SECOND MÉMOIRE
Sur la Détermination de la formule qui représenté
faction mutuelle dé deux porticfhs irffinimeni • ^ petites de conducteurs vottaïques.
'( La à rAcadémie royale àe% Sciences, le ro jurn 1822.)
JLjoksqu*on vient à découvrrr Un nouveau genre d^ac-' tion jusqu'alors inconnu, le premier oB jet du pbysicieh doit être de déterminer les principaux phénomènes qui en résultent, et les circonstances où ils se produisent; îï reste ensuite à trouver le moyen d'y appfiquer le calcul en représentant par des formules la valeur des forcés^ qu^exercent les unes sur les autres les particules des corps où ce genre d'action se manifeste. Dès que j'en» reconnu que deux conducteurs voltaïques agissaient YuA sur l'autre, tantôt en s attirant ^ tantôt en se repoussant ^ et que j'eus distingué et décrit les actions qu'ils exercent dans les dilîérentes situations où ils peuvent se trouver Fun à l'égard de Tautre , je' cherchai à exprimer de cett^ manière la valeur de la force attractive ou répulsive dd deux de leurs élémens ou parties infiniment petites , afin de pouvoir en déduire, par les méthodes conniies dfintégration, Faction qui a lieu entre deux portions de conducteurs données de forme et de situation.
L'impossibilité de soumettre directement à l'expërieno* . (j. ^- f des portions infiniment petites du circuit voltaïqûe ofiKge
Biécessaîrement à partir d'observations faites sar des fils conducteurs de granaeur &nie , et il faut satisfaire & ces deux cohditions que les observation^ soient susceptibles d'une grande précision , et qu'elles soient propres i dé-^ terminer la valeur de Faction mutuelle de deux portions infiniment petites. C'est ce qu'on peut obtenir de deux manières : l'uae consiste à mesurer avec la plus grande exactitude des valeurs de Taciion mutuelle de deux portions d'une grandeur finie, en les plaçant successivement, l'une par rapport à l'autre, à différentes distances et dans différentes positions ; car il est évident qu'ici l'action ne dépend pas seulement de la ^distance ; il faut ensuite faire une hypothèse sur la valeur de l'action mutuelle de deux portions infiniment petites , en conclure celle de l'action qui doit en résulter pour les conducteurs de grandeur £nie sur lesquels on à opéré , et modifier l'hypothèse jusqu'à ce que les résultats du calcul s'accordent avec ceux de l'observation. C'est ce procédé que }e m'étais d'abord proposé de suivre, comme je l'ai expliqué en détail dans un Mémoire lu à l'Académie des Sciences le 9 octobre 1820 '(i); et quoiqu'il ne nous conduise à la T.érité que par la voie indirecte des hypothèses, il n'en est pas moins précieux , puisqu'il est souvent le seul qui puisse être employa dans les recherches de ce genre. Un âes nriembres de cette Académie, dont les travaux ont embrassé toutes les parties de la physique, l'a pariai* tement décrit dans la Notice sur V aimantation imprimée
(i) Ce Mémoire n'a pas été publié à part, màs les principaux résulUls en ont été insérés dans celui que f'ai publié, en 1820, dans le tome xv des Annales de Chimie ei de >V Phjrsiquo*
aax métaux par T électricité en mouvement, qu'il nous h lue le 2 avril i8ai, en Tappelant a un travail en quel- » que sorte de divination qui est la fin de presque toutes » les recherches physiques (i)« »
Mais il existe une autre manière d^atteindre plus direcleiaejit le même but , c'est celle que j'ai suivie depuis , et qui m'a conduit au résultat que je désirais ; elle consiste à constater par l'expérience que les parties mobiles des conducteurs sont, en certains cas, exactement en équilibre entre des forces égalés ou des momcns de rotation { égaux, quelle que soit d'ailleurs la forme^e la partie mobile, et de chercher directement, à l'aide du calcul , quelle doit être la valeur de l'action mutuelle de deux portions infiniment petites , pour que 1 équilibre soit en elTet indépendant de la forine de la partie mobile*
C'est ainsi que j'ai déterminé cette valeur en combi* nant deux expériences de ce genre \ l'une que j'ai décrite dans un Mémoire lu a l'Académie le 26 décembre 1820, «t dans ce recueil , pag« 216 et suiv.^ l'autre dont je viens de constater le résultat avec toute l'exactitude possible.
