XJ XI

égale à ig = ig , —j,- Une semblable décomposition ayant lieu pour

la partie ED' k on aura au pointé une autre force verticale égale à JE ,

qui, étant ajoutée à la précédente, donnera Ec—2Ed~2 ig-p-. Je

décompose la force te en deux autres Ea,Eb, dirigées suivant les lignes ED, ED' ; et , à cause des triangles semblables Ead,EDq, on aura

. La force Ea étant appliqué'

Eq Eq

u point D de la direction, je la décompose encore en deux autres, Dr cl Ds , l’une horizontale et l'autre verticale. La première , Dr=igp-x.- la deuxième,

Ds^eùg—- Ajoutant les deux forces verticales qui passent sur le point D,

on aura Ds -x Df= ig—-'Xig-Tr=ig, ou le poids de la partie su- • Lq r*q

prieure, comme cela est évident ; sans aucun calcul.

C ia » )

Si l’on élève la perpendiculaire KU sur KR , et qu’elle soit le point où la verticale , abaissée du centre de gravité de la partie inférieure , rencontre la ligne DK , on aura, pour les conditions de l’équilibre autour du point K , en nommant p ou ig le poids de la partie supérieure, et Q celui de la partie inférieure, l’équation

(A) KU=p. KR+ QKS.

bq Lq

Si l'on veut qu’il y ait stabilité sans équilibre, on aura

Tirons quelques conséquences de celle formule.

On voit, par l’expression de la poussée horizontale p — c l ue

plus la ligne hq augmente ,' plus aussi la poussée est considérable , toutes choses égales d’ailleurs , et cela a lieu à mesure que le centre de gravité de la partie supérieure se rapproche de la clef, ou qu’on charge davantage le sommet de la voûte , ce qui est confirmé par l’expérience. Au contraire, la poussée horizontale diminue à mesure que bq devient plus petite; elle devient nulle lorsque kq est nulle ; ce qui arrive lorsque le eentre de gravité de la partie supérieure répond au-dessus du point D -, car alors cette partie est en équilibre autourdc ce point.

Il résulte donc de ce corollaire la possibilité de construire une voûte qui n’oit aucune poussée. Ce problème nouveau et curieux n’a rien de difficile. Il consiste, étant donné l’intrados, à trouver pour l’extrados une courbe telle que , menant une normale MIT à l’intrados , fig. b , le centre de gravité de l’espace AMNB se trouve éloigné de la ligne des abscisses de la quantité de l’espace MP. La solution conduit à une équation différentielle dont les constantes se déterminent par l’épaisseur qu’on veut donner à la clef et aux naissances de la voûte.

Lorsque le centre de gravité de la partie supérieure tombe dans son milieu , comme cela arrive sensiblement dans les voûtes très-surbaissées

*t uniformément épaisses, alors lq = — - , et la formule devient

P ^-.KU — pKR + QKS.

a tq r v •

Sî fa voûte est une plate-bande , Eq sera égale h son épaisseur ; erS nommant donc e cette épaisseur et a / la longueur de la plate-bande,

l'expression ci-dessus deviendra KU=j>KR-\- QKS. D’où il résolu»

(jue la poussée horizontale d'une plate-bande est égale à un quart de son poids multiplié par le rapport de la longueur à l'épaisseur.

La formule ( A) fait voir que la poussée d’une voûte est d’autan» moindre que le centre de gravité de la partie supérieure se rapproche davantage du point D; alors aussi la pression de la clef est d’autant moindre ; car en nommant X une force horizontale appliquée en E ,

on aura, pour la pression de la clef au point E,p qui diminue

en même temps que Dh. Dans les voûtes irès-surbaissccs, d’une épaisseur uniforme, celte pression est égale au buiticmedu poids delà voûte entière, multiplié parle rapport de l’ouverture à la flèche augmenté de l’épaisseur de la voûte. Dans les plates-bandes, la pression à la clef est égale au huitième du poids entier multiplié parle rapport de l’ouverture. à l'épaisseur , ce qui est la moitié de la poussée horizontale trouvée ci-dessus.

