I ( 1+ "7- ) ^C COS ( I — 2 « ) — • V' " — «* I
La durée d'une demi-oscillation est
La tension F du cordon se trouve en appliquant le théo* rème des forces vives à un déplacement infiniment petit de l'un des poids P^
. ^^-^ 1^ \ M ^ d \ dx^
326 KEGUEIL d'exercices
La dérivée de -r— se déduit immédiatement de la valeur
donnée par (i) : elle est d'ailleurs très-compliquée 5 je dirai seulement qu'elle est nulle pour a: = o et égale à
quand x atteint son maximum.
163. Une planche très- mince, de forme quelconque, est posée sur un cylindre droit horizontal sur lequel elle ne peut que rouler sans glisser; déterminer la loi de ses oscillations quand on l'écarté de sa position d'équilibre.
On reconnaît d'abord que, dans la position d'équilibre, le centre de gravité G doit se trouver sur la génératrice de contact. En effet, le moment de la réaction du cylindre par rapport à cette droite est nul ; il en doit être de même du moment du poids 5 cela exige, ou que G soit sur la génératrice, ou que la planche soit verticale. Or cette dernière position ne peut être une position d'équilibre 5 car il faudrait que le coefficient de frottement sur le cylindre fut infini. Soit A le point du cylindre qui coïncide avec G dans la position d'équilibre. La planche roulant sur le cylindre sans glisser ni pivoter, le point G ne sort pas de la section droite menée par A et décrit une développante de cette •section. Prenons pour axes l'horizontale et la verticale menées par le centre de cette section, et désignons par a l'angle du rayon OA avec la verticale, et par Q l'angle du même rayon avec celui qui va au point de contact variable I; l'angle de ce rayon 01 avec la verticale ascendante est a -H 6.
Pour évaluer la force vive, cherchons celle qui correspondrait à une masse égale à la masse m de la planche ac-
SUR LÀ MÉGÀiriQITE KATIOHNELLE. 3^7
cumulée en G. Le mouvement de cette planche est une rotation instantanée avec la vitesse ~ autour de la génératrice I, et, comme lA = R5, la première partie de la force vive est mR'ô* — • Il faut y joindre la force vive correspondant au mouvement relatif au centre de gravité, qui est encore un mouvement de rotation^ si k est le rayon de gyration de la planche par rapport à Taxe mené en G parallèlement à la génératrice I, la seconde partie de la force
vive est ^nk^ ■—• D'autre part, l'ordonnée du point G, qui
fera connaître le travail de la pesanteur, s'obtient en projetant OI et IG sur la verticale :
j^ =Rcos(ô -f- a) H- Rôsin(ô -+- a).
L'équation des forces vives est donc, H désignant une constante,
dd^
(i) m(R'0'4- /•') — r= H— 2/?ig'R[cos(ô -h a) -h sin(ô -+- a)].
On ne peut effectuer l'intégration; mais, si l'on appelle oi) la vitesse angulaire pour = o, il est facile de voir si la planche pourra devenir verticale. Avec cette donnée, l'équation ( I ) prend la forme
(R'O' -+- /*») — = X''w»4- 2g'R[cosa — cos(ô •+• a) — ô sin (0 -+- a)].
ce»
Le second membre décroit quand Q augmente de zéro à " — a. Pour que la planche atteigne la verticale, il faut
donc
X*w' H- sg^R ( cosa j ^ o.
328 HECVEIL I>*EXEnCICES
Quaud cette inégalité n'est pas vérifiée, la planche s'arrête pour une valeur de 6 égale à (3 ; Téquation (i) peut s'écrire
^^^ , (R'0^-h^>)^,=.2R^[cos(p-4-a) + psin(p^.a)
— cos(ô -ha) — 0sin(ô + «)]•
Pour que le second membre reste positif, il faut que 6 varie entre /3 et une valeur comprise entre zéro et — 13, car, pour 6 = o, la quantité entre crochets est > o, comme étant plus grande que
cos(p -h a) -h sinpsin(p -\- a) — cosa,
qui est (i — cosjS) cos((3 -f- a); pour 6= — P, elle devient
spsinàcosp — 2sinasinp <^ o.
