RECUEIL B^EXERCICES
comprise entre deux cercles concentriques de rayons a et a l/-Ti 1' Les branches passent à l'origine lorsque
k^t*>^ii. Enfin, pour /r = w y^a , la trajectoire est une spirale dont l'équation s'obtient en éliminant dt entre les deux équations du mouvement :
dza^drJz . 2 a^dr/a* \-{
dQ = = zc -^ -1 — I I •
Il faut prendre le signe — , parce que r ne peut que décroître à partir de a; on peut mettre l'intégrale sous l'une ou l'autre forme
Cherchons la pression N de l'anneau sur la barre dans le cas particulier, qui du reste ne diffère pas essentiellement du cas général. L'accélération du mouvement angulaire de AB est due à cette pression. Si donc on prend par rapport à O le moment de l'impulsion de cette force et celui des quantités de mouvement, on a
3^ dt
Mais
y/ô ^a^oardr ^a^tùrde^[A^—!loi^)a'-h1ia^(»h^'—Â^/\
donc
Comme le centre de gravité de la tige est immobile, et
SUR LA. MÉCAiriQUE RÂTIOHNELLE. 347
qu'elle n'est sollicitée que par cette pression N et la réaction du point O, cette réaction est égale et parallèle à N, mais de sens contraire.
170. On donne un cône droit dont Vaxe est vertical et le sommet en haut; un point pesant M assujetti à rester sur la surface convexe est attaché à un fil flexible, inextensible et sans masse qui passe dans un très -petit trou O au sommet du cône, pour s'enrouler sur une poulie C et se terminer par un poids TA' \ troui^er le mous^ement du système en supposant que M! soit d'abord immobile y et que, par suite, M ait une vitesse horizontale c,
(Licence, 1872.)
Soient r la distance OM, 6 Tangle^dont on a tourné le plan méridien qui contient cette droite, (f le demi-angle du cône, m, m', 2 (yi les masses de M, M' et de C. Le point M est soumis à la pesanteur, à la réaction du cône et à la traction du fil^ ces trois forces étant dans le plan méridien de M, leur moment par rapport à Taxe est nul, et le théorème des aires a lieu pour le mouvement de la projection de M sur un plan horizontal \ a étant la valeur initiale de r, on a
(1) Hsm(p~=:rc«;
Appliquons à tout le système le théorème des forces vives \ la pesanteur est la seule force extérieure ou intérieure qui donne un travail \ la force vive de M est
;„,. oum(^— +r>sm'ç— j,
celle de M' est 'w' -^ ' et celle de la poulie est le produit de son moment d'inertie par le carré de sa vitesse angulaire
Cl)
-, R étant le rayon de la poulie, on a ainsi - R'Xafxeo^^
mais Rg) est la vitesse d'un point de la circonférence sur
dr di
dr laquelle s'enroule le fil, ou —• On a en définitive
(/n4-m'-f-p) — -+-/wr'sin'ç— — mc^-=i i g [m co%^— m ]\r — a).
Éliminons dt entre cette équation et (i), puis séparons les variables
... 7\:. acdr Jm -h /w' H- tx
(2) siny<iô = — '
r^ntc^[r^ — a^) -t- 2gr'[ntcoSff — ^') ('' — ^) On peut intégrer quand m cosç est égal à m' 5 on trouve
r = asec\ B suivi/ ; ]•
Il suffit de multiplier r par sinf pour avoir en fonction de 6 le rayon vecteur d'un point de la projection horizon* taie de la trajectoire du point M ] c'est une courbe dont le rayon vecteur est a sinç pour = o, et devient infini pour
2 sm^ y
ce lieu se déduit de la ligne droite en augmentant les angles polaires de ses divers points dans un rapport constant; il y a une asymptote à distance finie du pôle. La loi du mouvement s'obtient en remplaçant dans [2) dO par sa valeur (i) en dt :
dz rdr dm -h m' -f- tx dtz=z • > — *
' Dans le cas particulier qtie j'ai pris, on intègre et Ton
SUR LA MÉGÀiriQUE UATIOUIfELLE. 349
trouve
il faut un temps infini à M pour parcourir sa trajectoire^ il est bien entendu qu'il sera arrête si la longueur du fil est finie ^ mais cette impossibilité ne peut être prévue par nos équations, qui nous indiquent du moins Tépoque où elle vient à se produire.
