PE = PR,RQ=LQ
Il résulte de là, et de ce que les triangles QAL , QAR sont rectangles , que les angles LAB , BAD sont égaux. D’ailleurs l’égalité des angles EAC , CAD entraînant celle des arcs CE , CD , il s’ensuit que les angles DAC , CBE sont aussi égaux. De plus, les angles ARP , BRM sont opposés par le sommet j donc les triangles RAP , BMR sont
propositions
équiangles. Mais l’angle RPA est droit -, donc l’angle BMR l’est aussi ; ce qu’il fallait démontrer.
61. Si Von mène à volonté une parallèle à la base d’un triangle , et que par les points où cette parallèle coupe les deux autres côtés , on tire des droites aux sommets des angles opposés , elles se couperont toujours sur un point de la droite qui joint le milieu de la base et le sommet du triangle.
Première solution. Fig- 35 ] Soient
A p = a , Ap'~ a', AP' = pm = fi , p rn — fi , P'M '=y\ et
AP = a \
on aura alors
pP = a — a, AB = ^, pP=za — a'.
En vertu de la notation actuelle , l’équation de la droite AM' est
celle de la droite PM'
CO y =
celle de la droite Vm
(3) J' = - dh(*~a)i
et celle de la droite A m
Pour obtenir les coordonnées du point M'> on combi-
nera entre elles les équations (i) et (a) , dans lesquelles on changera x en x, et y eu y \ ce qui donnera
, att
a - et -f- et
et par suite
BP' = AF — AB
, ap
y a — ai -+■ et ’
a (et -f- et — a)
* 2 (* — ai -f- <0
D’un autre côté , la droite BM' étant assujettie à passer par le point B , milieu de AP, et à faire avec celle-ci un FM'
angle dont la tangente est -gpT> son équation sera
J’observe maintenant que pour que les droites proposées ne forment qu’une seule et même intersection , il faut qu’en ce point elles aient les mêmes coordonnées : le moyen de vérifier cette circonstance est donc de combiner deux à deux les équations des droites P m, A ni, BM'. On trouve en effet que (3) et (4) donnent en même temps que (4) et (5) ,
asi a fi
Donc les trois droites P m, Am', BM', sont douées de la propriété énoncée ci-dessus.
Deuxième solution. Ce théorème peut encore se démontrer a laide d’un principe fécond dans ses applications, lequel consiste en ce que si l’on combine les équations de deux lieux géométriques d’une manière quelconque, le troisième lieu géométrique résultant de cette combinaison , passera par les points d’intersection des deux autres : d’où il suit que si trois équations à deux ou trois variables s accordent entre elles, il sera possible d’en combiner deux de
Il4
manière qu’il en résulte une quatrième équation identique à la troisième.
Soient, par exemple,
les équations de trois droites ayant même point d’intersection , et multiplions respectivement les deux premières par les indéterminées m , rn ; la somme des produits sera (Am. -f- A 'm') x + (Bm B’m^y + Cm -}-Cm' = o, (7)
et représentera le système de toutes les droites qui passent par le point d’intersection des deux premières. La direction de l’une des droites de ce système dépendant essentiellement des valeurs qu’on attribuera aux quantités m, m , supposons quelle coïncide avec celle de la troisième droite (6); on aura alors
Am -f- A 'm ■ 1 A", Bm -1- B ,m, = B", Cm -f- C 'm' = C”, et en éliminant m , m entre ces trois relations , il viendra l’équation de condition
(A'B* — B'A")C-KÀ"B--BffA)C'+(AB'— BA^C^o, (8)
laquelle doit avoir lieu lorsque les trois droites (6) concourent au même point. En effet , les équations ( 3 , 4 > 5 ) satisfaisant à cette dernière , la proposition énoncée se trouve , par ce fait , démontrée.
De là résulte naturellement cet autre théorème :
Si Von divise en un meme nombre de parties égales deux côtés d’un triangle , et que par les points de division Von tire des droites aux angles opposés j celles qui se correspondent se couperont en des points qui seront situés sur la droite passant par le milieu de la base , et par le sommet de V angle opposé. ("Voyez la figure 36.)
On démontrerait aussi aisément que les perpendiculaires
DE GÉOMÉTRIE- ,a5
élevées de tous ces points de division sur les côtés auxquels ils appartiennent, se coupent de deux en deux , en des points qui sont situés sur une certaine droite passant de meme par le sommet du triangle.