Il est remarquable dans tous les cas que le mouvement ne dépende pas de la forme de la planche, mais seulement de k^. Quand (5 est très-petit, et par suite 0, on peut déve-
lopper ~ par la formule de Taylor, et, en se bornant aux
termes principaux, avoir
. ^ô' « /«. «.V * r t\/'Rs;cosoi /-— = R^(P^~e»)cosa, ô = pcos-5L^ 5
les petites oscillations sont isochrones entre elles et à celles
d'un pendule de longueur :^ • En observant le temps
d'une de ces oscillations, on peut en déduire soit R, soil k. Si Ton veut calculer la réaction normale N et la réaction tangentielle T du cylindre, on projettera sur 01 et sur la tangente en I l'accélération du centre de gravité multipliée par m ^ ces projections sont égales aux projections correspondantes du poids mg^ augmentées de N sur 01, de T sur
la tangente. A l'époque t, la vitesse de G est égale àRO — et parallèle à 01; à l'époque t + dt^ elle est
et fait l'angle d9 avec 01. La différence entre les projections de ces vitesses, divisée par dt^ donne les projections de l'accélération ) et l'on trouve
wiRG —=: T -f- /itg' sin ( G -+- a).
— s'obtient en différentiant l'équation (a) par rapport au temps, et divisant ensuite par 2 ~ •
Quand on ne suppose pas le glissement absolument impossible, il faut, pour que le mouvement ait lieu comme il a été dit, que T reste <^fN] sinon il y a glissement, et l'on a tout un autre problème à résoudre.
Mouvemeiit dn centre de gravité.
164. Une chaîne homogèney attachée à une niasse m en l'une de ses extrémités A, est en partie pelotonnée sur un point 6 d'un plan horizontal; on a communiqué à m une certaine vitesse i^©? de manière qu une portion de la chaîne s'est déroulée; cette portion est en ligne droite et dans le prolongement de la vitesse du point A. On admet que la portion restante se déroule sans effort, et l ^on demande le mouvement du point A. [Smith' s prize, 1870, sol\fed hy professor Cajrley.)
33o KEGUEIL d'exercices
Le mouvement cherché est évidemment rectilîgne. Soient X la distance de A à B à Tépoque t, v la vitesse de A, a la valeur initiale de a:, |i la masse de Tunité de longueur de la chaîne, a + & sa longueur totale. Puisque la chaîne se déroule sans résistance, la projection de la quantité de mouvement sur la direction AB sera constante \ donc
(ï) v[^x H- m) = fo(p« H- 'w),
el, comme ^^= — » on intègre immédiatement
Cette équation donne le temps que la chaîne met k se dérouler :
L'équation (i) montre que, après ce temps, la vitesse est ^0 -^1 7-^ î la force vive correspondante est
^\ — r- r^-^ — =^l[y-a-^rn]\ i -, 4- .
" fx(a + ^>)-f-/n "^^ ^L \t.[a-\-b)'\-m\
Ce n'est qu'une portion de la force vive initiale \ la perte est due aux petits chocs que produisaient les divers éléments de la chaîne passant d'une vitesse nulle à une vitesse finie. La chaîne, une fois déroulée, prend un mouvement
uniforme.
La tension au point C, qui est à la distance c de l'extrémité A de la chaîne, se calcule en appliquant le théorème des forces vives à un petit déplacement de CA :
dUc-^m)y^ — '-iTdx, T = '-Ail— f vr y ,.j^
SUR LA MÉGiJriQUE RATIONNELLE. 33 1
Quand toute la chaine est déroulée, il est évident que le mouvement devient rectilîgne et uniforme, la tension nulle.
165. Une tige rigide dont la niasse est négligeable porte à ses extrémités A ef B deux masses égales à m\ la masse A est assujettie à glisser sur une droite PQ parfais tentent polie faisant l'angle i ai^ec l'horizon. Mouvement du système en supposant sa position et sa vitesse initiales, telles que AB ne sorte pas du plan ^vertical de la droite PQ 5 pression exercée sur PQ et tension de AB.
Je prends PQ pour axe des a:, et pour axe des y une perpendiculaire située dans le même plan vertical et dirigée vers le bas-, je pose AB= au, je désigne son milieu par C et son angle avec l'axe desj^ par 6; j'appelle x Tabscisse de C^ quant à son ordonnée, c'est j^ = a cosô.