Revenons au cas général, et posons r sinf == |0, a sin^ = a, 7w -+-/»'-+- fJt == X 5 l'équation (2) nous donnera la projection horizontale de la trajectoire*, on peut l'écrire
(3) ^v/^ = ±acdfMl
p ^(p — a) [ng (m ces ç — m') p* 4- mc^ sin y (p -H a)]
Quand mcosç — m'<^o, la quantité entre crochets s'annule pour une valeur positive, |3, de p et pour une valeur négative •, dO n'est réel que si p est compris entre a et P 'j la projection est donc comprise entre deux cercles ayant ces rayons, qu'elle vient toucher alternativement. Ces deux cercles se confondent et le mouvement de M est uniforme quand g(m^ — mcoscp) = me* a. Si de l'identité
2^(mcoSf — m')P'4- mc'siny(P -4- a) = o
on tire 2g{mcos(^ — m') pour le substituer dans (3), elle prend la forme
qu'il est aisé de ramener à la forme type des intégrales elliptiques de troisième espèce, en posant
p = a sin* a 4- p cos' «.
35o HEGVEIL D^EXCRCIGES
Dans le cas où mcos(p — /n'^ o, la quantité entre crochets sous le radical (3) est positive pour toutes les valeurs positives de p ; ce rayon vecteur doit donc être toujours ^ a, et il grandit indéfiniment, mais cela exige un temps infini. Comme le coefficient de dp sma dénominateur de
l'ordre de p ^ , l'intégrale prise àep=:<xkp = GO sera finie, et à p infini répond une valeur finie 9i de 6j j'ajoute que l'asymptote correspondante passe au pôle, car la distance de ce point à l'asymptote peut s'écrire
lim p { 0, — B]z= hm = hm -r- = limp^ — - •
' ^ ' i ap ^ dp
Or p^ Y ^st nul pour p infini, puisque le numérateur est
de degré inférieur au dénominateur.
Dans ce dernier cas, il peut se faire que la quantité entre crochets soit un carré parfait, on trouve alors
dB sin<f=: 2a ^ V/ —
dp
On peut intégrer
- ô 1 / — sin© = arc tang i / arc tang 4 /t - •
mais cette intégrale, tout en précisant la valeur de 9 qui répond à une valeur donnée de p, ne nous montre pas les propriétés de la courbe plus nettement que son équation diflFcrentielle.
La tension du fil ne varie pas depuis le point M jusqu'il la poulie, elle serait donnée par l'expression de l'accélération de M suivant le rayon vecteur ^ mais il est plus facile de la calculer en appliquant le théorème des forces vives à un petit déplacement du système formé de G et du poids
SDR LA MÉCAHIQUE RÀTIOHNELLE . « 35 1
M'. Les forces extérieures qui sollicitent ce système sont la tension T du fil COM et le poids de M'^ le déplacement du point d'application esl pour toutes deux dr ; donc
Mais
(/n 4- m'-{- f*) — =mc^ — /ne*— ■+- 2^(/»cosf — m') [r — a),
€4fm m
On n'a qu'à différentîer, substituer et diviser par arfr,
[m -{- m'-f-f*) T = /?ig'[(m'-+-fx) cosf -+-/w'] H- /n(m'-+-p) •
La tension du fil CM' serait moindre que - 7-/^ -77*
Quant à la pression N exercée par M sur le cône, on Tobtient en calculant la composante de la force qui sollicite M, estimée suivant la normale extérieure au cône 5
— mr sm^ cosy — =: N — mg smij».
__ . / a'c'cos(p\
Ces calculs s'appliquent au cas où cf sera égal à 90 degrés, c'est-à-dire où le point M sera posé sur un plan horizontal.
171 . Mouvement d'une barre pesante et homogène AB , dont une extrémité A reste sur un plan horizontal, tandis que V extrémité B suit une verticale. Il ny a pas defrottentent, et, à l'origine, la vitesse du point B est nulle. Cas particuliers.
Prenons la verticale donnée pour axe des z, le sens positif étant dirigé de haut en bas, le plan horizontal pour plan XOY, et dirigeons Taxe des x vers la position initiale
35â • RECUEIL tk^EXERGIGES
de A. Soient 2a la longueur de la barre, G son point milieu, 6 l'angle COZ, <{; Tangle du plan COZ avec ZOX ou l'azimut du plan qui contient AB. Le triangle A06 étant rectangle, la médiane CO est égale à a, et l'angle de AB arec la verticale ir — 9.
