lieu dans le sens où croit et que la masse de M soit l'unité;
les forces apparentes sont co'^*, dirigée suivant OM, et
ds 2W---Î perpendiculaire à la tangente, de manière à faire
avec OM l'angle [i. Ecrivons les composantes de l'accélération suivant OM et suivant sa perpendiculaire :
, . 1 d dQ ds
mais ds cosp = rfr, et (2) devient
. ^ô , JdB \
€/e \dt )
c'est l'équation des aires par rapport à des axes fixes. Si l'on y remplace rdB par tang/xrfr, on en déduit
dr dr [c \
Mangfx-H-^r'..:^, - = f - - «.j cotfx.
f — -=— cola — 4- w) -7-= »V» ].
\ dO ^\r^ I dt r \ ' r^ )
SUR LA MÉCAiNIQUE RATIOITItELLE* Sop
L'équation (i) donne, en tenant compte de ce qui précède,
= -;r-T : — w-rCOt'a*
sm'jx r* *^
L'action du point O se compose d'une répulsion en raison inverse du cube de la distance et d'une attraction proportionnelle à cette distance.
La loi du mouvement s'obtient en intégrant (3), où les variables se séparent :
26)f COt|X = L
Pour avoir la trajectoire absolue, en y représentant par © l'angle polaire, écrivons
d'où
(4) 2(PC0ta — L— ==: L-^ --
L'équation (3) montre que, si h est la valeur initiale
, dr de — ) dt
c :=. ah tangp -+- a*«.
Quand c>-a'o«) y peut varier, dans la courbe (4) 9 de
— 00 à + 00 , r croissant alors de zéro à \/ -'-> /* étant ^ 0,
le mobile s'éloigne de son point de départ A pour tourner indéfiniment dans un cercle dont il s'approche de plus en plus.
3lO HËGUEIL d'exercices
Quand c est compris entre zéro et a'a>, ç ne peut varier que de la valeur négative qui annule le dénominateur (4)
jusqu'à 4- ap -, r décroit de oo jusqu'à 1/-) A étant <:^ o, le
mobile tourne encore autour d'un cercle dont il s'approche, mais extérieurement.
Enfin, quand c <[ o, 9 peut varier de — 00 jusqu'à la valeur positive qui annule le dénominateur, r allant de zéro à l'infini ^ mais le mobile ne décrit que la portion de courbe qui se rapproche du pôle.
Pour c = o, la trajectoire est une droite, et pour c = a*(à c'est un cercle; mais, malgré la variété des cas examinés, nous n'avons pas le mouvement le plus général que puisse produire la force cj)(r) dans toutes les circonstances.
158. Influence de la rotation de la Terre sur les mouvements à sa surface.
L'efibrt qu'on fait pour soutenir un corps pesant ne doit détruire que l'attraction du globe diminuée de la force centrifuge correspondant à la rotation diurne, l'effet de la translation du globe étant négligeable; or la résultante de ces deux influences est cette force apparente que l'on appelle la pesanteur. Pour traiter les mouvements à la surface de la Terre comme des mouvements absolus, en tenant compte de la pesanteur, on n'aura plus à s'inquiéter de la force centrifuge, mais il faudra introduire la force centrifuge composée. Si l'on prend pour axe des a: la tangente au méridien dirigée vers le nord, pour axe des j^ la tangente au parallèle vers Test, pour axe des z la verticale montante, et si l'on appelle n la vitesse de rotation de la Terre, dont l'axe positif est dirigé vers le pôle sud, X la latitude, les composantes de cette rotation sont — n cosX, zéro et — n sini;
or /i= gc~^ = 0,0000729. Les équations du mouvement
SUK LA MÉGAHIQTJE UATIOITlfELLE. 3ll
d'un point sur lequel agit une force X, Y, Z seront
dt^ dt
f \ ) ^^y ^r ( . ^ dx ^ dz\
dt* ^ dt
Supposons d'abord qu'il s'agisse d'un point libre, et que X, Z, Y soient nuls \ le point de départ sera à Torigine des coordonnées, et les composantes de la vitesse initiale seront a, h^ c. On peut écrire immédiatement les intégrales premières des équations (i)
dx dt
dy (2) ^ — = è + 2/i(^sinX — zcos>),
dz
-7- = c — ^t'\- ^ny cosX.
dt
On aurait aisément les intégrales générales de ces équations, mais elles représentent un mouvement compliqué \ et, pour reconnaître l'influence de la rotation de la Terre, il vaut mieux faire des approximations successives. Suppo** sons que le point parte sans vitesse initiale \ si l'on néglige /i, on tire de ( 2 )
Tenons compte des termes en /ij en y remplaçant x^y^ z par ces valeurs et intégrant, on aura pour seconde approximation
:r = 0, 7 = - 7ï^^« COSX, Z = ^t^.
Une troisième approximation donne
= — "ft 5"'* sinX cos>,
jr =: ^ ngt^ cosX,
L'eflet le plus sensible est une déviation vers Test et une plus petite vers le sud.