Le centre de gravité C du système se meut comme un point de masse 2 m, auquel serait appliquée une force verticale '^mg et une force — N parallèle à OY-, les équations de son mouvement sont donc
( I ) — —- = e sin /, 2 m -r— = 7,ms cosi — N.
^ ' dt^ '^ dt* °
La première s'intègre immédiatement
dx . I
-— = C-+- gt sm/, X m Xo H- c^ H — gt^ sin /.
dt o ' ^o
La projection de C sur PQ a donc un mouvement uniformément accéléré. Quant à d, on peut le déduire du théorème des forces vives. La force vive du système est celle qui correspond à la masse 2 m concentrée en G, plus celle qui correspond au mouvement relatif autour de C. La seule force qui donne du travail est la pesanteur, et son travail est le même que si toute la masse était réunie en C : si donc
332 RECDEIL d'exercices
a et 0) sont les valeurs initiales de 6 et de -7-9 on aura
at
2m ( -; htf'sm'ô- h«*-7-r I
\di* dt^
d^\ di')
= 2/w(c'+ a'w'sin'a -I- a'w')
^ing[[x — or,) sïni -+• a(cosO — cosa] cos/].
Remplaçons — par sa valeur^ tout ce qui dépend de la valeur de x disparait (*), et il vient, en divisant par 2 ma,
dB*
(2) a[i -j- sin'9) — = a{i -l-sin'a)w--i- 2g'COs/(cosÔ — cosa).
Posons a ( i-f- sin* a ) «* — 2gr ces i cos a=z 2gh cos i, on aura , , dB^ , cosô 4- A
(2) a-— • =:2fl'C08/ 7— rr»
Mous n'avons pas eu à dire dans quel sens on comptait les valeurs positives de d; il en résulte que le mouvement relatif autour de C est symétrique par rapport à une droite perpendiculaire à PQ, et qu'on peut supposer que soit d'abord croissant. La constante h est, par sa forme même, > — 15 mais elle peut être ^ i . Si A >• i , dQ ne pourra s'annuler, en sorte que croîtra indéfiniment, les révolutions relatives de A6 se faisant dans un temps constant. La trajectoire du point B sera une courbe sinueuse, comprise
(*) Cette réduction pouTait se prévoir; car, si l'on cherche le mouTement relatif à deux axes dont l'un coïnciderait avec PQ, l'autre lui serait perpendiculaire et passerait par G ; les forces apparentes qu'il faudrait introduire seraientdeux forces — mgsini, parallèles à PQ, appliquées à A etB; mais ces forces se réuniraient en une seule ~ am^sini, appliquée en G, et dont le travail détruit précisément celui de la composante de la pesanteur suivant PQ.
SCR LA MÉGANIQUE KATIONNELLE. 333
entre deux droites parallèles à PQ, à une distance a a, de part et d'autre *, mais les points de rencontre de la courbe avec PQ deyiennent de plus en plus espacés.
La valeur h= i ne permet pas d'intégrer l'équation (a) ; mais, en l'adoptant, 6 croîtra jusqu'à tt, pour n'y arriver qu'après un temps infini.
Quand A <[ i , on peut le faire égal à — cos^, et oscillera entre les valeurs |3 et — (3 pendant des intervalles égaux, mais plus longs que ceux d'un pendule simple, de longueur a, oscillant entre les mêmes limites. Quand ^ est très-petit, on peut, dans la formule (a), négliger les termes du deuxième ordre par rapport à ceux qu'on a dans chaque membre, et, se rappelant que A = — cos^, on a
dB , ^ /gcosi a .0 = ^fi/g , t=\ aresm-î
^p»e» V « V é'cos' P
les oscillations très-petites se confondent avec celles du pendule de longueur :•
On peut aller jusqu'à la limite, — i, de A. Son expression naontre que cela exige une double condition, cd = o, a = o, c'est-à-dire que, à l'origine, AB soit perpendicu* laire à PQ et animée d'une vitesse de translation parallèle à cette droite. Dans ce cas, doit rester constamment nul^ AB est toujours perpendiculaire à PQ, et se déplace d'un mouvement uniformément accéléré.