On voit donc qu’il est avantageux de donner une petite longueur de coupe à la clef, puisque le centre de gravité de la partie supérieure descend d’autant, et que par conséquent la pression à la clef et la poussée sont d’autant moindres. 11 suffit de donner à la clef une hauteur suffisante pour qu’elle ne s'écrase pas sous la pression, ce qui peut être utile dans un grand nombre de cas , surtout lorsqu'on est obligé de faire une arche très-grande sans pouvoir l’exhausser à volonté , parce qu'alor» la moindre longueur de coupe est un moyeu de diminuer la rampe du pont. On ne doit pas craindre que par cette diminution de coupe la eolidiié de la voûte soit diminuée , car elle est proportionnelle,, toutes choses égales d’ailleurs, au rapport de l'ouverture à la flèche augmentée de la hauteur de la clef; et lorsque la somme do la flèche et de la hauteur de coupe reste la même , la voûte est d’autant plus solide , que la longueur de eoupe de la clef est plus petite. On voit aussi que , pour comparer entre elles la hardiesse do plusieurs voûtes,, quelle que soit leur ligure , il faut comparer ensemble les expression»

u. On doit encore conclure de ce qui précède , que la solir-

' Eq Eq •

dite de la voûte ne dépend pas seulement du pins ou moins de différence entre la cordent le développement de l’intrados, mais de la hauteur totale prise depuis la corde jusqu’au-dessus de la clef, ou bien en faisant passer une courbe DED' par les points qui servent d’appui aux parties principales de la voûte ( fig. c). C’est le développement de celte courbe , par rapport à la corde DD', qui constitue la solidité ; tant que le mortier des joints ne la comprimera pas assez pour rendre la courbe DED' égale à la lignedroite DD', la voûtese soutiendra ; c’est ce que nous avons vu dans l'expérience xxr. Si l’on connaissait la compression du mortier sous une charge donnée et après un temps déterminé , il serait possible de calculer le tassement de la voûte , en cherchant la plus grande ordonnée de la courbe DED', dont le développement aérait connu, et en retranchant cette ordonnée GE' de GE. Mais cette recherche exige qu’on connaisse la courbe DED', qu’on peut supposer de même espèce sensiblement que celle de l'intrados , mais dont la nature ne peut se définir rigoureusement.

Au reste, on voit dans quelle erreur on est tombé jusqu’à présent en voulant connaître le tassement d’une voûte par la diminution du développement de l'intrados résultant du resserrement des joints. C'est la diminution du développement de la courbe DED' , et non de l’inl ratios DGD’, qui pourrait servir à le faire connaître.

(Pig.rf.)

Nous expliquerons ici pourquoi la pose des voussoirs supérieurs fait détacher du cintre les voussoirs inférieurs , ainsi qu’on l'a observé dans la première expérience. Soit U le voussoir dont le centre de gravité répond au-dessus du point I. C'est à partir de ce point jusqu'à la clef que tout le poids est porté par le cintre, et nullement par los voussoirs inférieurs; ce sont donc les voussoirs I1,K,L,M, etc., qui repoussent ceux qui sont au-dessous et qui les éloignent du cintre : dans les voussoirs L,M,Pï,0,P,Q, qui ne chargent nullement le cintre, et au nombre desquels sont compris nécessairement l’assemblage de ceux dont le centre de gravité répond au-dessus du point R , les voussoirs «ri , etc, , tournant autour de leur arête inférieure, J, B , etc. , et s’ap-

puyant sur ceux au-dessus, il faut que le moment de ceux-ci, par rapport au point R , soit égal nu moment des voussoTrs M,N,O t P,Q , par rapport au même point ; c’est sur cette condition qu’est fondée la détermination de l’arc DR, que nous avons vu, dans la première expérience, être de 5y" 5o'.