Ce dernier procédé ne peut être employé que quand t la nature de l'action qu'on étudie donne lieu i des cas d'équilibre indépendans de la forme des corps; i) ecl par conséquent beaucoup plus restreint dans ses applications que celui dont j'ai parlé tout-à-l'heure ; mais puis(|pe les conducteurs voltaïques présentent des circonstances où cette sorte d'équilibre a lieu , il est naturel de le préférer â tout autre comme plus direct et plus simple. Il y a d'ailleurs, à l'égard de l'action exercée par ces
(i) Voyez le Journal de^ Savons^ avril 1821 , page 235«
iftorps ) un motif In'en plus déc!«if en4H)re ée le suivre datif les recherches relatives à la détermiik'ition des forces qui la produisent, c'est rextréme diAoulté des expériences .où Ton se proposerait, par exemple, de mesurer ces forces par Je nombre des oscillations d'un corps fournis à leur action; cette di(ficulté vient de ce que qiian4i 6n fait agir un conducteur fixe sur une portion itio« bile 'du circuiivolt^ïque, ies parties 4le rappareil n^ocs« saire pour établir les (K>miiiunicaiions de celte portion mobile agisst^nt sur elle en même temps que Je oonducteurfixe, et altèrent ainsi 'tes résultats des expériences s )e crois cependant «dtre parvenu a ja surmont£!r dans un appan^il propre i mesurer Paction- mutwHe de éeux conducteurs circulaires concentriques , Tuti fixo et l'autre mobile, par le nombre de9 oscitliitions dé ice dernier, et en faisant varier la dislti^nee par T-emp}oi de dîfférens conduôfwt^ â^es , dans tesn[uels on ferait passer silcœssiver#ent 4e coui*sm électrique, fe Récrirai ailleurs cet appareil, que^ fq n^ai poiiH' eiieore fait exécuter.
il est vrai qu'on ne renooi:itre pas les n^êmeè obstacles ipajid on mesure de la même m^ni<ère 1 aJbflon 4^tin fil Ixmêucteur sur un aimant ; mais ce moi^n ne peut .être tsmployé quand il s'agit de Taotion que deux oôndncr leurs voltaïques exercont d'un sur rautref^et. qfii doit èire le premier objet de nos recherches dans rétti<|é ^él )Piouveanx phénomènes. En effet, les «xpérîencea qne j*ai communiquées â rAcadémte ati molis de décembre dernier ont prouvé que î 'hypothèse pfer kqtieiïe 4eér phy^- ^icLens de la Suède «t de TAllemagne av aie n t xam pouyiHr 4sx|]tliqu0r TacUon que j'ai découverte entre ileiu;
ils €onduotenn5, en les considérant comme des assem»-' blages de petits aimans situés dans des directions perpen- •diculaires a leur longueur, est en opposition avec les faits, puisque deux assemblages d'inmans ainsi disposés , quelque forme qa*<m Jeur donne , «e peuvent , ni d'apràs la théorie ordinaire des phénomènes magnétiques, ni d'après celle cpe j*ai cru devoir lui substituer, tii d'après des eypériences variées qw )'4ii faites à ce sujet il y a quelque^ mois , produire le mou.vement coniinu toujours dans le même sens , et la production de force vive qui ae manifeste alors , d'où il suit nécessairement qu'il faut ou regarder Taction découverte par M. OErsted entre un conducteur voltaïque et un aimant comme tout-à-fait indépendante de celle que j'ai reconnue ejatre deux fils conducteurs, ou l'y ramener en considérant, ainsi que . îe Tai fait, non pas les conducteurs comme des assem- Uages d'aimans transversaux, mais au contraire les aimans comme devant leurs propriétés à une disposition de rélectricité autour de chacune de leurs particules , iden* tique à celle de l'électricité dans les fils conducteurs (i) ,
(i) Il semble d'abord singulier que les mêmes faits qui s'opposeot absolument à ce qu'on attribue à ^aimantation transversale toutes les propriétés des conducteurs voUaïques ne s'opposent pas à ce qu'on explique toutes celles des aimans en les considéraiit comme des assemblages de courans électriques ; j'ai expliqué la cause de celte différence dans un exposé sommaire des progrès de .cette branche de la physique pendant l'année 1821 ^ que j'ai lu k la séance publique de l'Académie du 8 avril 1822, et qui a été inséré dans le 'Cahier de février 1822 du Journal de Phf s iifue^ p. igg et auiv« de ce recueil ; elle vient de ce que , dans la première hypo«
( ap» ) •di^poshîon que j^ai désignée sous lé nom de courant élec^' trique, comme Tont fait la plupart des physiciens qui ODt écrit sur ce sujet : or, il est clair que si Faction d*un fil conducteur sur un aimant était due k une autre cause que celle qui a lieu entre deux conducteurs, les expériences faites sur la première ne pourraient rien apprendre relativement à la seconde , et que si les aimans ne doivent leurs propriétés qu'à des courans électriques
thèse, on devrait nëcesaireinent pouvoir imiter, en employant ' seulement des airnans disposés convenablement , tous les phénomènes produits par.raction mutuelle de deux conducteurs, ce qui n^a pas lieu à Tégard du mouv'ement continu toujours dans le même sens , qu'on ne peut obtenir qu'avec deux conducteurs on avec un conducteur et un aimant ; tandis que , dans ma ma- ' nière de concevoir l'aclion magnétique, les courans électriques qui entourent chaque particule d'un- ainianX formant des circuitii feimés, on ne doit pouvoir remplacer un conducteur vollaifque par un ou plusieurs aiuransqu'à Tégard des phénomènes que le conducteur produit également , soit qu'il forme ou non un circuit fermé : or, dans l'expérience oii j'ai obtenu le mouvement toujours dans le même sens par l'action mutuelle de jdeux fils conducteurs , il faut nécessairement , comme je l'expliquerai ailleurs plus en détail ^ que l'un d'eux ne forme pas un circuit com-^ ploiement fermé; d'oij il suit qu'on peut encore obtenir, comme M. Faraday l'a fait le premier, ce singulier mouvement, en employant un aimant à la place <le l'autre conducteur^ mais jamais en remplaçant les deux conducteurs par des aimans ; ce qui s'observe en eflFet dans les expériences que j'ai faites à ce sujet, et que chacun peut aisément répéter.
