EXPÉRIENCES SUR LA STABILITÉ DES VOUTES

Dipi'is 1« commencement du dernier siècle jusqu’à nos jours, on » publié différons écrits sur la poussée et l’équilibre des voûtes. Les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris contiennent les recherches les plus intéressantes qu’on ait faites sur cette matière. Les premiers auteurs qui s’en soient occupés se sont bornés à déterminer la figure de l’extrados des voûtes circulaires pour le cas de l’équilibre, et les épaisseurs des piédroits, ou culées nécessaires pour résister à la poussée. A mesure que l'analyse s'est perfectionnée , on a envisagé la question sous un point de vue plus général. Le dernier mémoire de M. Bossut semble avoir épuisé la matière en traitant tout ce qui est relatif à la figure , à la poussée d’une voûte pressée par des forces quelconques.

M. Prony , dans son architecture hydraulique , et dans un manuscrit que nous avons lu à l’École des Ponts-et-Chaussées , a encore ajouté aux recherches de ceux qui l’ont précédé. Mais , il faut l’avouer , tous ces écrits reposent sur une hypothèse qui n’est pas confirmée par l’expérience, en sorte qu’ils doivent être relégués parmi les recherches de pure spéculation , très-curieuses à la vérité, mais sans aucune utilité pour la pratique.

En effet, tous ces auteurs supposent que les voûtes sont composées de voussoirs parfaitement polis, sans aucun frottement , et qui glisseraient sur leurs joints si les forces qui sollicitent le système ne se détruisaient pas mutuellement : d’où il suit que dans les voûtes en berceau , le profil doit s’élargir à mesure que les voussoirs approchent de la ligne horizontale, et qu’ils doivent être infinis aux naissances; tel est le résultat auquel les conduit leur théorie , que l’expérience dément journellement^ Pour trouver les épaisseurs des piédroits, ccs auteurs admettent- qpc

la partie supérieure de la voûte glisse d’un seul morceau sur les joints de rupture , et tend à pousser, comme un coin, la partie inférieure, sans considérer que s’il en était ainsi, la partie supérieure, au lieu d'agir toujours pour renverser les culces , serait retenue dans un grand nombre de cas par la forcedu frottement sur son pointd’appui , et tendrait à affermir les culées sur leur base , loin de les renverser. A la vérité, plusieurs de ces auteurs ont reconnu l’inexactitude de leurs hypothèses ; entre autres M. Prony, qui a démontré qu’en ayant égard au frottement, les formules se trouvent dégagées de toute expression infinie; et Couplet, de 1 Académie des Sciences, qui, dans la seconde partie d’un Mémoire imprimé sur les voûtes , a considéré les voussoirs comme des corps rudes , et déterminé l’épaisseur uniforme d’une voûte demi-circulaire et en arc, et la résistance des piédroits. L’hypothèse de Couplet est conforme aux résultats de l’expérience quant à la manière dont les voussoirs sont retenus les uns à côté des autres , mais non quant à la rupture des voûtes, qu’il suppose toujours avoir lieu au sommet et au milieu des reins : ainsi les formules qu’il a' données doivent encore être rejetées.

Cet exposé très-rapide de fie qu’on a écrit sur la statique des voûtes fait voir combien nos connaissances sont peu avancées sur cette partie; loin de connaître les conditions nécessaires à l’équilibre d’une suite de voussoirs, nous n’avons pas même de formule qui renferme l’expression exacte de la poussée contre les piédroits, et la question si importante de l’épaisseur des culées, d’une utilité si journalière, est restée jusqu'à présent sans solution.

Les fonctions dont j’ai été chargé à Nemours pour la construction du nouveau pont , les doutes que quelques membres très-instruits de l’assemblée des Ponls-et-Chaussées ont paru avoir sur la solidité d’un ouvrage projeté par Perronnct , que j’étais chargé d’exécuter avec les changcmens que j’avais proposés et que l’assemblée avait approuvés, m im posaient le devoir de rechercher les moyens nécessaires pour en assurer le succès. C’est dans celle vue que j’ai entrepris les expériences qui font le sujet du présent Mépioire. Je désire qu’elles puissent servir à fonder une théorie expérimentale de l’équilibre et de la jioussée des voûtes. Mes occupations ne m’ont pas permis de me livrer

lux applications utiles et curieuses auxquelles elles peuvent rlonnerlieu.' Je me contenterai d’en indiquer plusieurs , et je me bornerai au problème le plus utile, celui qui consiste à déterminer l'épaisseur à donner aux culées des ponts.