La pression exercée sur la droite PQ est donnée par la seconde équation (i)
iit^ di^ )
L'équation (a) donne -j-', en difierentiant ses deux mem-
334 RECUEIL d'eXEKCIGES
bres et divisant par --y on trouve
'■' at d^Q . . ,a -f-cos*e -f-2Acose
Substituant dans la valeur de N et réduisant,
. cos'6 ~hih cosO H- 2
° (iH-sm'Ô)*
Le numérateur est positif quand cos0 Test lui-même,
puisque h'^ — i . Si on le regarde comme un trinôme du
deuxième degré en cosd, on trouve que les deux valeurs
qui pourraient l'annuler ont pour produit 2*, Tune au
moins est inadmissible, et, pour que l'autre soit acceptable,
elle doit être comprise entre zéro et — 15 le numérateur
doit être négatif pour cos6 = — i, ce qui donne /i^-«
jt
C'est donc seulement quand la rotation relative autour de C est continue et assez rapide que N peut devenir négatif.
La tension F de la barre A6 s'obtient en exprimant que N est la résultante du poids de A estimé suivant O Y et de la composante de F suivant la même direction; on a ainsi
N = mg^cos/ -f- FcosO,
d'où
^ N — mg cosi ,lh -r- 6 cosô — ces*0
F = = mg cosi— ; . ,^. •
cosO ^ (i-i-sm'e)»
Le numérateur diminue quand 6 augmente; si A<^i, ne peut augmenter que jusqu'à la valeur ^. dont le cosinus est — h\ or, pour cette valeur, le numérateur est
cosj3(2 — cos*j3)', si donc P<-» F est toujours positif;
quand ]3 est ^ -» F devient nul et négatif. Il en sera de
même quand h sera ^ i , mais <^ -y • En résumé, F ne peut
devenir négatif que si h est compris entre zéro et ^•
166. Sur un plan horizontal, parfaiienwnt poli, repose un parallélépipède rectangle; dans la section verticale médiane, on a creusé un canal déforme connue dans /equel peut glisser sans frottement une petite masse m. On suppose que le prisme soit d'abord immobile et qu'on laisse tomber m en un point connu du canal, et Von demande le mouvement du système, en admettant que le prisme aura un moui^ement de translation parallèle au plan du canal; cas ou ce canal est une cjcloïde com^exe vers le bas, et oit l'on néglige le carré du rapport de la masse m à la masse M du prisme, (Licence, 1871 .)
Prenons des axes coordonnés dans le plan du canal, l'origine au point de départ de m, OX horizontal, OY dans le sens de la pesanteur 5 les coordonnées relatives du point m sont liées par Téquation du canal y (or, j^) =0. Considérons, au contraire, des'axes fixes qui auraient coïncidé avec les axes mobiles à l'origine du mouvement, et désignons par Xi la quantité dont le point O du prisme s'est déplacé horizontalement; les coordonnées absolues de m sont x-^Xi et^. Cela posé, le problème n'a que deux inconnues, j:i, et l'une des quantités j:,j^ ou un paramètre qui les détermine. Or le système du prisme et de m n'est soumis qu'à l'action de la pesanteur et à la réaction verticale du plan fixe ; le centre de gravité, d'abord immobile,* restera sur une verticale, ce qui donne, après une simplification évidente,
(l) Moî, -f- m(a: -h .r,) = o.
Le théorème des forces vives fournit la seconde équation
RECUEIL D^EXERGIGES
nécessaire
dx^
dt^
f dx^, dx dxx dx^ \dt' dt dt dt' ^
'iihgy.
dx Il suffit de remplacer -j-^ par sa valeur obtenue en différen-
tîant (1) pour avoir une relation entre x^y et f, c'est-à-dire pour déterminer en fonction de t le lieu occupé par m dans le canal; on a ainsi
' '^ dx^ dr^
Connaissant x et j* en fonction de f , on a X| à l'aide de Téquation (i), et le problème est résolu.
Quand le tube est cycloïdal, on peut écrire
x=2a[u — sinu), 7 = a(i — cosii); et, si Ton pose m = Me, l'équation (a) devient
(l — COStt)*-+- 8m'« I -jy =!ig(l — COStt).
Je divise par i — cosu, et je sépare les variables,
(3) dti/^=.zhdu\/i-^ l-.sin»-£i.