PROBLÈME
62. [ Fig. 52. ] Inscrire dans un cercle donné un triangle aa'a" dont les trois côtés passent respectivement par trois points A , A’, A" donnés sur le même plan.
Soient a(3, les coordonnées rectangles des points
donnés A , A', A" ; et supposons que le triangle inscrit ad a " jouisse de la propriété énoncée. L’équation du cercle rapporté à son centre sera
(1) x* + ya = r',
r étant le rayon : si donc x y sont les coordonnées d’un point particulier a' pris sur cette circonférence, on aura également
et les droites A a', A' a', assujetties chacune à passer par deux points, auront respectivement pour équations (n° 3^),
Quelle que soit la manière dont on combine ces deux dernières équations , le résultat appartiendra à une ligne plane , dont quelques-uns des points seront communs au cercle (1). Par exemple , en les multipliant l’une par l’autre , il vient
— (* - *') ( y -y) [(* - *) (y- & ) + (y- «OCr — p)J
c’est l’ensemble des deux droites que l’on considéré , représenté par une équation du second degré (n° 5o ). Or, au
point d’intersection des courbes (1) et (3), les x, y ayant les mêmes valeurs, et les équations (1 , 2) donnant en les soustrayant l’une de l’autre ,
il en résulte que l’équation (3) devient, en éliminant le facteur ( y — y), et effaçant ceux qui seront communs à tous les termes ,
4- O + x') (y+y) l(x — a) (/—£') 4- (x — a') (/ — £)] 4- (y+ÿY(y'— £)(/ — P) = °- (4)
Toutes ces équations s’accordant entre elles aux points d’intersection , l’on pourra ajouter (3) et (4) , et l’on aura, après avoir développé et réduit au moyen des relations (1,2),
r3 (r*4- 4- yy 4- 4- 0 )
4* O/ 4 -yx) 4 * Q) -h (xxf —yy) (««' — 0 )
— T* (* 4- *') * — 4 (0 4- Œ)y = o; expression qu’on peut mettre sous cette forme très symétrique ,
(5) ( r9 — xx — yy') (r3 — etet — 00')
= ( r3 — ax — 0y) (ra — ax — 0'y )
4 ( r3 — a 'x— 0'y) ( r 3 — ax—0y), et qui représente l’équation de la#corde aa", puisqu’elle a nécessairement deux points communs avec le cercle (1). Mais cette corde devant passer par le point A", il faudra , avant de combiner son équation avec celle (2) du cercle , pour avoir les coordonnées x'y' du point a', y faire x = a*, y = 0" ; ainsi on aura
Cette équation est susceptible d’ètie écrite beaucoup plus simplement , parce que chaque facteur est une fonction explicite d’une perpendiculaire à l’une des tangentes AT, A'T', A"T". En effet , soient p , p', p' les perpendiculaires abaissées du point a supposé connu , sur ces tangentes dont les équations sont (n° 55 ) ,
ax -f* i = r* pour AT, et x + P y — r* pour A'T', et' x -f- P y — r* pour A" T" ;
on aura (n6 43 )
P Ve? + P = etx + %' — r% p V ** + £'* = ax -f- &y — r*, p" P* ~ et"x' -I- Py — r* ;
et si l’on désigne par D , E les perpendiculaires abaissées de A sifr A'T’ et A"T" ; par D', E' les perpendiculaires abaissées de A' sur AT et A "T", l’équation (5') se changera en celle-ci :
(6) p=wp + ^.
Pour trouver une autre équation entre les inconnues P y P : p" , on remarquera que les trois tangentes dont il s agit, déterminent , par leur mutuelle rencontre, le triangle MM M dont l’aire est évidemment égale à celle des deux triangles a M'M", a'M"M moins l’aire triangulaire aM'M- Par conséquent, si m , m', m" sont les côtés opposés aux
angles M, M', M" du triangle MM'M", et que — soit sa surface, on aura cette autre relation ,
De ces deux valeurs dep", on conclut par soustraction ,
propositions
équation linéaire en p et p', et qui donne nécessairement lieu à une droite passant par M" et coupant le cercle donné au point a cherché.
La solution serait absolument la même, si au cercle donné on substituait une courbe quelconque du second ordre ; et c’est sous ce point de vue plus général que M. Lamé, ingénieur des mines, a considéré la question (*). Telle que nous venons de la traiter , elle présente des difficultés qui ont fixé l’attention de plusieurs grands géomètres; mais Carnot imitant la mise en équation de Lagrange, a donné dans sa Géométrie de position, page 384, lme solution analytique de ce problème , très différente de celle /qui précède, et applicable à un polygone inscrit d’un nombre quelconque de côtés.