Le théorème des aires s'applique à la projection du mouvement sur OXY. Si l'on désigne par dm la masse d'un élément M sur AB, par r la distance BM , la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à OZ est
r» sin'0 -^ dm = ^ a^m sm*0 -^ ; AB ^^ 3 dt'
(ù étant la valeur initiale de -^ et a celle de 0. on a donc
dt '
(i) sin'ô-7- = «sin*a.
^ ^ dt
Le théorème des forces vives nous donne une seconde équation^ le travail des réactions est nul, et il ne reste que celui du poids mg appliqué en G. Quant à la force vive, il est bon de la calculer comme étant la somme de celle qui correspondrait au cas de la masse concentrée au centre de gravité G, et de celle qui est représentée par le mouvement relatif autour du centre de gravité. Or, dans le temps dt^
l'arc parcouru par G est a y/d6'+ sin'ôrf^'*, le mouvement de AB autour de G est une rotation mesurée sur la sphère
de rayon i par l'arc \/d6*-{- sin'ôd^*, et, le moment d'inertie
par rapport à G étant m -^ 9 on a tous les éléments de l'é-
quation des forces vives. Au commencement, — est nul^ donc
= 2mga (cosB — cosa).
SUR LA. HÉCÀNIQtTE ILÀTIOIf NELLE . 353
Élimînant dt^ puis d^ entre cette équation et Téquation (i), on a tour à tour une équation de la trajectoire du point C et la loi du mouvement.
2a»'sîn^a
=z sin* ( ces — cosa )
X [35^(1 — cos*0) — 2a&>^sin'a(cosa + cosO)],
2asm*0-r-:
= (cosO — cosa)
X [35^(1 — cos^ô) — 2a6>'sin'a(cosa -f-cosÔ)].
La quantité entre crochets est <^ o pour cos6 = i et ^ o
pour cosfl =: — 15 elle s'annule pour une valeur j3 de 9 com-
€iB dB . / I .1
prise entre zéro et ît, et, pour que ;7- et — soient réels, il
faut que 6 reste compris entre a et |3. L'équation (i) montre que tp va toujours en augmentant dans le même sens ^ quant à d, il part de a pour aller à /3, revenir à a, et ainsi de suite j les accroissements de tetde^ correspondant à ces oscillations sont constants.
Pour étudier les diverses valeurs de j3, reprenons notre trinôme entre crochets en cos9, et désignons-le pary(9)^
on a
/(a,) =z [Zg — 4^**'^osa) sin'a.
Si / (a) < O, ce qui exige a<C-jona|3]>a5 d'ailleurs
y 1 - J z=Zg — 2tf «* sin*
a cosa.
Quand /( - ) est ^ o, |3 est compris entre a et -; C reste
sur la sphère décrite de O comme centre avec a pour rayon, entre deux petits cercles horizontaux au-dessous du plan
Db S.-G. — Rec. 23
354 KScirciL d'exekcices
des xy. Quand y"(a) etyi-j sont <:^o, ^ est >-> mais
inférieur à w — «, car /(jt — a) est toujours positif; les deux cercles entre lesquels C reste compris sont l'un audessous, l'autre au-dessus de XOY. La dislance OÂ, d'abord égale à aaaiuix, croit jusqu'à aa, puis décroit jusqu'à aasin(3^ ensuite elle revient à a a, puis à sasina, et ainsi de suite. D'ailleurs, quand le point  atteint une de ces limites, la tangente à son Heu est perpendiculaire au rayon
vecteur. Quand a est >-» P est toujours inférieur à oc et
même à ir — a, et la nature du mouvement est la même que dans le dernier cas, si ce n'est que le minimum de 6 est P et non plus a.
Si l'on avaity{a) = o, j3 se confondant avec «, Q devrait être constant, et ÂB décrirait uniformément un cône droit autour de OZ.