Quand a, i, c sont de grands nombres, la première approximation donne
Une deuxième approximation donne des résultats utiles en balistique
xz=:at — nbt* sin>, z:=ct gf^-^ nbt^ cos>,
y=zbt^ n[a sinl — c cosX) f* -{- -^ ngt^ cos\.
Ajoutons quelques mots sur le pendule sphérique ; Torigîne étant au centre, les équations du mouvement sont
d^x N .r ' ^ dy
—, — = rr — 2 « smA -7-5
dt' m R dt
(2) < ■— ^ = ^ -f-2/z sinX- cos^— \j
^ ' \ dt' m R \ dt dt)
\ dH N 2 ^dx
\ dt^ ^ mK dt
Multiplions par 2dx^ ^d/y v^dz et ajoutons^ les termes en n qui représentent le travail de la force centrifuge composée disparaissent, et Ton est conduit à Téquation des
SVÎL LA MÉGANIQUE RATIONNELLE. 3l3
forces vives
Le pendule ne peut jamais décrire un cercle horizontal, comme c'est possible en négligeant le mouvement diurne; en effet l'équation des forces vives prouve que la vitesse serait constante. On aurait, en supposant a: = a, j" = o, z = Zq pour t -■= o,
x=:a cosw t, j^ =: a sinw ^, z == s,.
Les deux premières équations (2) donnent
N = /wR(w* — 2/Z6>sinX),
et la troisième
N=: ( — g -h 2/2ÛWCOSA COSOit] ;
Zo
ces valeurs sont incompatibles.
Considérons encore le pendule abandonné sans vitesse, et faisons d'abord avec la verticale un petit angle a. Soient B l'angle du fil avec la verticale à l'époque i, ^ l'azimut du méridien du pendule. L'équation des forces vives devient
(3) R -T-^ =:2g(cosB — cosaj.
Eliminons N entre les deux premières équations (2);
d^r d^x , ^ / dx dr\ . dz
dt^ '' dt^ \ dt -^ dtj dr
on néglige le dernier terme qui contient, outre /i, le facteur
, dz très-petit -7- » et l'on peut intégrer, ce qui donne, en intro-
duisant 6 et ^^
(4) sin'ô-— =2«sinX(sin*0 — sin^a).
Cïv
3l4 RECUEIL D EXERCICES
J'élîmîne dt entre les équations (3) et (4) et je sépare les variables :
/zsin^^d(cos9 -hcosa) ^R(cos0 — cosa)
sin9v^2g'sin'ô— ;|2R(cosô — cosa)(cos64-cosa)'sin'X
9 ne peut surpasser aydO est d'abord <^ o, et, comme (4) prouve que rf^ est aussi négatif, on prendra d'abord le signe -h. Pour que le dénominateur de rf(|/ soit réel, il faut que 9 reste supérieur à une valeur positive |3. En développant les sinus et cosinus et se bornant aux termes principaux, on a
'^^^ ;; 1/ ., ,w. , » ,^ ^ B = 72a i/-sm)L;
Ô y ^ô»7|2Ra'sm>X ^ \ ê^
tandis que 9 diminue de a à |3 pour revenir à a, <{; décroît de
C'ndOsin'k /R a'— e» . /R
I ; i/ —h: 5t{ = îc — • nnsmki/ -
Au bout d'un temps double, l'azimut du pendule augmentera de 2 7r/isin^i/--; comme le temps d'une oscillation
complète qui paraît s'effectuer dans un plan est airi/ — j
il semble que le plan d'oscillation tourne du nord vers l'est avec la vitesse n sinX, ce qui a été vérifié par Foucault.
Mouvement d'une petite bille enfermée dans un tube circulaire qui tourne sur un plan horizontal autour d'un point O de sa circonférence ; la bille est d'abord en repos absolu, et se trouve au point diamétralement opposé à O. (Walton.)
Mouvement d'un point posé sur un plan horizontal parfaitement
SUR LA MÉGAlflQUE RATIONNELLE. 3l5
poli et attaché par un fil inextensible à un autre point qui pat court uniformément un cercle du plan. (Eulee.)
Mouvement des boules d'un régulateur quand on les a écartées de leur position d'équilibre ; on suppose la tige qui porte les boules articulée en un point de Taxe de rotation, et l'on néglige sa masse ainsi que le poids à soulever par l'appareil.
Établir le théorème de Coriolis par les formules de transformation de coordonnées; montrer par cette méthode que la suraccélération absolue est la résultante de cinq autres : i® la suraccélération relative; 2® celle d'entraînement ; 3^ 3ûa^(^rsinft>, t^r perpendiculaire à Vr dans le plan de cette vitesse et de l'axe instantané; 4° 376>rsin «», 7^ perpendiculaire à « et à yr; 5® 3cr7« sïnvr, 7» perpendiculaire à Pr et 7«; 7» désigne l'accélération angulaire [voir n" 1.13).
3l6 RECUEIL D'EXERCICES