PROBLÈME
63. Connaissant les rayons des cercles inscrit et circonscrit à un triangle , ainsi que sa hauteur , déterminer ce triangle.
Soient x,y , z, les trois côtés inconnus du triangle ; h sa hauteur donnée; p la moitié de son périmètre ; r et R les rayons des cercles inscrit et circonscrit; enfin s l’aire du triangle proposé.
On aura ces quatre équations (n° 3 ) ,
xh
(3) 5 — y ’ (4) •=Vp{p— *)Cp — y)(p—
(*) Examen des différentes méthodes employées pour résoudre 1er problèmes de Géométrie. Paris, 1818.
esquelles on déduira facileiuept l’expression de la base x , par la méthode d’élimination suivante.
Si l’on introduit dans les équations (1) , (2), (4) , 'au lieu de s sa valeur donnée par l’équation (3) , on aura
(O 2hR=yz, (2')
2 Or P *
Élevant cette dernière au carré, il viendra , après avoir divisé tout par x'h et chassé les dénominateurs ,
\r*h = {h — 2 r) (xh — 2 yr) (xh — 2zr);
développant le second membre, remplaçant yz par sa valeur ( i') et divisant par h, on aura
4 r*=x7i2 — 2xhr{x-{-y-\-z)-\-\xr\y -{- z)-f-8Ar*R — i6r3 * * * * * 9R •
substituant en outre pour (i+J+ï) et (y -f- z) leurs valeurs déduites de l’équation (2') et réduisant, on obtiendra une équation de laquelle on tirera
Passons maintenant à la construction de cette valeur.
[Fig. 3-7.] On prendra, sur le diamètre AE du cercle circonscrit, la partie AH = A — 2r; et après avoir élevé à ce diamètre la perpendiculaire HR, on décrira sur AK comme nouveau diamètre la demi-circonférence AHFK j ensuite on mènera du point K la corde KF = rj puis la droite indéfinie AFG ; et lorsqu’on aura pris AM = zr , on mènera MG parallèle à la corde FH. Par ce moyen, l’on aura AG = x , ainsi qu’il est aisé de le prouver.
Il suit de la qu’eu inscrivant dans le cercle ACB une corde AB = AG, sa parallèle PC menée à une distance
BP = h , coupera la circonférence ACB en deux points
PHOTOSITIONS
C, Q! y qui pourront chacun être pris à volonté pour le sommet du triangle.
Bossut, qui a résolu le même problème par une méthode toute différente de la précédente, fait voir que si l’on cherchait le segment AD formé par la hauteur CD du triangle ACB , on aurait , pour le déterminer , à résoudre une équation du 4e degré. (Voyez son Application de V Algèbre à la Géométrie')-, ce qui vient à l’appui de cette règle énoncée par Newton dans son Arithmétique universelle j que , pour parvenir à une équation finale qui soit la moins élçvée possible , il faut choisir pour inconnue celle qui , parmi toutes les solutions dont le problème est susceptible , éprouve le moindre nombre de variations.
Notez bien que si l’on cherchait les valeurs des rayons des cercles qui touchent extérieurement les côtés d’un triangle , on les trouverait , comme celle du rayon du cercle inscrit employée dans la solution précédente, fonction de l’aire de ce triangle ; de là il serait aisé de démontrer ce théorème : Le carré de la surface dJ un triangle est égal au produit des quatre rayons des cercles tangens à trois des côtés de ce triangle.
TnéoHÈME.
64- Si quatre cercles touchent chacun , intérieurement ou extérieurement , trois côtés d'un quadrilatère plan quelconque , les centres de ces cercles seront toujours sur une même circonférence. Q Fig. 38.]]
Cette proposition curieuse et nouvelle est du genre de celles pour la démonstration desquelles il est préférable d’employer la considération immédiate des angles. Eh effet si l’on suppose que les quatre cercles touchent extérieurement les côtés du quadrilatère, et qu’on ait raehé des droites d’uu centre à l’autre , droites qui diviseront chacune en deux parties égales les angles supplémentaires de
ce quadrilatère , il suffira de prouver que le nouveau quadrilatère OO,O"O0' est inscriptible au cercle, c’est-à-dire que la somme de deux de ses angles opposés est égale à deux angles droits. Or, on a
l’angle OAD =iQ — l’angle ODA = iQ— P;
par conséquent
1 angle O— — - — .