On est conduit à effectuer une intégrale elliptique de deuxième espèce; mais la forme de l'équation montre que z<, qui croit d'abord, ira jusqu'à uir, sans dépasser cette limite si le tube est formé d'une seule branche de cydoïde; du deviendra ensuite négatif, et u décroîtra jusqu'à zéro pour croitre de nouveau. Le temps de ces qscillations est constant, et la moitié correspond à la descente, l'autre
f SUR LÀ MÊCAXflQUE RATIONlîELLE. SSj
moitié à la montée de m. Les coordonnées absolues de m sont
x-Ha?|== ( I — - j J?= (tt— sina), 7=a(i— cosa);
la trajectoire absolue est la cycloïde donnée, dont on aura réduit les abscisses dans le rapport de i à i + e. Le prisme a un mouvement oscillatoire en arrière, avec une ampli-
tude égale a •
La pression exercée par m sur le prisme s'obtient en écrivant que c'est elle qui produit l'accélération horizontale du prisme. Comme elle fait, avec ta partie positive de l'axe
des wc, l'angle ir u, on aura
— Ncos-tt =M-v^ = —
dt^ I -h e di^
dun 5FJ
ma Y , . d^u , lia- I
= (i — costt) -y- -h smi*-— r I ;
mais l'équation (3) peut s'écrire
I du^ g
i-i-tdt^ a(i-f-scos'7ii)'
d'où
2 d^u gtsin^ucosl-u
i~ht dfi a(n- «cos'jtt)*
Substituant dans N et réduisant, on trouve une valeur essentiellement positive
. I 2 H-l -H «COS^^M
*" 2 {i4-ecos'-jii)* Quand on néglige le carré de e, l'équation (3) devient
Rec, — De S.-G. 22
întégrablë :
Le temps d'une oscillation est ^'Kyi — -r) V/""' L'équatîon (4) donne, par le retour des suites,
On peut dire que c'est l'expression de la loi du mouvement. Les coordonnées x^y^ x^ s'obtiennent en y remplaçant u par sa valeur et développant par la formule de Taylor suivant les puissances de 6.
Principe des aires.
167. Etant donnés trois points matériels A, B, C, qui s^attirent en raison directe de leurs niasses et en raison inverse du carré de leurs distances, on demande de leur donner une position et des vitesses initiales telles, que les trois points resfent constamment en ligne droite; quelles sont alors leurs trajectoires ? (Licence, i858.)
Le système n'étant supposé soumis à l'action d'aucune force extérieure, son centre de gravité O se meut uniformément sur une droite, et le mouvement relatif par rapport à des axes de direction constante, menés par O, se traitera Comme un mouvement absolu, sans que Ton ait à introduire des forces fictives. Dans ce mouvement relatif, le plan du maximum des aires reste invariable 5 or, les trois mobiles restant sur une droite qui tourne autour du point O, le plan du maximum des aires est à chaque instant celui de deux positions infiniment voisines de la droite ABC ] il faut
SUB LA MÉCANIQUE IlATIONNELLE. 339
donc que cette droite reste dans un plan fixe, que nous prendrons pour plan de coordonnées, avec O pour pôle et la position initiale de ABC pour axe.
Soient à Tépoque f, r, Tj, Tj les rayons vecteurs de A, B, Cj 6 leur angle polaire commun; X, ^ji, v leurs masses respectives; le principe des aires est applicable à chacun des corps séparément et donne
r^d^ z= a}dt, r]d^ = b^dt, rldB = c^dt;
on en déduit
Les rayons vecteurs conservent des rapports constants, et les trajectoires sont des courbes homo thé tiques. Les vitesses seron t toujours parallèles et leurs rapports seront les mêmes que ceux des distances des points au centre de gravité O, c'est-à-dire qu'ils seront invariables. Il faut donc que, à l'origine, A, B, C soient en ligne droite, animés de vitesses parallèles et proportionnelles à OA, OB, OC ; c'est, bien entendu, des vitesses par rapport au centre de gravité qu'ij s'agit.
Mais ce n'est pas tout : si je désigne par m* la valeur commune des rapports (i), on aura
Pour que le point O soit le centre de gravité, il faut que les trois points ne soient pas d'un même côté par rapport à O. Supposons que A et B soient d'un même côté, C de côté opposé ; on devra prendre les deux premiers signes -f- et le troisième — *, on pourra aussi prendre ri = cu^ k condition de prendre 9 -f- xr pour angle polaire de C. Pour que O soit centre de gravité, il faut
(2) la -\- if-b — vc = o.