Préparation aux expériences.

Les voûtes dont il va être question étaient composées de voussoirs formés chacun par l’assemblage de deux briques polies au grès sur une de leurs faces, et jointes par leur autre lace avec un coulis de plâtre.

Pour rendre ces voussoirs égaux, on se servait d'un moule de bois entaillé suivant ta coupe de chaque voussoir. Après avoir poli les briques on en plaçait deux dans le moule , en appliquant la face polie contre la coupe du moule ; l’intervalle entre les deux faces brutes , qui n’excédait jamais l’épaisseur d’une lame de couteau, était rempli par un coulis de plâtre. Au moyen de cet appareil très-simple, on variait facilement la forme des voûtes ; on retaillait la coupe du moule , on formait de itouveaux voussoirs avec ceux de la voûte mise précédemment en expérience, en détachant avec le ciseau les deux briques dont chacun était composé. ,

Les voussoirs étaient posés sur deux cintres de planches espacés de six pouces, et se touchaient par leurs faces sans interposition de mortier. Les deux cintres taillés d’après une épure , et placés parallèlement , faisaient partie d’une surface cylindrique droite; mais comme la moindre irrégularité dans leur position était rendue sensible par l’cgaliié parfaite des voussoirs, et qu’il fallait arriver juste pour fermer la voûte, alors on formait sur cintre le dernier voussoir, en remplissant avec deux briques l’intervalle de la clef, et en les réunissant avec du plâtre de la même manière que les autres.

Afin que cet expériences puissent être appliquées utilement à ]a construction des grandes arches, les voûtes sur lesquelles on a opéré avaieut constamment 8 pieds d’ouverture, 4 pouces de longueur de coupe et 8 pouces d’une tête à l’autre. On voit qu’elles étaient extradossées , et que la hauteur de la coupe de la clef était le vingt-quatrième

de l'ouverture de l'an che -, suivant la proportion établie 'jwr Pcrronnet dans son Mémoire sur la Courbure des Coûtes, page Gy. 5 , édition iu- 4 ".

PREMIÈRE EXPÉRIENCE

Sur une voûte en plein cintiV.

Cette voûte pesait 58 a livres ; elle était composée de 48 voussoirs dont le poids moyen était de 7 livres En posant les voussoirs supérieurs de chaque côté , 011 s’est aperçu que leur poids repoussait et détachait du cintre les voussoirs inférieurs.

La voûte ayant été laissée sur cintre pendant plusieurs jours avant la pose de la clef, on a observé que les 10 voussoirs inferieurs de chaque côté ne portaient nullement sur les cintres. A partir des naissances jusqu'au onzième Voussoir, on apercevait un intervalle entre le cintre et la voûte. Cet intervalle augmentait depuis la naissance jusqu’au sixième ou septième voussoir, où il était moyennement d’une ligne; de là il allait en diminuant jusqu'au onzième, où il se réduisait à zéro.

11 suit de celte observation que dans une voûte exlra-dossée , en plein cintre , formée d'un assez grand nombre de voussoirs , il y a de part et d’autre, au-dessus des naissances , un grand arc qui ne porte nullement sur les cintres , et que c’est dans un des points de cet arc que doit se faire la rupture de la voûte. Couplet a calculé ( Mémoires de l’Académie , année 1729 ) que cet arc était de trente degrés. Nous observerons que la grandeur doit varier et dépendre du diamètre de la voûte et de son épaisseur ; d'ailleurs , l’hypothèse de Couplet est inexacte, comme nous l’avons dit. En effet , il est évident que l’arc dont il s’agit doit être plus grand que celui qui se soutiendrait indépendamment d’aucun cintre, et dont le centre de gravité tombe sur l’aplomb des naissances : or , dans les voûtes en berceau dont l’épaisseur uniforme est la vingt-quatrième partie de l’ouverture , l’arc dont le centre de gravité tombe à l’aplomb des naissances eslde 28“ » 4 ' 24" , qui s'approche beaucoup de 3 o°. Ce dernier est donc trop petit : aussi l’expérience donne-t-elle de 37° 3 o r . La pose des clefs n’a apporté aucun cliange-

ment à ce résultat, par la raison qu’elles sont entièrement soutenues par le cintre (i).