Par la même raison
l’angle 0"= ;
donc
mais
donc
Voilà ce qu’il fallait prouver.
On démontrerait, avec la même facilité, cet autre théorème :
Sl les côtés cf un quadrilatère circonscrit touchent la circonférence aux sommets memes des angles d’un quadrilatère inscrit , leurs diagonales se couperont toutes au meme point.
Il ne serait pas difficile de s’assurer en outre que cette propriété se vérifie également pour l’ellipse. C’est cc que les jeunes lecteurs feront bien de démontrer eux-mêmes ; car rien n est plus satisfaisant que de ne devoir à personne la découverte des moyens à employer dans la recherche des vérités mathématiques.
PROBLÈME
65. Q F*g- 3g. ] Les côtés du triangle M'M"D étant connus de grandeur , et les coordonnées rectangles des points M'M", étant donnés j trouver celles du point D.
Soient
M'M" = c , M'D = c , M'D = c", et appelons xy, xy , x"y", les cordonnées rectangles des points DM'M", on aura (n° 47)
c%=x* 4 -y* 4- *a + y% — 2**' — wy>
c ■* = *"a4/'a4- *a 4y — ^xx" — 2yy"i
puis après avoir soustrait ces deux équations l’une de l’autre et réduit ,
( i) c* — c,a=x"*— y'*— **(*"—*')■ — aycyw).
D’ailleurs , il est aisé de voir , d’après le n° 57 , que l’aire T du triangle DA' A", exprimée en fonction des coor données des sommets, est
et que puisque les trois côtés de ce triangle sont connus , l’on a ( n° 58 )
prenant le signe supérieur lorsque le point D est audessus de la droite M'M", et le signe inférieur dans le cas contraire.
De ces deux équations (1, 2) du premier degré, écrites ainsi qu’il suit :
et dans lesquelles
B =4T + a(*y—yV)i
on tire par le procédé d’élimination ordinaire
2ar A c*"-~x') — B(y — /)
Si l’on connaissait les distances du point D à trois autres M', M*, M", rapportés à leurs axes rectangles , il suffirait de combiner l’équation (i) avec son analogue c"‘—c/a=x"3— x'a-l~y*a — y* — 2x(.r*— x) — a y (/'—/) , pour en déduire les valeurs de x et y.
Ces deux solutions analytiques peuvent être employées avec succès, toutes les fois qu’il s’agit de projeter sur une carte topographique des points secondaires dont on a les distances à d’autres points déjà placés sur cet te carte , d’après le système de projection adopté.
THÉORÈMES
66 Dans tout quadrilatère plan inscrit au cercle .
i°. Le rectangle des diagonales est égal à la somme des rectangles des côtés opposés ;
2°. Les deux diagonales sont entre elles comme la somme des rectangles des côtés qui aboutissent à leurs extrémités.
CHg i8.J Soient a, b, c, d, les côtés consécutifs AB, BC , CD , AD , du quadrilatère inscrit ABCD; z , z , les diagonales AC, BD ; et représentons par (« , b) l’angle ABC ; alors l’angle des deux côtés t , d , sera — (a b), en vertu de la propriété de ce quadrilatère ; et en traduisant analytiquement celle des triangles ABC, ADC, on aura (n° 3)
z* = a% -f- Aa — ?.ab cos (« , b) )
3'*= c* -f- d1 -f- icd cos (a , b) )
de J*
FnorosiTirii!»
f ix a* + è2 — c2 — d 2
cos (a, b) = — — - 11
l{ab -f- cd)
sin(a,6)=^/ J —
a (ai -f- cd) / J
Maintenant , si de la première valeur de z2 on élimine cos (a, , dont l’expression est (2) , ensuite que l’on ré¬
duise et que l’on décompose en facteurs, on trouvera
s* — O2^ 4- bc) (ac 4* &0
ab cd
Relativement à l’autre diagonale z , on aura pareillement
(«& 4- «Q (ac 4- bd)
ad-\- bc
Multipliant et divisant ces deux équations l’une par l’autre, puis extrayant la racine carrée, il viendra, conformément à l’énoncé des deux théorèmes ,
zz =ac -f- bd ,
z ad+ bc
z ab cd'
Passons aux conséquences qui dérivent de cette analyse. V abord de ce que
a% -f" b* — c* — dÀ
cos ( a , b-) — tang*i (a, b) =
et
il s’ensuit que
tangsHa> b)~