340 AECUEIL d'exercices
L'équation des sires se réduit, pour les trois corps, à
B'rfS = dt.
Cherchons les composaDtes de l'accélération des trois corps suivant leurs rayons vecteurs : en appelant f l'attraction des unités de masse à l'unité de distance, on a pour le point Â
fj; di' fy /»
df ''dt'" [r-r.)' {r-\-r,Y ou
On aurait de même pour B et G, B étant entre A et C,
jte„^\-r^r^ i-^1
\m- de) «1(4 + .). (»-4)-J'
\d,' de)- u-Ua + cf + (i + cyj
Pour que ces équations soient compatibles, on doit avoir
L . ^ jt L __L I p
L'équation (a) est une conséquence de celles-ci; car, si l'on y remplace a, b, c par les quantités proportionnelles (3), elle est identiquement satisfaite. D'ailleurs, en tenant compte de cette équation (a), on trouve que le système (3) se réduit à une seule équation, où n'entrent pas les masses,
fn " ^ c „
'*' (* + .)' [a + cY (a-b)'-"-
Étant données les positions initiales des trois corps, l'é-
quation (a) permet d'en trouver le centre de gravîtë, et l'on peut s'assurer si la condition (4) est remplie. Dans ce cas, les trois mobiles décrivent des coniques homothé tiques ayant O pour foyer commun, et les lois de leurs mouvements relatifs sont tout à fait analogues à celles du mouvement des planètes. Quant aux trajectoires absolues, ce sont des sortes d'hélices sur des cylindres à base du second degré, courbes que M. Léopold Hugo a proposé de nommer o^hélites.
168. Une barre AB, de poids P, de longueur 2 a, homogène, s'appuie par ses deux extrémités contre un plan horizontal et un plan vertical parfaitement polis; elle est dans un plan perpendiculaire à leur intersection en O, et primitii^ement maintenue en repos. Un animal M, de poids Q^ peut se mom*oir le long de cette tige, qui lui fournira une réaction longitudinale pour accélérer son mous^ement. Quelle doit être la loi de ce moui^ement pour que AB, abandonné à lui-même, ne glisse pas le long des plans qui le soutiennent? L'anirnal est d'abord immobile à V extrémité supérieure ^ de la perche. ( W. Waltow.)
On suppose que l'animal puisse se donner un mouvement continu. Soit x le chemin BM qu'il a parcouru, à l'époque t, sur la perche, l'angle de AB avec l'horizon étant a. Les réactions des plans d'appui se rencontrent en un point C, quatrième sommet, du rectangle formé sur AOB. La dérivée du moment de la quantité de mouvement de l'animal et de la barre par rapport au point C est égale à la somme des moments des forces agissant sur le système. Le seul point en mouvement est M \ les réactions des plans ont un moment nul \ l'action que M reçoit de AB est une force intérieure, et l'on a
— «sm2a-^-- = <3rPcoS3t -h (2a — jrjQcosa
34^ * HEGUEIL d'exercices
OU
dt^ 2asina aQsina
Intégrons en tenant compte de ce que, pour t = o^ x et dx sont nuls,
X = — -— -^ a I I — cosf i / : — I j
Q \ V 2ûsina
-al I — cosf i / y 2 sina V 2«sina
ivf j • P-f-2Q
M devra parcourir un espace 2 a — — — ? ce qui ne peut
s'înterpréter qu'en supposant à AB un prolongement rigide, mais sans masse, au delà de A. Si P est négligeable par rapport à Q, le maximum de la vitesse est environ
\/ "'h pour a == a", a = 6o°, c'est près de y mètres par
seconde.
La réaction longitudinale de la barre sur M se calcule en écrivant que cette force avec la composante de Q produit l'accélération de M^ il en résulte
F = ^ — - -^ Q sm« = ^ costi/—^ Q sma.
g dt^ 2 sma y î^ sina
« Cette force, d'abord positive, devient bientôt négative 5 le
travail correspondant à la descente de M est d'ailleurs négatif. Puisque la force vive est nulle au commencement et à la fin, il faut que le travail de F soit égal et de signe contraire au travail du poids Q; ce travail est donc
— 2û(P-f- 2Q)siaa=/Fef.r.