La premièrochosc à déterminer pour la résolution des questions proposées sur l’équilibre des voûtes est le lieu précis des joints de rupture. Lorsque la figure de la voûte est donnée, celte détermination n’a rien de difficile : voici sur quoi elle est fondée. Une voûte se brise nécessairement dans le point le plus faible, c’est dans celui où la partie résistante et la plus faible , par rapport à la partie agissante. Il faut donc prendre Je moment de la partie DE ( fig. a ) et celui de la partie DR, par rapport au point K , diviser l’un par l’autre , et égaler à zéro la différentielle du quotient , ce qui fera connaître le point D. Le calcul sera souvent fort long, à cause des quantités transcendantes qui naissent du cercle. Il sera plus expéditif d’employer une méthode d’induction, au moyen de laquelle on pourra déterminer les arcs de rupture dans tous les cas. On pourra aussi , par le meme moyen , déterminer la plus petite épaisseur d’une voûte uniforme , et dans quel cas une voûte en arc de cercle a des points de rupture ailleurs qu’à la clef et aux naissances. Nos occupations ne nous ont pas permis de nous livrera ces recherches, dont plusieurs sont plus curieuses qu’utiles..

Lorsque l’intrados de la voûte seulement est connu et qu’il s’agit de déterminer son extrados , afin qu’il y ait équilibre , la question est plus compliquée et ne peut se résoudre que par le calcul intégral. La résolution est toujours fondée sur le même principe, et le moment de la partie DE , par rapport au point K , doit être égal au moment de ht partie DK.

Dans tout ce qui précède on n’a point en égard à l’adhérence des mortiers, parce qu’une voûte doit se soutenir par elle-même , et que dans les premiers instans du décintrement les mortiers ne sont pas assez durs, pour s'opposer à la rupture des voûtes.

Dans les voûtes en arc de cercle , telles qu’on en fait beaucoup aujourd'hui , la poussée n’agissant souvent que sur les assises supérieures, des culées , ne serait pas contre-butée suffisamment , quelle que fût la

Diqiti;

masse de ces culées , si les assises opposées à la poussée n'avaient pas une très-grande adhérence avec les assises inférieures. Ce cas , qui est celui des arches du pont de Nemours , m’a engagé à faire aussi des expériences sur la force d’adhérence des mortiers , afin qu’il n’y eut rien d’hypothétique dans l'application que nous nous sommes proposé de faire des principes établis dans le présent Mémoire. Ces expériences so trouvant ljées avec les précédentes , et ne pouvant “Être qu’utiles , nous allons les rapporter.

sua i.’a duf. b tant des mortieks de sable et de ciment.

Pour connaître l’adhérence d’une pierre posée sur mortier de chaux rt de sable , on a employé quatre prismes de pierres de 5 pouces de haut et à bases carrées , dont les surfaces sont enlfe elles comme les nombres i , a , 5 ,/ t ; le plus grand de ces prismes a 64 pouces carrés de base , et le plus petit 16 pouces.

On a employé aussi quatre autres prismes de 5 pouces de baotciir et à bases rectangulaires de même surface que celles des bases des prismes précédons, mais dont une des dimensions de la base est double de l’autre. Huit prismes pareils aux huit premiers ont été fichés sur un lit de mortier de chaux et de ciment. t

Le t 5 mars 1800, à 5 heures du soir, les huit premiers prismes bouchardés sur leur base, sâns ciselure au pourtour , ont été fichés sur une dalle de lamente pierre aussi bouchardéc avec du mortier composé d’un tiers de chaux éteinte depuis dix-huit mois , et de deux tiers de sable de carrière passé au crible et assez scc, quoique exposé à l’air depuis long-temps.

Les huit autres prismes pareils ont été posés sur la même dalle avec du mortier composé d’un tiers de la meme chaux et do deux tiers de ciment passé au tamis.

Cet appareil, monté sur déni tréteaux, était dans une chambre dont l'air , sans cesse renouvelé , devait produire la même dessiccation dans le mortier que s’il eût été en plein air. Après seize jours d’un temps très-beau, les deux derniers seulement étant d’un temps pluvieux , on a commencé à détacher les prismes en les tirant horizon ta—

îcinent par des poids placés dans un plateau de balance , au moyen d'une corde et d'une poulie de renvoi. Les mortiers étaient secs sans avoir acquis néanmoins la dureté et la consistance que donne une dessiccation lente.

Le premier tableau contient le résultat de chaque eipérience. Prismas fichés avec mortier de chaux et sable.

NUMÉROS

tics

EXPÉRIRKCES.