Les clefs étant posées , et le cintre ayant été baisse de neuf lignes , on a remarqué que la voûte se fendait de chaque côté en deux points principaux , et qu’elle ?e serait écroulée si on eût baissé le cintre davantage. La figure première représente les effets observés. Les lignes ponctuées marquent la figure primitive «le la voûte qui est en plein cintre de 8 pieds d’ouverture; les lignes noires intérieures marquent les cintres en planches portés chacun sur un madrier de champ de 3 pouces d’épaisseur et de 8 pouces de hauteur, entretenus par une entre-toise à chaque extrémité. Chaque ferme de cintre est supportée , vers ses extrémités, sur dos cales en forme de coin qu'on relire à mesure qu’on décinlrc la voûte.

On peut voir dans la figure que la voûte s’ouvre à l’extrados do chaque côté , entre le sixième et le neuvième voussoir. A l’intrados à gauche, elle s’ouvre entre le quinzième et le dix-septième , et à droite, entre le quatorzième cl le seizième. Les sept voussoirs supérieurs de chaque côté portent sur le cintre ; ceux au-dessous s’en éloignent ; la plus grande ouverture du joint à l’extrados est de trois lignes et demie à-peu-près; à l’intrados, elle est aux naissances de a à 5 lignes; elle est de 2 lignes entre le seizième et le dix-septième voussoir à gauche, et de moins d’une ligne entre le quinzième et le seizième à droite. La plus grande distance entre le cintre et la voûte est de un pouce et demi à droite , et de deux pouces à gauche.

Il suit de ces observations qu’une voûte extradossée en plein cintre d’un grand nombre de voussoirs , dont l'épaisseur est le vingt-quatrième de l’ouverture , ne saurait se soutenir par elle-même et indépendam-

(i) Lorsqu’on dit qu’un tre de 28* 1 4 ' i/ t ' peut se soutenir sans autre appui que son arête inférieure, parce que le centre de gravité répond à l’aplomb de cette arête, cela s’entend d'un arc d’un seul morcesu, ou de voussoirs dont les mortiers ont acquis un peu de consistance; car s’il s'agissait de voussoirs posés sans mortier les uns sur les autres, avant d’être parvenus £1 l’arc de 28° 1// 24", les voussoirs supérieurs tourneraient sur l'arête d'un des voussoirs inférieurs, parce que le centre de gravité du système de ceux-ci répondrait au-delà du ou de cette arcte.

mnni d une charge sur les reins. Ici le cintre porte 14 voussoirs supé-' rieurs qu on doit considérer comme servant de butées aux parties inférieures , dont chacune représente une voûte rampante, et cependant celles-ci se fendent aux points J et B ; les points D à l’extrados, A à l'intrados et b à l’extrados servent d’appui aux parties qui se divisent , qu on doit considérer comme des leviers qui tournent autour des memes appuis. Lare AD est de aG° 1 5 \ Il "contre-balance par son poids l’arc supérieur A b , qui tend à le renverser en le faisant tourner autour du point D , ce qui est indiqué par l’ouverture du joint en D, qui a deux à trois lignes de largeur.

11 e EXPÉRIENCE.

(Fig- a '0

La première expérience ayant fait reconnaître que la partie inférieure de la voûte est trop faible pour soutenir le poids de la partie supérieure , on a embrassé de chaque côté à-peu-près la moitié de la demi-voûte par une corde tangente au milieu du treizième voussoir, et tendue par un poids de cent livres. Dans cet état, il a été possible de décintrcr la voûte en totalité : elle s’est soutenue après avoir baissé de 8 lignes à la clef , et 011 a remarqué les effets représentés dans la deuxième figure.