entourant chacune de leurs particules , il faudrait , pour pouvoir calculer les effets qu'ils doivent produire, que Ton sût s'ils ont ta même intensité près de la surface de l'aimant et dans son intérieur, ou suivant quelle loi varie cette intensité; si les plans de ces courans sont par-tout perpendiculaires à Taxe du barreau aimanté , comme je 1 avais d'abord supposé, ou si l'action mutuelle des courans d'un même aimant leur, donne une situation d'autant plus inclinée à cet axe qu'ils en sont & une plus grande distance, et qu'ils s'écartent davantage de son milieu , comme le prouve la différence qu'on remarque entre la situation des pôles d'un aimant et celles des points qui jouissent des mêmes propriétés dans un fil conducteur roulé en hélice (i).
(i) Je croîs devoir insérer ici la note suivante, qui est extraite de V Analyse des travaux de V Académie pendant Tannée 1821, publiée le 8 avril 1822. {Voyez la partie mathématique de cette Analyse ^ pages 22 et 25. )
La principale différence entre la manière d'agir d'un ai* mant et d'un conducteur voltaïque , dont une partie est ron-« lée en hélice autour de l'autre , consiste en ce que les pôles du premier sont situés plus près du milieu de l'aimant que ses extrémités , tandis que les points qui présentent les mêmes propriétés dans l'hélice sont exactement placés à ses extré- .mités : c'est ce qui doit arriver quand l'intensité des courans de l'aimant va en diminuant de son milieu vers ses extrémités. Mais M. Ampère a reconnu depuis une autre cause qui peut aussi déterminer cet effet. Après avoir conclu de ^% nouvelles expériences que les courans électriques d'un aimant existent autour de chacune de ses particules ^ il lui «
( îoo )
Ce6t iioac par TolMervatiiaii Àè& «at d'ëqfQÎlibre Mépendans de la forme des condHcteurs qo'tt oonviem et déterminer la foroe dont bobs cb^xlioiis 'la Talear. ïea «i reconnu irois : le prenuer conmte dans J^'égalitë dei ^eurs absolues de ratttaciion et de la ifépiilaiôa qû*otk produit «n faisant passer akematiTemem, «n deux jSeni ^^pposës, le même courant dans un conducteur fixe dont on ne diange ni la sftnation iri la distance au corps sur
ëtë aisé de voir qu'il n'est pas nécessaire df supposer^ comme 11 Savait FaU d^aocrd ^ que lès plans de ces coarans sont partout perpèncTicnlafrc^ à Taxe de l'aimant; leur action matocfTIe doit tendre adonner à ces* plans une situation inclina k Taxe, surtout vers ses extrëmil^s, en sorte que les pôles , jm Jieu Â'j^ àLr£ Piartement situés , .comiiic ils deFraieat s'y trouver, d'après les calculs déJuiti» des formules données par M.. Ampère, lorsqu'on suppose tous les .coi^rans de même intensité et daos des plans perpendiculaires à l'axe, doivent se rapprocher du milieu de i*aitnanl d'une partie. <.^e sa. longueur d'autant plus grande , que les plans d'an plus grand nombre de courans sont ainsi inclinés et qu'ils le sont davantage, c'est-à-dire, d'autant plus que l'aimant est plus épais relativement à sa longueur, ce qni est conforme i Texpérience. Dans les fils conducteurs plies en hélice, eldont une partie revint par l'axe pour détruire l'effet de )a partie êes courans de chaque spire, qui agit comme s*ils étaient parallèles à Taxe , les deux circonstances qui , d'après ce qné nous venons de dire , n'ont pas nécessairement lieu dans les aîmans, existent au aontraire nécessairement dans ces fils} aussi observe-t-on que les hélices ont des pôles semblables à ceux des aimans^ mais placés exactement à leurs extrémitéif «ômme le donne (e calcul.
