Les deux sphères ont pour équation

j.i ^yi j z^ = k*, (.r— a)2-+- (7— by -f- (z —cY= AK

L'équation d'un plan tangent à la première au point {Xi , Xi, zi) sera

(1) xx^ -H jj, + zzi = h\

Pour exprimer que ce plan est aussi tangent à la seconde au point (^s,jKïî ^2)5 on a les relations

XiX2 -»- 7.^2 + *1 Z2 = h\

Xi — a y-i-^ b z<i — c *?i ~~ Ji "" 3, ' d'où l'on tire

x^ — a x^ — b Zt — c k h} — [axx-\- by^ -4- cz, ) ^

par suite,

(2) a.r, H- ôj, + cz, — h[h±k).

'a/^S calcul différentiel.

La question revient à trouver la surface enveloppe d'un plan dont l'équation est (0, les paramètres j:,, ji, Zi devant satisfaire à Téquation

(3) a:]^j]-hz] = à\

et à la relation (2).

DifTérentiant les équations (i), (2), (3) par rapport ami paramètres, il vient

(4) ,rdjr,-hjrdjri-\-zdzt = o^ '

(5) Xidxi -h/i^/j, -f- z^dz^z=^ o, ( 6 ) a r/jf, -h h dy^ -f- c cte, = o .

Ajoutons entre elles ces dernières équations après avoir multiplié la première par X et la seconde par ji, X et fx étant deux indéterminées, puis égalons à zéro les multiplicateurs des différentielles ^ on trouve ainsi

Ces relations, multipliées respectivement par x^ y^ z et ajoutées, donneront

Tirant fx de là, on obtient enfin, eu égard à la symétrie des calculs,

x — xy X^Xt z — Zt

ha — ( A d= k)xy hh — (/i d= k)y, hc — [h±:k)z, Ces trois rapports ont une valeur commune

h{ax-\' by-^cz) — {/izhk)/^

et aussi

ax ■+- by -\- cz — h(h± k) h{a^ -4- 6^ H- c») — h{U ± ky

Il en résulte Téquation

( j;î + j3 -i a2 ^2) |-^2 | è» | c» — (^ Zh X)']

= [ax -h by -Jf cz — h{h±k)'Yy

qui représente deux cônes, comme on pouvait le prévoir,

336. L'équation du plan normal à la courbe au point (j:, , z) est Ja suivante :

(i) a»{6»— c') — + ^''{c' — « ^- H- [a}^b')'^ z=zo,

x^y ex z étant liées par les deux relation»

Dîfférentîant ces trois équations par rapport k x^^ j et z, îl vient

xdx '\' ydy + z ^js ,

xdx y dy zdz

«. + fc, + ^, «•

En faisant usage des indéterminées X et jut comme dau5 le numéro précédent, on trouve

Multiplions respectivement par x^ y^ z ces dernières équa-

25o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

lions, et ajoutons les résultats, il vient et par suite

D'ailleurs, de la combinaison des équations (2} et (3) on déduit

et en substituant k x^j^^ z leurs valeurs tirées des équations précédentes, on arrive à un résultat de la forme

Cette équation homogène par rapport aux variables représente une surface conique, résultat facile à prévoir puisque tous les plans normaux passent par le centre de la sphère.

QUEST^o^■s.