En tirant la valeur de 3^ de ridenlitéy"(^) = o et sul>stituant dans l'équation (a), on peut obtenir di/ sous une forme simple et symétrique
sinfl v'(cose — cos*)(cosp — cosfl) ^cose(cosir-;-cosp) H-n-cos«cosp
On peut reconnaître que la différence d'azimut de deux
plans pour lesquels 9 atteint des valeurs extrêmes est ^ -■
Posons cos9=:cosacos*u-|-cosPsin*Ui il vient, par une simple substitution,
[l— ^l;oslICns'u-|-COSpsin'u)']^I^-2COSaCOSp^-COS'olCOS'M-4-COS'psin'l
La diiïérence d'azimuts cbercLée s'obtient en intégrant de u = o à u = — ^ en supposant a <^ p, la quantité sous
SDB. Là MJÊCÀNIQTJE HàTIONKELLE. 355
le radical est <^ i-f- 2 cosa cos|3 + cos*a, et
Q I — ( cosa cos' u -4- cos p sin* « ) sina sin p '
donc
cosKP — a) /i-+-cosacosp-|-sinasinp
v/i4-2cosacosp-+-cos»a '^ V 2-h4cosacosp-h2COS^a
et il est évident que la quantité sous le radical est ]> -?•
Les réactions de Taxe des z et du plan des xy se calculeront en exprimant que ces forces, appliquées en G avec le poids mg^ sont égales à la masse multipliée par l'accélération du point G; mais les r^ultats sont bien compliqués.
Cas particuliers. — Supposons co = o, la barre ne sort pas du plan vertical XOZ ^ le point G reste sur un cercle vertical, et la loi de son mouvement, aussi bien que celle du mouvement de AB, est donnée par l'équation (3), qui prend la forme
Vcosô — cosa Y 2^
6 diminue de a à — a pour revenir a a, et ainsi de suite j
oc oscille comme un pendule de longueur^ a. Soient Z
etX les réactions du plan Horizontal fixe et de l'axe OZ, X et z les coordonnées de C ; on aura, par le théorème du
mouvement du centre de gravité,
dt^ ' dt^ ^'
mais a: = a sin0, z = a cosd, et l'équation du mouvement
donne
«^6' 3fi:, , , d^Q 3g^ . ,
-— - =. -2.(cosô — cosa), --- - =-^ ^smô.
Ces expressions permettent de calculer X et Z, et l'on trouve
X=-r? sin0(6cosa — 9COS0),
1az=i-^ (6cosacosO — gcos^ô — i).
X est toujours de signe contraire à d et Z toujours négatif.
Un autre cas simple est celui où l'on suppose la barre
non pesante : en faisant g =^o dans l'équation (a), on en
lire
sina^d ,,
=: d^j tanga COtô = COStJ'.
sin*0 v^cos'^a — sin'a cet* 9
On en déduit que le lieu de A est une ellipse dont les axes sont 4^ sina et 4^? 6t la surface engendrée par AB se compose de deux surfaces du quatrième degré.
172. Deux masses m, m\ posées sur un plan horizontal, sont réunies par un Jîl flexible, de longueur ins^ariable /, et qui passe sur une très-petite poulie en 0\ la masse m est attirée vers O as^ec une intensité ins^ersement proportionnelle au carré de la distance; on imprime à m^ m' des vitesses connues, et l'on demande le moui^ement qui en résultera; cas où la vitesse initiale de m! est nulle.
(Licence, 1873.)
Soient r, r' les distances Om, Om!\ S, 6'les angles de ces droites avec un axe fixe*, a, a' les valeurs initiales de r, r*\
w, 0)' celles de -r? -r-î 2* la vitesse initiale de £;lissement du ' dt dt^ °
fil sur le point fixe O. Le théorème des aires est applicable
au mouvement de chaque point en particulier :
dt dt
on appliquera, au contraire, Téqualion des forces vives au système entier, parce que le travail de la tension du fil disparaîtra, et, si Ton appelle A' m l'attraction exercée sur m à l'unité de distance, on aura
dr^ dQ^ , \
\dt^ dl' )
Jdr'^ .de' , ,, ,A -, /i i\
. \dt' dt' ) \r a)
Remplaçons -—5 — par leurs valeurs, et r' par / — r; nous
dt dt aurons
(/7i -h m' ) -— := (/» 4- m' ) tt' -f- ma'tù'
dt' ^ ' r
[l^rY \r a
Le second membre est positif pour /• = «, et, si w et o)' ne sont pas nuls, il est négatif quand r est suffisamment voisin de o ou de l\ il y a donc toujours deux valeurs, a et p, comprises entre o et /, et entre lesquelles r oscille, allant de l'une à l'autre dans un temps constant. La trajectoire de m sera formée d'arcs égaux compris entre les cercles de rayons a et |3, qu'elle touche alternativement^ celle de m a une forme analogue entre les cercles de rayons / — a et / — j3. Pour que a soit égal à (3, il faut que leur valeur commune soit a, ce qui exige m = o, et, en outre, que r = a annule la dérivée du second membre de l'équa-
358 hegdeil d'exercices
lion (1)5 en observant que a'= / — û, cela donne
mtd-a — m' w"(/ — a) — h^ —z=zo.