La voûte paraissait vouloir se fendre en quatre parties, à l’intrados vers la clef, et aux naissances; à l’extrados, entre les sixième et onzième voussoirs. 11 reste une incertitude sur le point précis de la rupture entre les -sixième el onzième voussoirs : les différences entre les ouvertures des joints n'étant pas assez considérables pour le faire connaître exactement, on s’est assuré cependant que la rupture se ferait entre les neuvième el dixième voussoirs , parce qu’en chargeant le sommet de la voûte pour faire écarter les reins, les joints s’ouvraient davantage dans celte partie. Quant à la partie supérieure , la rupture se fait évidemment à l’intrados du joint vertical , et dans la partie inférieure , elle se fait à l’intrados des naissances. La voûte prête à se briser est portée sur les cinq points D ,a, b , a , D, el dans cet état elle doit être considérée comme l'assemblage mobile de quatre leviers dont les longueurs et les appuis sont donnés ainsi que les poids, et dont il est par consé-

quent facile de déterminer les conditions d’équilibre. De part et d'autre du joint vertical , les deux joints s’ouvrent de moins en moins en descendant aux naissances ; les ouvertures des deuxième et troisième joints sont à peine sensibles , tandis que le premier est assez ouvert à l'intrados, ce qui indique évidemment que la partie inférieure tourne autour du point D : les effets qu’on vient de décrire se manifestent dès le premier instant du décintrement.

On a aussi embrassé de chaque côté un arc de six voussoirs , ou le quart de la demi-voûte , par une corde tendue avec un poids de cent cinquante livres. On a observé les memes effets d’une manière beaucoup plus sensihle. Le cintre, après avoir été baissé de 18 lignes, supportait encore les trois voussoirs des clefs ; la voûte aurait écroulé si l'on eût baissé davantage le cintre.

tll' EXPÉillENCE.

On a embrassé de chaque côté un arc de quinze voussoirs , ou les cinq seizièmes de la ^>ùte, avec une corde dont on augmentait la tension à volonté, en attachant des poids à une de ses extrémités. Sous une tension de trois cents livres on a vérifié que la voûte restait parfaitement circulaire, cl que les joints ne s’ouvraient ni à l'intrados ni à l'extrados ; sous une moindre tension , on voyait se manifester les effets déjà décrits; sous une tension supérieure à trois cents livres , la voûte se relevait à la, clef avec une ouverture de joint à l'extrados ; elle descendait vers le» reins en ouvrant les joints vers les six, sept, huit, neuf et dixième voussoirs; aux naissances, elle portait sur son arête intérieure, et les joints s’ouvraient à l’extrados; sous une charge de quatre cent cinquante livres pour chaque côté, ces effets devenaient beaucoup plus sensibles , et tels qu’ils sont représentés par la figure 3 ; la voûte se relève de huit lignes , elle rentre à-peu-près de 6 lignes vers les reins ; la plus grande ouverture de joint à l’extrados de la clef est d’une ligne; de chaque côté delà clef elle est beaucoup moindre. Le plus grand joint est d’une demi-ligne entre les huitième et neuvième voussoirs; ils sont un peu

moindres sur les voussoirs voisins ; le premier toussoir se relève à l’extrados d’une ligne et dcmiejl 'ouverture dudeuxième joint est beaucoup moins grande.

Dans cette expéricnco, comme dans toutes les autres, la rupture se fait évidemment sur le joint vertical de la clef et sur le joint horizontal des naissances. Elle paraît se faire entre les huitième et neuvième voussoirs dans les reins; mais ici les joints s’ouvrent en sens contraire des expériences précédentes, parce que la partie inférieure de la voûte, supportant une tension de quatre cent cinquante livres , repousse la pal lie supérieure.

Ces résultats contraires qui dépendent de la même cause , la différence entre le moment de la partie inférieure et celui de la partie supérieure, prouvent évidemment que la voûte se brise ou tend toujours à se briser en quatre parties, et que chacune peut être considérée comme tin levier qui s’appuie sur les parties adjacentes. Lorsque la partie supérieure de la voûte l’emporte , les points d'appui do* leviers se trouvent à l’extrados du joint de la clef et de celui des naissances, et à l'intrados vers les reins ; au contraire , lorsque la partie inférieure l’emporte, c’est à l’intrados du joint vertical et du joint horizontal que se trouvent les appuis , et à l’extrados sur les reins} ces points d’appuis se trouvent donc toujours sur les mêmes joints , tantôt à une de leurs extrémités, tantôt à l’autre, d’où l’on doit conclure que les parties principales d’une voûte, soit qu’elles se fassent équilibre ou non, ne glissent jamais sur les plans des joints , mais s’appuient toujours sur leurs arêtes d’extrados ou d’intrados , ainsi qu'on s'en convaincra par la suite de ces expériences.