f- cos (a , b

(c -haQg- (« - A)*

(a by — (c — d)2 = (c-hrf-h&-a)(c + ^4-g~^) (a 4-^4-c — d)(a 4-^4- ^ — c) * ou bien , désignant par p le demi-périmètre du quadrilatère >

i a enfin

tang i (<

r /a Ai7—?) O — 6)

Maintenant si S et S' désignent les surfaces des deux triangles ABC , ADC , dont se compose le quadrilatère , et qui ont pour base commune la diagonale s, on aura • aire du qiiadnl. irise. ~ S -f- S'

ab .. cd . Q. . ..

= — sm (a , 6) -j - sin[2 — (a, 6) J

ab -

h -cd

- sm (a, b).

Remplaçant sin (a , 6) par sa valeur (2) , on aura S •+■ S' = ï V 4 («* + J* — («»-+-*• — c» — d* )*

= ïV/ L(« + i;a — (c — d)' ] [{c-+-dy — ; a — b)' ]

— — d'^Ça-t-b- hd — c "^^c-t-d-f-a — Çc+d-j*b — aÿ

ou bien faisant , comme ci-dessus , 011 aura définitivement

S + S' = V {p — à) (p— b)(p —c) (p — d), expression très symétrique de l’aire du quadrilatère inscrit.

On pourrait désirer en outre de connaître en fonction «les quatre côtés du quadrilatère inscrit , l’angle de deux côtés opposés et celui des deux diagonales. Cette nouvelle «juestion , traitée à la page 3i4 du tome XIII des Annales de Mathèmatujuesj se résout fort simplement, ainsi qu’il suit :

Les prolongemens des côtés b , d, se rencontrant au-delà de c , en supposant a > c , ils forment avec le côté a un triangle dans lequel on a nécessairement

angle {b, d) = 2« — [(a , d) + (<* , *)] î et par suite

sin ( b,d) = sin (a , d) cos (a, b) -\- sin (a , b) cos (a , d). Mais par ce qui précède , on a

sin (a, d) = cos (a, d) —

l/ABCD . , ,N V ABCD

i(ad -J- bc) * Sm a ’ ^ 2( ab -f- co£) 7

a'+d* — — c“ aa+6“ — ca — rf*

2(W -f- ècY" ’ C°S (a’h>— 2 (ab + cd) 5

lorsque pour abréger l’on fait

6 *+■ c -+- — a — A, d-^a + b — c = C, c -f- d <z — b = B , cz b -f- c — £3? — ~ D.

Substituant donc ces valeurs dans celle de sin (6 , d ) , il vient

sin ( b , cf) =

(qa — ca) y/ ABCD .

2(ad -{- bc) (ab + cûQ ?

pareillement

sin ( a y c)z=

(b* — dJ) y/ ABCD ■x(ad -f- bc) (ab -f- cd)

Il n’est pas difficile de voir que l’on a en outre

cos (b } d) — sin (a, b) sin (a, d) — cos (a, b) cos (a, d), et par substitution ,

cos (b , d) =

ABCD — (qa-f- 6a— b*— ca)(qa-f 6a—ca— d1) 4 (ab -(- cd) (ad -f- bc)

ou bien en éliminant A , B , C, D , et réduisant,

cos (b d\ — ( ab +c(*y+ (ad + 6c)a — (gft — c*)a

1 i(ab + cd) (ad -f- bc)

Mettant cette valeur dans la relation

2 sina i ( b, d) = i — cos ( b, d) „ on parvient enfin à cette expression ,

sin. i

a — c f BD

2 V (ab -f-cd) Çad+ bc) y

sin (b y d )

et à cause de cos £ (b, d) = 2 sin $(b,d)

on a

= °4fv/;

AC

( ab

•d ) (cid -f- bc) ’

a — c /BD a 4- c V AC

cos^ (6, rf) et, de plus,

tang -5 ( b , rf)

Telles sont les expressions nouvelles données par les auteurs de la solution citée. Il ne reste plus qu’à déterminer, ainsi qu’ils l’ont fait , l’angle (z, z') des deux diagonales or, l’aire du quadrilatère inscrit étant égal a

\ V/ABCD = ^ z z sin (s , z ),

on a

y/ABCD l/ABCD

sin (z , z ) 2zz/ 2 (<zc -f- 6c?) ’

d’ailleurs , cos (z , z')a — i — sina (z, z') ; partant ,

D£çps deux valeurs, on déduit naturellement ces trois

autres ,