H y a une infinité de manières de réaliser cette relation, et alors les deux points se mouvront uniformément sur deux cercles.
Si Ton suppose w = o, le second membre de l'équation (i) est > o pour les valeurs de r entre o et a; r aura une limite supérieure moindre que /*, mais, après' Favoir atteinte, il décroîtra jusqu'à zéro, et, si m peut dépasser le point O, il s'échappera^ et Ton aurait à étudier le mouvement de deux points liés par un fil et dont l'un est atriré vers O, problème bien plus difficile que le proposé.
Dans le cas particulier proposé, u et co' sont nuls. Je
r^dt reprends l'équation (i), en y remplaçant dt par
a'Gt>
(2) rfsy/.
m a^fùdr
yja^^y^ . t
a*fo^
Le radical s'annule poui* r = a et pour r = r4 = - ,^
Si Tj ^ O, r restera compris entre a et Ti, sinon il ira de a jusqu'à l'infini. On peut, du reste, intégrer la valeur de 0, et, en prenant les cosinus des deux membres, on trouve, pour la trajectoire de m,
I P r û'«'— X' / / m M - = — - n — cosl Ô\/ 7 ) •
Cette courbe est la transformée d'une conique ayant son foyer au p6le et où l'on aurait augmenté les angles polaires
de tous les points dans le rapport de y/m -+-m' h \[m. On trouvera la position de m en fonction du temps de la même
SDR LÀ MÉCAIÏIQUE RÀTIONIfELLE. SSp
façon que pour le mouvement des planètes *, en général cela revient à remettre dt dans l'équation ( 2 ) et à intégrer sa valeur
, . . m rdr
dt
vV^~^
tn -f- /w
n est entendu que, si r dépasse /, m! traverse le point O, et les conditions du problème sont tout autres.
i73. Mouvement d'une droite pesante assujettie à rester sur la surface, parfaitement polie, d'un hjperboloïde de ré\^olution dont l'axe est vertical.
Notre droite coïncidera successivement avec chaque génératrice d'un même système, et sa position sera connue si l'on donne l'angle ^ de sa projection sur le pian du cercle de gorge avec un diamètre OX de ce cercle, et la distance r comprise entre le milieu M de la droite et le point G, où sa direction perce le plan. Soient a le rayon du cercle de gorge, B l'angle des génératrices avec l'axe de la surface, qu'on prend pour axe des z 5 l'angle de OC avec OX est, en comp-
tant ^ dans un sens convenable, — j- ^j et les coordonnées
rectangulaires de M seront
x=L rsinOcos^' — asin^j», (i) < j^ = /•5in0sin>|/ H- acos^l',
z zzz rcosô;
z et r sont positifs au-dessous du cercle de gorge.
Comme les réactions que la barre reçoit aux divers points où elle touche la surface sont dirigées suivant les normales correspondantes, leur moment par rapport à OZ est nul, et la somme des moments des quantités de mouvement est constante. Cette somme est égale au moment relatif à la
36o BEGUEIL d'exercices
masse concentrée en M, plus celui qui correspond au mouyement relatif autour d'une verticale qui serait entraînée avec M 5 la première partie est
(dy dx\ r , . ^d'h , ^dr"!
la seconde est, en appelant mk* le moment d'inertie de la barre par rapport à son milieu, mk* sin'O-—-; donc
(2) (a* -h ^*sin*ô ^-r^sin'ô)-^ — a sinB -^ = [t..
La force vive s'évalue comme il a déjà été fait, en deux parties : l'équation du travail est
dr'^ d-it^
sin*ô -7- ^- (a^-h r^sin'ô -i- X'sin'ô) •—
dt^ ^ ' dt^
dr d'^ — 2asin9-7- -7- — as'/'cosô = h, dt dt ^
Multiplions par a' -j- (r* -f- A*) sin*9, et retranchons membre à membre de l'équation (2) élevée au carré, on élimine rf(f, et il reste
dr"^
(3) (r^H- k^] sin< 9-— = (a^-f. ^a gin^ô -h r^sin'Ô) (^4-2 g^rcos 9) — ft».