( 3oi )
U<pe\ il agit« Cette ^alité résulte de la sim^ observa* jtipn que deux portions égales d*uii même fil conducteur recouvertes de soie pour en euipécher la conunuuication , jU>rdues ensemble de manière A former Tune autour de Vautre deux hélices dont toutes les parties sont égales , 4SI parcourues par "Ofa même icovraut électrique Tune dans un sens et l'autre en sens contraire , n'exercent aucune ^ctâon , soit ^ur un conducteur mobile, soit sur jin aimait; on peut aussi la constater à l'aide du conduc-* teur mobile qu'on voit dans la figure 9 -de la planche junemièce du tome kyui des j/nnales de Giimie et de Physique i relative à la description d'un ''de mes appafeilsélectro^dynamîques, et qui est représenté ici (pi. 10, fig. a ). On place pour cela un peu au-dessous de la parue inférieure de e'd' de ce conducteur, et dans une .direction quelconque, un conduaenr rectilignè boriasQUtai plusieurs fois redoublé AB,^^ manière que le milieu de sa longueur et de sou é{>aisseur «oit dans la verticale qui passe par la pointe x et autour de laquelle laurne librement le conducteur mobile.- On voit alors 4j[ue,ce conducteur reSile 4ans la siiuajtion où on le 'place ; ce qui prouve qu'il j a équilibre entre les jetions axer* cées pftr le conducteur ù^%.^ aur les deux portions égales et oppo^sées de circuit voltaïque bcde^ b'c' d'e\ qui ne diffèrent qne parce que;, dams Tune , le courant éleotrique va en ^ approchant du conducteur fixe AB, et dans l'autre, en s'en éloignant, quoi que soit d'ailleurs l'an* jgle formé par la direction de ce dernier conducteur avec le plan da conducteur mobile : or, ^i Ton considère d'abord Jes deux aciiansexecoées entre chacune de cas l|>ortion3 de eifcuit volt^que et la moitié <lu «ondncteur
( Soa )
AB dont elle est la plus voisine, et ensuite les ietxi ac* lions entre tbacune d^elles et la moitié du même condttc« leur dont elle est la plus éloignée , on verra aisément , x^. que I équilibre dont nous venons de parler ne peut 4ivoir lieu pour toutes les' valeurs de cet angle , qu'autant qu'il y a séparément équilibre entre les deux premières actions et lés deux dernières ; 2^. que si Tune des deux preniièrts est attractive parce que les côtés de TangTe aigu formé p.ir les portions de conducteur entre les* quelles elle a lieu sont parcourus dans le mènie sens par le courant électrique, Tautre sera répulsive parce qu'elle aura Ifeu entre les deux côtés de Tangle égal op« .posé au sommet, qui sont parcourus en sens contraires par le même courant, en sorte qu'il faudra d'abord , pour qu'il y art équilibre entre elles , que cette attraction et cette répulsion qui tendent à faire tourner le conducteur mobile, l'une dans, un êens et l'autre dans le sens opposé, ' soient égales entre elles .; et ensuite que les deux der« nières actions , l'une attractive et l'autre répulsive, qui -s'exercent entre les côtés des deux angles obtus opposés au sommet qui sont les supplémens des premiers , soieiii aussi égales- entre elles. Il est inutile de remarquer que ces actions sont réellement les sommes des produits des forces qui agissent sur chaque portion infiniment petites du conducteur mobile, mukipliées par leur distance à la verticale autour de laquelle il peut librement tourner; mais comme les distances a cette verticale des portions infiniment petites correspondantes des deux branches icde, b' c d' e' y sont toujours égales entre elles , Fégalité des momens rend nécessaire celle des forces. Le second des trois cas généraux d'équilibre est celu
fpie fai remarqué à la fin de Tannée i8âo; il consiste ^ dans iVgalité d'action , sur un conducteur rectiligne mobile , de deux conducteurs fixes , située à égales dis- ^ tances du conducteur mobile , Tun rectiligne et l'autre , plié et contourné d'une manière quelconque , quelles^ que soient d'ailleurs les sinuosités formées par ce der-^ nier. On peut voir^ dans les Mates sur Texposé sommaire des expériences électro-dynamiques (i), faites par diffélens physiciens en 1821 (pag. 216 et suiv. de ce re-^ cueil), la description de Tappareil avec lequel }'ai vérifié cette égalité d'action par des expériences susceptible» d'une grande précision.* J'ai démontré, dans un Mémoire ] f- Ivty le 4 décembre 1820, à TÂcadémie des Sciences, ea partant de ce fait. ainsi constaté^ que si Ton nomme p une fonction des trois angles qui déterminent la situai^oa respective de deux portions infiniment petites de rou- , rans . électriques , proportionnelle à la force qu'elles exercent Tune sur l'autre à une distance déterminée ^ lorsqu'on fait varier cette situation et qu'on désigne ces trois angles par a , ^97; a et ^ étant ceux que les directions dos deux petites portions forment avec la ligne qui en joint les milieux, et 7 l'inclinaison mutuelle des. plans de ces deux angles ; la fonction p sera nécessairement de la forme
sin. a sin. p cos. y + k cos. a cos* p ,
(i) Voyez ce que j*ai dit sur la préférence que j'ai donnée à cette dénomination : expériences èlectro~dynami^ue.S\f dans les notes qui sont au bas des pages 200 et 287 de ce^ recueil.
k étant ua coefficient constam (i). H me reétait h diétèrminer la valeur de ce coefficient ; je n'y réussis pas dans le temps , je vis seulement , d'après des expériences que j-^ai communiquées à TAcadémie le ii décembre i8ao, que cette valeur paraissait être d aotstnt plus petite que les expériences que je faisais pour la- déterminer étaient plus exactes. Comme je ne soupçonnais pas alors que cette valeur fut négative , j'en conclus seulement qw^elle pouvait être regardée comme nulle, f ai trouvé depuis un troisième cas d'équilibre indépendant de la forme du fil conducteur, d'où résulte une relation entre k et Pcxpoaant de la puissance de la distance de deux portioas^ in-* animent petites de courans électriques , à laquelle leur action mutuelle est réciproquement proportionnelle qu^nd cette distance varie, La description de Tappareif avec lequel j'ai constaté ce nouveau cas d'équilibre, et le calcul par lequel j'en ai conclu la relation dont je vren^ de parler, sont le principal objet du Méxamte que f*aî l'honneur de présenter i l'Académie. Mais comme ee calcul ne peut se faire qu'à l'aide d'une transformratTen par laquelle j'ai exprimé la fonction des trois angle» », p, y, que je viens de nommer p, en différefitielles' partielles de la distance des deux portions infinimenr petiteâ de couraos électriques que l'on considère , je crois devoir d'abord expliquer cette transformation.
