V B OS 081 T ION
PROBLÈME
72. QFig. 42. 3 Un cercle d’un rayon connuj et une ligne CB étant donnés de position par rapport à deux axes fixes j mener au cercle une tangente TM qui soit en meme temps parallèle à CB.
Soient r le rayon du cercle, a la tangente trigonométrique de l’angle BCA, a la distance inconnue AT, et x, y, les coordonnées du point de contact.
La ligne MT devant être parallèle à BC, l’angle MTA sera nécessairement égal à l’angle BCA; ainsi, par le problème des tangentes (n° 55), on a
comme il est facile de s’en assurer. En effet ,
puisque l’équation de la tangente TM est (n°55),
or , lorsque fi = o , elle se réduit à
<tx = r* , d*où * = — :
d’ailleurs l’équation du cercle donne
donc
ou bien éliminant x par le moyen de sa valeur précédente , y — r~ V *a — r3;
ainsi , substituant pour x et y leurs valeurs dans l’équa-
DK GÉOMÉTRIE. 1 49
tiou (2) , l’on obtient l’équation (i) j et cette dernière étant résolue par rapport à a , donne, pour la solution cherchée ,
ou autrement en désignant l’unité par m , afin de rendre les termes homogènes (n° 68 , L. C.) ,
Pour construire cette quantité , on abaissera du point A sur la droite BC la perpendiculaire AB , et l’on mènera par l’extrémité M du rayon AM la tangente MT, qui jouira de la propriété énoncée. En effet, CB étant prise pour m , et l’angle ABC étant droit par construction , la ligne AB représentera la tangente de l’angle BCA. De plus, à cause des
parallèles CB, MT, on aura cette proportion .
AB : AM :: CA : AT, ou en termes algébriques,
, - r{/aa-i~ m*
Il ne faut pas croire que cette solution soit particulière au problème proposé; car si la courbe donnée était une parabole , par exemple ( toutes choses égales d’ailleurs) , et que l’on voulût trouver les valeurs des coordonnées du poin t de contact, on combinerait de même l’équation >y,a = P* de cette courbe avec celle-ci :
qui exprime (n° 54 ) la tangente trigonométrique de l’angle formé par la tangente à la courbe et l’axe des abscisses, %t l’on aurait
Ainsi , l’abscisse serait à l’ordonnée correspondante, comme le rayon des tables est au double de la tangente donnée.
PROBLÈME
^3. Mener une tangente commune à deux cercles donnés de grandeur et de position. QFig. 43.]
Quoique nous ayons déjà résolu ce problème au n° 55 , nous allons le traiter différemment, afin de prouver qu’il est possible de varier les solutions , sans pour cela leur ôter le caraetère analytique.
Soient AA'= P, r le rayon du cercle AM , / le rayon du cercle A'M', a la distance inconnue AT, et a la tangente trigonométrique de l’angle MTA.
Il résulte du problème précédent, et de ce que M'T doit toucher les deux cercles donnés, que pour le cercle AM,
et que pour le cercle A'M',
Egalant ces deux valeurs , et faisant disparaître les radicaux, il vient
Chassant les dénominateurs, on trouve, après la réduction,, *(* + *)*=: a V.
Extrayant la racine carrée des deux membres , on a «r -f- = zh. ttr
ce qui indique, à cause du signe ambigu , que par^deux points différens , on peut mener une tangente^ commune à deux cercles. D’un autre côté, puisque la* valeur de a est affectée d’un radical du second degré, il est clair qu’il est possible de mener, par un même point, deux tangentes à un cercle ; donc le problème est susceptible de quatre solutions (¥). Ces conséquences sont entièrement d’accord avec celles qui se déduiraient de l’équation de la tangente com mune aux deux cercles, donnée au n° 55.
Nous avons fait dépendre le problème actuel de celui qui précède*, mais l’un et l’autre ne sont que des cas particuliers d’une question plus étendue, traitée dans l’ Application de V Algèbre à la Géométrie deM. Lacroix, n° 109. Comme il convient de s’attacher de préférence aux solutions générales , nous passerons à l’analyse du problème suivant :
(*) Pour faire voir, par un nouvel exemple , que l’emploi des coordonnées! obliques simplifie souvent les ealeuls , nous résoudrons de rechef le présent problème.
On sait (n° 108, L. C.) que les rayons AM, AM' menés aox points de contact M, M' de la tangente TM, sont parallèles entre eux; ainsi , en vertu de cette propriété , l’équation aux coordonnées obliques AX , AY de celte tangente est (n°* 39 et 4i ),
puisque d’ailleurs les coordonnées du point M' sont — J et -f- t' . Fai sant ici y = o, on aura comme ci-dessus ,
Jr
Al ou x — — - . (t
Une solution analogue par les coordonnées rectangulaires serait bien moins simple, ainsi qu’on peut le vérifier.
74- Deux cercles étant donnés de grandeur et de position, mener une droite à travers, de manière que les parties interceptées soient égales entre elles et à une ligne donnée m.
[ Fig. 44. ] Soient
J | les rayons des cercles donnés j
Faisons en outre CC' = é', C'A =3 a , ét désignons par a la tangente de l’angle CAB".