Le second membre étant du troisième degré, s'annule au moins pour une valeur de r ^ on peut compter le temps à partir de l'instant correspondant. Désignons par ro et «
les valeurs correspondantes de r et de •-—> et posons, pour
abréger,
«=:csin9, 25^0089 =7 sin' 9,
les équations (2) et (3) prennent une forme simple, en donnant à A et à jx les valeurs qui rendent les deux membres
SUR hk MÉGANIQUE RÀTIOirNELLE. 36 1
identiques quand f = o,
(5) {r »-f- A-») ^' = (r- /o) [7{r»-f- c»+ A-») -♦- (rj + c»4- A')f^'{r + ro)].
Si To ^ o, le trinôme entre crochets,/* (r), est >• o pour toute valeur de r supérieure à Tq^ r ne peut donc varier que de ro à 00 ; mais, quand ro<^o, il peut arriver que f{r) s'annule pour une ou deux valeurs de r plus grandes que ro5 dans le premier cas, qui répond ày(ro) <C<>, ou y 4- 2C«)'ro<^ o, r devra varier entre Tq et la plus petite des deux racines dey(r) = o. Si les deux racines sont réelles et ]> To, r variera encore de Tq à la plus petite, et la droite ne sortira pas d*une certaine zone comprise entre deux parallèles de Thyperboloïde. Dans le cas où Tune des racines def[r) = o est ro, et l'autre ]> r©, ce qui exige
M et tous les points de AB décrivent uniformément des parallèles. Quandy(r) ne s'annule pas pourrir©, r va
de To à 00 . ^ s'obtient en remplaçant, dans (4)) ^ P*r sa
valeur tirée de (5) 5 mais, quand r est très-grand, on a sensiblement dr = dt \fry^ r*d^^=icdr\ donc ^ tend vers une limite finie, et le mouvement de M devient à peu près uniformément accéléré.
Quand co = o, ou quand la barre part du repos, on peut intégrer (4)5
— s/ A* 4- c' = arc tanc . — arc taner . :
on en déduit la forme de la trajectoire de M.
302 UEGUBIL d'eXEKCICES
Mouvement d'une barre pesante et homogène dont les extrémités doivent rester sur un cercle vertical poli; pressions exercées. L'équation des forces vives détermine Tinclinaison de la droite, et le mouvement du centre de gravité donne les réactions, qui sont normales au cercle.
Une barre pesante et homogène AB peut se mouvoir dans un plan vertical autour de Textrémité A; l'autre extrémité s'appuie sur yne face d'un prisme triangulaire dont la base repose sur le plan horizontal parfaitement poli qui contient A ; le prisme ne peut se déplacer que parallèlement au plan vertical dans lequel se meut AB ; mouvement qu'il prend sous la pression de la barre.
Deux points A, B sont liés par une tige sans masse mobile autour de son milieu C; chacun d'eux est attiré vers un point O avec une intensité inversement proportionnelle au cube de la distance; CO est égal à - AB, et le mouvement initial est tel que la
barre reste dans un plan passant par CO, mouvement du système. Le théorème des forces vives conduit à une équation intégrable.
(Walton.)
Mouvement de deux points pesants qui se repoussent avec une intensité réciproque au carré de la distance et dont les vitesses initiales sont dirigées suivant la droite qui les joint. Le centre de gravité décrit une parabole, et la droite qui joint les deux mobiles conserve une direction constante.
Un prisme triangulaire repose par sa large face sur un plan horizontal parfaitement poli, et ne peut prendre qu'un mouvement de translation perpendiculaire à ses arêtes; deux petites masses réunies par un fil qui ne sort pas d'une section droite du prisme sont posées chacune sur une des faces inclinées et abandonnées à elles-mêmes ; déterminer le mouvement du système et la tension du fil.
Une aiguille AB de masse m peut tourner autour de son extrémité A dans un plan vertical; déterminer la loi suivant laquelle
un insecte de masse m doit se déplacer sur AB pour que cette aiguille puisse avoir un mouvement de rotation uniforme; Tinsecte est suppose en A quand AB est horizontale. On écrit que la dérivée de la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à Taxe autour duquel tourne la droite est égale à la somme des moments des poids ; on tient compte de ce que la vi-^ tesse angulaire est une constante u, et Ton arrive à une équation de la forme
, / ^ ^-^^\ g statut = 2«' I r — oL i ;
le mooYement n'est possible que pour une demi-révolution.
