Épîcjcioïde (n
277. Soient m A = r la distance d'un point m d'une courbe à Torigine A des axes supposés rectangulaires, p la perpendiculaire abaissée de A sur la tangente en m^ e l'angle dô cette tangente avec Taxe des x, ds l'élément de l'arc et p le rayon de courbure^ on a
ds d^p dr
^ di ^ di' dp
278. Dans toute courbe dont l'équation satisfait à la relation
dx b^-hX^ '
la différence entre l'inverse de la longueur de la normale et l'inverse du rayon de courbure est indépendante de b,
279. Lorsqu*en un point d'une courbe le rayon de courbure est maximum ou minimum, le contact de la courbe et du cercle osculateur en ce point est du troisième ordre.
280. Soit une droite OM qui passe par un point fixe O et rencontre, en Ai, A2,. . ., A„, n courbes données (Ai), (Aj),. , ., (A„). Le point M est tel, qu'on a
«,, <7j,..., /7„, m étant des constantes. Lorsque la transversale OM tourne autour du point O, le point M décrit une courbe (M) et Ton a •
pcos^a Rcos*/x
p^ étant le rayon de courbure de la courbe ( A^) et «^ l'angle que fait ce rayon avec la transversale. R et jx sont des quantités analogues pour la courbe (M).
§ XIV. — Géométrie à trois dimensions.
28i. Etant données deux droites D et Di représentées par les équations
X — a, y — hx z — c,
on demande :
1° La direction de la plus courte distance des droites D et D, -,
2° La longueur de cette plus courte distance \
djL
dn
dl
3^ Les coordonnées des points de D et de Dj dont la distance est un minimum.
282. Soient, en un point M d'une courbe à double courbure, a, i, c les cosinus directeurs de la tangente, a, S, y ceux de Y axe du plan osculateur, co l'angle de contingence, u Tangle de torsion*, sachant qu'on a les relations
cl{—\ , . ^ \ds I da db de
as 6> b) M
où X, ;/, V désignent les cosinus directeurs de la normale principale, prouver qu'on a aussi
283. Déduire des équations ( a ) du numéro précédent la formule connue
d,r{d^Xd^ z—d"^ zd^y)-{-dy{d^ zd^ .T—d^xd^ z)-\-dz{dKTdy — d\rd*.r) ~~ * (djdz — dzdyy-h{dzd\x — dj:d'zy-hid,rd^X'—dxd^j!:y
284-. Les notations étant celles du n° 282, démontrer les formules
et tirer de là l'équation
4» désignant l'angle de deux normales principales infiniment voisines.
285. Soient M un point d'une courbe C, Mj le point correspondant de la courbe Ci lieu des centres de courbure de C 5 trouver les angles que la tangente en Mi fait avec la tangente, la normale principale et le plan osculateur au point M.
QUESTIONS. 3q
286. Soient M et M' deux points infiniment voisins d'un^ courbe donnée^ P un plan mené par M perpendiculairement à la normale principale en ce point ^ P' le plan analogue en M'; le point M étant supposé fixe, déterminer l'intersection limite L de ces deux plans, et en conclure une représentation géométrique de la seconde courbure.
(Lancret a donné au plan P le nom de plan rectifiant et celui de droite rectifiante à la ligne L. )
287. En un point M d'une courbe à double courbiu'e, déterminer l'intersection limite m du plan normal avec deux plans normaux infiniment voisins et trouver l'expression de la longueur Mm.
Le point m est le centre de la sphère osculatrice dont Mm est le rayon.
288. Si le rapport des deux courbures d'une courbe est constant, cette courbe est une hélice tracée sur un cylindre à base quelconque. La réciproque est vraie «
289. La courbe dont les deux courbures en chaque point sont constantes est une hélice tracée sur un cylindre à base circulaire. (Puiseux.)
290. Etant donnée une courbe AB, on en déduit une autre Aj Bj , en portant, à partir de chaque point M de la première, une longueur constante MMi = h sur la normale principale en ce point. Trouver les angles que la tangente en Mj à la courbe Ai Bi fait avec la tangente, la normale principale et l'axe du plan osculateur de la courbe A B au point M.
291. Les données étant celles du n° 290, trouver les conditions :
1° Pour que les tangentes aux points correspondants des deux courbes soient parallèles *,
2° Pour que les normales principales correspondantes coïncident.
4o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