(i) La quantité que je représente ici par k est désignée
par ~ dans le Cahier de 'septembre du Jéumal de Phy^
4Uiue ^ année 1820, oii j'ai inséré la démonstration dont il est ici question , et qu'on trouve avec plus de détail dans ce recueil, page 225.
Soit BM et. B'M (pi. 8, fig, i4), daux fignct représeotanl des fils conducteurs, et qui seront en général deux courbes à double courbure '^ supposons que i et 5' représentent les arcs B M ei B M',^ comptées depuis les points fixes B et B\ Mm^=ds, M^m' :=zds\ seront deux portions infiniment petites de ces conduc* leurs , et leurs directions seront déterminées par les deux tangentes M T et M T^ : en nomnrant r là distance MM\ r sera évidemment une fonction des deux variables indépendantes 5 et 5' ; si Ton abaisse des points m, m\ les perpendiculaires me, m!e'^ sur MM\ qui pourront è^re considérées comme de petits arcs de cercles décrits respectivement des centres M* elM, et qu'on prenne les angles a et ^ , de manière qu'ils aient letur ouverture tournée du même côté, co;nme je Tai supposé dans le calcul de la valeur de p , Tangle a étant pris, par exemple, entre la direction MT de Mm et le prolongement MK ^e AI' M y et l'angle p entre la direction M' T' de M' m' et la ligne MM elle-même, on aufa» ces deux équations :
dr
COS, a = -7- •
cos.p=— :7-,,
ds'
parce que le point M' reste fixe quand 5 varie seul dans la fonction r, et le point il^ quand c^est $'\ on tire
de là, dr dr , .
cos.«cos.p = -^^.^,(0.
(t) On trouverait :
« dr dr COS. a ces. S = — . -TT »
^ as ds'
si Ton prenait pour a et p les angles MUT^ MM' T^ don^
Ba différenisîaiat la yaleiir de cos. p pir npporc k i, ùa trooTer
dp . û </»r
aê ^ dsdê'-^
mais quand le poiot M est tr«n«poit^ en m et qne i devient par comaéqaeni S'\rds , Tangle p diminne éfi« demment , tant que Tangle 7 des denx plans M MT, MM' T^ est aign , d'une quantité qui est la projection deTangle M M' m sur le plan MM'T* ^ et comme cet angle est infiniment petit , on a :
iJp== — ilfif' IHCOS.7} ^
valeur qui s'applique aussi au cas oà 7 est im angle obtus,' parce qu'alors p augmente ayec $.
' Bfais Tangle M3fm a pour mesure :
iiS0 dsnin.ùi
ATM ~ r ' ^
ainsi,
dp sin.acos. 7 ds— r '
d'où il suit que :
sm. a sm. 6 cos. 7 — — r -; — ^-7.
les ouvertures sont tournées eo sens contraires; mais le ré tat du calcul ne serait point changé parce que ce changement de signe de cos. a cos. p entraînerait celai de la valeur de 1 quand on déterminerait ft ^ et donnerait par conséquent k même valeur pour
sin. asîn. p cos* ^4*^cos. a cos. p.
En substituant ces valeurs dé sin; a sîrt. p côS. y et <lë cosw a COS. p dans celle de p , on obtient :
/ d^ r . , «3?r dr\ V «* ^* ûf5 d$' J
fi?jr i-f-^ * ds ds'
Comme, c^est la quantité
sin* a sin. p cos. y + À cbis. à c5s. p ,
Ijue nous avons représentée par p, on a cette formulé de trigonométrie analytique qui pourrait peut-être recevoir d'autres applications :
sin. a sin. B cos. 7 + A: cos. a cos. fi :== — -. — '
Si l'on y suppose A = i ^ elle devient :
sin. a sin* 3 côs* 7 + cos. a cos.- 3 = — 3 — =-. î
et si Ton représente par x,y,z, trois coordonnées reo«: tangulaires du point M y et par x' y.y' ^ z' ^ celles dtf point ikf rapportées aux mêmes axes , x, y, z, varieront . seules avec 5, et x' , y','«- avec s'^ d'où il suit j à cau#J^j
'de
( 3o8 ) que
et qne
dx dx' dydy' dzdz^
dsdsf'^ ds ds' ds ds' ds ds' ^
on aura donc :
. - ■ . dxdx'dy dy' . dz dz'
sin. « sm. p COS. 7 + cos. « co». p =^ ^+^ 57+S ;Z7 •
quî est évidemment la valeur du cosinus de l'angle formé par les directions de M m et de MPm'^ le cosinus de cet angle se trouve ainsi égal à
sin. a sin. p cos. 7 + ^^* " ^^* P 9
ce qut est d'ailleurs évident par le principe fondamental de la trigonométrie sphérique.