Pour avoir la réaction verticale exercée par le plan horizontal, il suffit de prendre les moments des forces extérieures et de la quantité de mouvement par rapport au
sua LA MÉCANIQUE RATIONNELLE. 343
point B; le moment de la quantité de mouvement est nul,
et Ton a
Va -h Q^
(Pfl + Qj:)cos« — 2flNcosa = o, N =
La réaction du plan vertical se trouve d'une manière analogue
N, =:: -^^-^^ cota.
169. Une tige homogène AB, de masse fi^ de longueur ia^ est assujettie à tourner autour de son milieu O dans un plan horizontal; sur cette tige peut glisser un anneau M, de masse m, attiré vers O par une force pro^ portionnelle à la distance. Déterminer le mous^ement du système y connaissant, à l'origine du temps, la vitesse angulaire de la barre w, la distance c deM àOet la vitesse u de glissement de M sur AB. Cas où [i:=3m^ c = a^ m = o.
(Licence, 1870.)
^La position de la barre est déterminée à chaque instant par Tangle d qu elle fait avec sa direction initiale, et la position de M sera connue si Ton donne sa distance 7* au point O. Les forces extérieures sont Tattraction de O et la réaction du même point sur la barre; la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à ce point est constante, ou, si Ton veut, le théorème des aires est vérifié. Le moment de la quantité de mouvement de AB est
dt'^
le principe des aires donne
L'équation des forces vives est aussi applicable-, si Tattrac^
344 KEGC7EIL d'exercices
tion de O sur M est représentée par k*mr^ ^n travail esc -A:*m(c* — r*), et Ton trouve
K(mr»-f--|xa*j ^~ /»«*— (/tic'H- ■- pa»j
Éliminant -7- entre ces deux équations et séparant les variables, on trouve
On ne pourra pas effectuer Tintégratiôn, mais les équations (i) et (2) donnent une idée très-complète du mouvement; la première montre que rffl ne peut s'annuler nî changer de signe : la tige tourne donc toujours dans le même sens et d'autant moins vite que r' est plus grand. Le dénominateur de la seconde doit rester positif, et pour cela r ne doit pas devenir infini. Il y a deux cas à distinguer selon le signe de la partie indépendante de r :
Pour r == c, le dénominateur y*(r) est égal à
f/wc*-f--ptaMa*, >o;
pour r = 00 , il est <^ o ; il y a toujours une racine r' comprise entre c et 00 , mais, pour r = o^f{r) = H. Si donc H <1 o, il y aura une racine r^<^ c, le mobile M restera compris entre deux cercles, dont le centre est en O, et dont les rayons sont r\ r"\ la trajectoire sera formée d'une suite de branches superposables, allant d'un cercle à l'autre en
SUK LÀ MÉGAlflQUE RATIONNELLE. 34^
les touchant aux points communs. Si H^ o, il n'y a pas de racine entre c et o ^ r à partir de r' pourra décroître jusqu'à zéro, et même prendre des valeurs négatives jusqu'à — r'j les branches dont se compose la trajectoire sont limitées au cercle de rayon r\ et elles passent toutes à l'origine pour revenir toucher le cercle. Enfin, quand H = o, r pourra croître jusqu'à r', et diminuer ensuite jusqu'à zéro, mais il n'y arrivera qu'après un temps infini, parce que le coefficient de dr contient r en facteur commun au dénominateur, ce qui rend infinie l'intégrale qui a zéro
pour limite. D'ailleurs — tend vers ( i H j o) j la courbe
décrite est une spirale asymptote au pôle.
Un cas très-simple est celui où r'= r'^5 et, comme ils sont généralement séparés par c, leur valeur commune est c-^ f{c) doit être nul, ce qui exige m = 05 ensuite le produit des racines àQf[r) = o doit être c*^ donc
dans ce cas, l'anneau décrit un cercle d'un mouvement uniforme.
Cette discussion s'applique sans modification au cas particulier proposé^ seulement une des racines de f[r) = o est c, ou a : nous n'avons qu'à récrire les équations (i) et (a) avec les simplifications de forme qui résultent des valeurs numériques adoptées, on a
É?ô 2«'« , ±: dr Ja^ H- r^
— , dt=: ^
Quand w = A:, la quantité sous le radical est — h^ (r* — a*y*^ on voit que r doit toujours rester égal à a, et le lieu de M
est un cercle. Si ^<^a)^, le lieu est une courbe lobée