Si Ton nomme i et i^ les actions exercées à la distance 1 dans la situation où
«:=;&;=:* et 7C=o,
ce qui donne p= i > par deux portions des fils conducteurs B^ et B' M' égales à Tunité de longueur, sur une portion égale à la même unité d'un troisième conducteur dont l'énergie électro-dynamique soit prise pour l'unité des énergies respectives des divers conducteurs , et qu'on désigne par n Texposant de la puissance de la dhtance de deux portions infiniment petites de conducteurs, à laquelle leur action mutuelle est réciproquement proportionnelle. qua9d oe^te di&lancc varie seule,
( 3og )
i\ sera aise dç vdlr^ diaprés ce que j'ai donne s^^ ce stijet dans le Cahier de septembre d^ Journal de Physique et dans ce Recueil , pag. aaS et suivantes , que les intensités d^action des deux petites portions, de conducteurs que j^ai nommées g ei h dans la note du Journal de Physique ^ seront représentées ici^ à cs^use que leurf longueurs sont ds et ds' ^ par ids et î' ds\ et que leur action mutuelle le sera par
i i' ds ds
l'exposant n étant égal à 2 , si cette action est ^ toutes choses égales d'ailleurs, en raison inverse du carré de la distance, comme je Tai admis dès mes premiers travaux sur les phcnomènf's électro- dynamiques , en me fondant , à la vérité ^ plutôt sur Tanaiogie que sur des preuves^ directes é
Ea remplaçant dans cette expressiop la fonction p pax* êes valeurs trouvées ci-dessus , elle deyient :
î— /c— n 1 — » iidsds'é
^^ ds
ou
i-^-k ds ds'
a dsds%
Si Ton désigne , conformément à qoe i^otatjpp employée dans divers ouvrages , et notamment dans 1^ Truite ^ Mécanique! de M. Poisson (tome i, art. 171), par df]a, différentielle de la distance r relative ai^ ^éplac^ent du point M, et par d' r la diffprepUel}^ de 1<| jpn^W é^f'^
(3io')
lance relative au déplacement du point 3f , en sorte que ce qui , d'après la notation ordinaire , est exjprimé
• — as* ds *
le soit par dr^ que ds' soit remplacé par à ^ ^ et qu^
dr , .
te soit par dr^ on pourra écrire ces deux valeurs
ainsi :
li'r a a' (r ;
On pourra se servir de celle de ces deux valeurs qui, dans chaque cas particulier, conviendra mieux an' but qu'on se propose^ la première est la plus commode^^dans le cas où je m'en suis servi pour déterminer la relation entre n et A qui résulte de ma nouvelle expérience. Pour faire usage de ces formules , on calculera la valeur de ren fonctions des six coordonnées des deux points M et M\ soit que ces coordonnées soient trois droites perpendiculaires , ou deux droites et un angle ^ ou deux angles et une droite, et on en déduira, par de simples différentialions , les valeurs des difTérentielles partielles de r qui entrent dans la formule qu'on emploie, en ayant soin de ne faire varier que les trois coordonnées du point M dans les dijBférentiations marquées par le signe d, et que celles du point ifcT^ dans les différentiations quereprésentelesigiie^}'.
(3ii)
Un des avances Je la valeur que nous venons de trouver pour p consiste à ce qu'on peut n'exécuter, relativement aux coordo.nnées qu'on a choisies, que la . diOférentialion relative au changement de position d'tfti des points M ou M\ et se contenter d'indiquer l'autre , ce qui simplifie beaucoup les calculs dans certains cas, comme on le verra quand je déterminerai la valeur de k d apjr^s le fait nouveau que j'ai observé et qui me reste à expliquer. /
Ce fait peut être énoncé ainsi :
Un circuit fermé circulaire ne peut jamais produire de mouvement continu toujours dans le même sens , en agissant sur un conducteur mobile d'une forme quelconque qui part d'un point de l'axe élevé perpendiculairement sur le plan de ce circuit par le centre du cercle dont il forme la circonférence , et qui se termine à . un autre point du même axe, lorsque le conducteur mobile ne peut se mouvoir qu'en tournant autour de cet axe, • Pour s'en assurer par l'expérience, on adapte à la lige T T' (fig, 16) une coupe annullaire O qui est isolée de la tige par un tube de verre M m, et qui communique avec la coupe S" par l'équerre en cuivre NnS^^
La spirale représentéefig. 2, à l'aide de laquelle on produit le mouvement continu dans l'appareil (6g. i), plonge par ses deux extrémités dans les coupes S" et 5'" (fig. 16). Le conducteur mobile appuyé par la pointe K dans la coupe S' se compose de deux parties KFGH et KEDB égales et semblables pour que la terre n'agisse pas sur ce conducteur; elles sont réunies par un cercle JBjfiT concentrique à la tige TT' : à ce cercle est attachée une pointe ^ qui plonge dans le mercure de la coupe O. On établit les commii^
( 3iO
nications en plongeant, par exemple , l|rhéopliore positif dans S et le rhéophoie négatif dans *S'"jie courant se partage alors entre les deux directions ST KE DBAONS" et STKFGHAONS'i arrivé ainsi dans la coupe S\ ,il parcourt la spirale LL V (6g« 2), et se rend dans la coupe S^ (fi^. 16), où Ton fait plonger rajppendice U" M*^ ( figuré a ) , et qùî est en communication avec rextrémitë négative de la pile par le rhéopkore jr^nant de cette extrémité qu'on y a fait plonger. Tout étant ainsi disposé, le conducteur mobile BDEPGH ne tourne plus d'une manière continue comme celui de la fig. I y mais il ne prend aucun mouvement ou bien il oscille autour d'une position d'équilibre stable. On s'atsiire aisément que l'action serait com{)lètement nulle si la spirale était construite avec une paifaiie régularité; mnis coihme il est difficile qu'il' en soit ainsi , on voit varier la position d'équilibre avec les irrégularités de la spirale , et quand on fait un peu changer la forme de cette Bpirale, en la pressant avec la main, on a une nouvelle position d'équilibre^ mais, dans aucun *cas, on ne peut produire de mxmvement continu (i). Il convient, pour que les actions des portions S T, nS", sur le conducteur mobile se détruisent mutuellement, qtfe^ quand on fait
(1) J'«i trouvé dépuis que Tac! ion est encore nulle lorsqu'on remplace le conducteur spiral faisant plusieurs tours, chacun d'une circonfe'rence entière , par un conducleor CDEFG rpl. ïo, îig 2) plusieurs fois redoublé.^ et dont la pprli«>n DE F forme un demî-cercle don^le centre est dans raxi^du condiicfeui inohile xbcdefhc'àe'fj^ comme f es portions CD y. F G ne peuvent, d'après ce qui a été. dit { png. i^or), aorfr sur ce conducteur mobile, il ne reste que JVctioii de la decui-çirconforençc j9 JB/^ sur la portion lu ptu
Cette expérience, tes deux portions soient placées Tune au-dessous de Tâutrè, à la plus petite distance possible.
Considérons maintenant un courant circulaire hori« Montât dirigé en'M^ (^fig. i5) suivant la tangente M' T\ et agissant sur une portion infiniment petite d'un con« ducteùr mobile BM, assujetti à tourner autour de la verticale j4 Z passant par le centre ^ du cercle dont le courant horizontal parcourt la circonférence et dont nous nommerons le rayon a^ AZ étant pris pour axe des Zy la verticale MN sera l'ordonnée z du point iw, prenons pour les deux autres coordonnées de ce point là dîitance AN-=Uy et l'angle XAN^=ty en nommant tf l'angle XAM'^ on aura évidemment :
expression où t' varie seul quand le point M' se déplace 5 en sorte que
„ aud' t' sm, it' — t) d rn=: ^ , — L
et que l'action d'une portion infiniment petite du courant horizontal située en M^ sur une poilion infiniment petite du conducteur B M située en M, est représcntcfe par
— fliiV '""""■* dU'd(^ r*"'iisin. (t' — t)),
voisine bcde dont les deux extrémités sont dans Taxe, action qui, d'après Texpérience, n'imprime à cette portion aucune tendance à tourner toujours dans le même sens, quelque soit sa position relativement au diamètre servant de corde au demi-cercle , d*ou il suit évidenimeent que la même chfl|0 aurait lien pour un conducteur fixe formant un arc de cerW quelconque ; ainsi que je l'ai supposé dans le calcul qui donn^ )a relation •entre n tX h
si on décompose celle force suivant la ligue MO perpendiculaire au plan A M JS K , et qu'on abaisse du point M^ sur le fayon A IV K la perpendiculaire M^Kzzz a siiu (f — f), qui sera évidemment parallèle à MOy i\ faudra, pour avoir la composante sui- -^f \t\niMO^ multiplier la force suivant M M\ dont noui venons de trouver la valeur par
M'W ' ce qui donnera :
— a^ii'd't'r " sin.(« — 0^' ) '' Msin.(e'-^£)|;
en multipliant cetie quantité par la distance MQ = u du point M à Taxe ^Z, on aura, pour le moment d% rotation :
^a'ii' d't'r'^'' us\n.(t' — t)d\r "^' wsîn. (f'— M:
telle est Taction exercée par le petit arc ds' du conducteur fixe horizontal pour faire tourner le petit arc ds da conducteur mobile autour de cet axe; en l'intégrant relativement aux différentielles désignées par d, oft aura cotte action telle qu'elle est exercée par le petit arc rfi' sur tout le conducteur mobile : or. d'après l'expérience qui prouve que celte action est nulle toutes les fois que «es deux extrémités sont dans l'axe, il faudra que l'intégrale^soii Tiuile toutes les fois qu'elle sera prise entre deux limites pour lesquelles m==:o, quelle que soit d'ailleurs la forme du condnelcur mobile et sa position rclafivement au petit arc ds' situe en M' ^ c'est-à-dire, quelles que soient les valeurs de rcl de t en fonctions de ii qu'il
faudrait siibsîtuer à r et à f pour intégrer de w=o h u:,^o, sî cette quantité n'était pas une diflercnlîelfe exacte par rapport aux trois quantités r, t,Uy qui varient avec la position du point M : or, on sait que pour que la Taleur d'une intégrale soit ainsi indépendante des relations des variables qui y entrent, et reste toujours la même entre les mêmes limites , il faut qu'elle se présente sous la forme d'une différentielle exacte entre ces variables considérées comme indépendantes , ce qui ne peut avoir lieu ici à moins qu'on n'ait :
k — 1= — n — k, ou
Telle est la relation que l'expérience démontre exister entre k et n. Quand « = 2 , on a A = — ^ , mais quelle que soit la force des analogies qui portent à penser que n est en effet égal à 2 , on n'en a aucune preuve déduite directement de l'expérience, puisque toutes les expériences faites à ce sujet' l'ont été en faisant agir un conducteur voltaïque sur un aimant , et ne s'appliquent par conséquent que par une extension qu'on ne peut regarder comme une démonstration complète, à l'action mutuelle de deux portions infiniment petites de courans électriques.
La relation ci-dessus donne :
OU à
Il r dd ( r )
ï)aiis la séance du 24 j^î^ 1822, je lus, a rAcadéirie royale des Sciences, une note additionnelle à ce Mémoire , où je tirai de ma formule mise sous cette forme deux résultats reniarquables : le premier s* obtient lorsqu'on décompose la force que Félément ds exerce sur l'élémenr d$\ dans la direction de ce dernier, en la multipliant par
ce qui donne
cos.p=:-^;^;
TT"d'rd{r'd'r),
dont Tintégrale, par rapport k d, est:
-fC^ifir d'^'cos.'p+(7,
quMI faut prendre entre les limites marquées par les deoi extrémités du conducteur ffi^(fig. i4)« Si ce conducteur forme un circuit complètement fermé , les valeurs de r et de COS. p seront les mêmes aux deux limites, puisque ces limites se trouveront au même point , et Tintégrale sera par conséquent nulle , d'où il suit que la résultante de toutes les actions exercées par un circuit fermé sur une petite portion de conducteur est toujours perpendiculaire à la direction de cette petite portion. Je remarquai , à ce sujet, qu'il en devait être de même d'un assenal>lage
(Si;)
quelconque de circuits fermés, et par conséquent d'urt aimant, lorsqu'on le considère comme tel, conformément à mon opinion sur la cause dés phénomènes mag« nétiqueis , et c'est en effet ce qui résulte de plusieurs expériences dues à divers physiciens.
Le second résultat consiste en ce que la valeur de k étant n^alive (i) , l'expression de Taction mutuelle à% deux portions infiniment petites de courans voltaïques ,
ii' (sin. a sio. ^ cos. 7 4" ^ ^^^* ^ c^^* ^ )
r" devient négative quand on suppose que le$ deux angles «
(i) En vertu de l'équation A:=::-^ , la valeur de k ii'est n^ative qu'autant que n est plus gràsd que i ; c^est pourquoi, avant d'avoir vérifié, par Ve%.^én&aC6 décrite ( pag* 285), que cette valeur est en effet négative, j,e m'étais assuré que celle d^ A e^t plus grande que i. Pour cela, après avoir trouvé ^ par un calcul très-simple, que quand on suf^pose 7i=z:i uja conducteur fixe , de quelle forme qu'il soit , ne peut es^ercer aucune action sur un conducteur circulaire situé dans le même plan, et que l'action entre ce conducteur circulaire et un conductiliur rectiligne doit être attractive ou répulsive poac ^1 u)Be méoie position de ces conducteurs , suivaqt que n eali pjos grand ojjl plus petit que 1 , j'avais, faijt cejUe expéri^enc^ dés le mois de mai 1822 , et j'avais constaté que l'acJLion dont il s'agit n'est pas nulle , et qu'il résujte du sens dans lequel elle a lieu , que n est plus grand que i , et que k est par conséquent négatif, en me servant du conducteur mobile, représenté en xabcdefghiky ( pL 10^ fig. 3), sur lequel je faisa^'s agir le conductieur veriiçal ^i?.. l^ figiu'e q^V/s j'^n* donne ici me paraît suiUsatrite pour qu'on en ait uxifi iAéfi complète , et pour qu'il soit inutile d'eu donner une descrijjtioD détaillée.
et p tournés du même côté sont nuls > en sorte que Ici deux petites portions doivent se repousser quand elles se trouvent sur une même droite , et qu'elles sont dirigées vers le même point de l'espace ; j'en tirai cette Conclusion que toutes les parties d'un même courant rectiligne se repoussent mutuellement ^ que c'était probablement la cause des effets connus du moulinet électrique^ qu'ainsi ces effets devaient être considérés comme le premier phénomène électro-dynamique observé , et qu'on ne devait plus les expliquer comme on le fait commu« nément.
Quoique les deux petites portions de courans électriques ne soient alors dirigées dans le même sens qu'en apparence, et qu'on doive plutôt les considérer comme parcourant en sens contraire les deux côtés d'un angle de '200^, la répulsion, dans ce cas , était une choses! inattendue qu'il était nécessaire de la vérifier; on a vu plus haut (page ^85) que j'ai depuis fait celte expérience avec M. Auguste de La Rive, et qu'elle a compiètemeot réussi. Nous observâmes ensemble, le9septembre 183a) que la répulsion a lieu en effet etitre un courant établi dans 1% mercure, et ce même courant prolongé dans un fil conducteur flottant, soit qu'il passe du mercure dans le fil ou du fil dans le mercure ,• en sorte qu'il est impossible d'attribuer ce phénomène, parfaitement semblable à celui du moulinet élec^trique , excepté que l'air est ici remplacé par le mercure , aux causes auxquelles on Ta attribué jusqu'à présent dans le seul cas où on l'avait ob« #ervé, celui où il a lieu dans l'air.