Pour remplir le but que nous nous sommes proposé à la fin du n° précédent, nous reprendrons l’expression de la tangente trigonométrique de l’angle A, obtenue dans le n° 109 de l’ouvrage cité deM. Lacfoix , et nous y ferons toutefois les changemèns que nécessite notre notation. Ainsi par rapport au cercle C, on a, pour la valeur de la tangente CAB",
et par rapport au cercle C', cette même tangente a pour expression
V 4a“ — 4rS ■+■
Égalant ces deux valeurs délivrées de leurs radicaux , divisant tout par 4, et faisant pour abréger r* — — = 4%
h'\ on aura
(et et»-, h’*'
Chassant les dénominateurs, et réduisant, ou trouve h'* (ce +<T)* = « *h\
Extrayant la racine carrée de part et d’autre , on obtient » a/i £ti — ±: et/î]
d’où l’on tire enfin
Cette formule , considérée seulement par rapport au signe supérieur, peut se construire delà manière suivante :
Sur les rayons CB, CB' des cercles donnés, décrivez des demi-circonférences; par les points B, B', menez les cordes BD, B'D' égales entre elles et à la moitié de la droite m donnée; et tirez les cordes CD, C'D , qui seront les grandeurs respectives de h et de h!.
Menez ensuite CP parallèle à C'D'; prenez Cq~h, et par les points q , D', menez jusques en A la droite ÿD'A; le point A sera celui par lequel devra être menée la sécante proposée.
Enfin sur C'A comme diamètre, décrivez une demi-circonférence. Portez C'D' de C/ en d , et tirez la droite indéfinie A d qui sera telle, que ses» parties interceptées dans les cercles , seront égales entre elles et à la ligne donnée m.
Mais il est à propos de remarquer que , puisque la valeur de et ci-dessus est composée de la même manière que dans le n° précédent , il sera tout aussi simple de décrire respectivement des centres C , C et avec des rayons h , h', des cercles concentriques à ceux CB, C'B', et ensuite de mener des tangentes communes à ces mêmes cercles , parce que ces droites seront en même temps les sécantes demandées.
Lorsque m = o, les quantités h et h' acquièrent respectivement les valeurs r et r, et pour lors l’équation (1) devient
laquelle rentre évidemment dans celles du n° précédent en changeant r en /, et vice versa.
L’expression f
sur laquelle la solution ci-dessus est fondée, prend une nouveile forme lorsque a. = / ; pour ce cas, qui répond à celui où il s’agit de mener par l’extrémité du diamètre d’un cercle connu une corde d’une grandeur donnée m , on a
a V — mÀ
De là il est facile de démontrer analytiquement le théorème suivant , considéré dans un de ses cas particuliers.
THÉORÈME
75. [[Fig. 45. J Si par le sofhmel commun de deux courbes semblables du second degré , dont les grands axes coïncident, on mène à volonté deux droites AB, AB' qui coupent ces courbes, les cordes AB , AB' seront coupées en parties proportionnelles par la plus petite courbe , et par conséquent les lignes BB', DD' seront parallèles.
Désignons par
M, M', m, m } les cordes { AB, AB', AD, AD',
pt fixons au point A 1 origine des axes rectangulaires.
Si les équations de deux courbes du second ordre sont
y* = px 4- <ix\ )
y* = p\ + qx*, J
ces courbes sont nécessairement semblables. Cette vérité est une suite de ce que l’on a alors , pour l’ellipse comme pour
l’hyperbole , — z= a , b et a', b' étant respectivement
les demi-axes de ces mêmes courbes. La similitude dont il s’agit se manifeste donc lorsque les coefficiens de *a seulement sont égaux , et puisque pour le cas de la parabole on a ÿ = °> il s’ensuit que les paraboles sont toujours des figures semblables.
Cela posé, soient
y=^Ax, y = A'x , (2)
les équations des droites AB, AB' passant par l’origine. En les combinant convenablement avec chacune des équations (1) , pour avoir les coordonnées des points d’intersec' tion , on parviendra aisément à
- = ï£? '/r‘+7 ’ = T^rq v'm+T. ;
d’où l’on conclut sur-le-champ
ai p m' ce qu’il fallait démontrer.
Ce théorème appliqué aux cercles , conduit à une solution fort élégante du problème suivant :
Deux points étant donnés de position à l’ègaid d’un cercle connu j décrire un nouveau cercle qui soit tangent au premier et qui passe par les deux points donnés. Sur quoi l’on peut consulter les Récréations mathématiques d’Ozanam, nouvelle édition par Montucla , tome I , page 377
Ce serait encore à l’aide de ce même théorème que l’on résoudrait cet autre problème : •
Décrire un cercle tangent à deux cercles donnés , et qui piisse par un point donné. Voyez le n° 6 de la Correspondance sur l’École Polytechnique.
THÉORÈME
76. [[Fig. 46. 3 Soient CA, CA' deux ellipses semblablés ; C leur centre commun ; AB, A'B' leurs grands ou leurs petits axes ; AM une perpendiculaire à Vaxe AB; AK une corde de la petite ellipse j faisant un angle quelconque avec AX ; MK' une corde de la grande ellipse , parallèle «AK; MK" une autre corde menée de manière que V angle K"MY soit égal à V angle K'MY' ; il s’agit de prouver que MK'+MK* = 2 AK.
ir® Démonstration. Soient AK = z, MK' = z', MK" = 2" ; désignons par a, b les demi-axes de la petite ellipse ; par A, B ceux de la grande ellipse, et prenons respectivement les équations
y-‘=p, + ix\ 1 y*=px + qx% )
pour celles de ces deux ellipses semblables (n° 75) , en supposant que , pour chacune , l’origine des coordonnées rectangles soit à son sommet.
Si tp est l’angle que z fait avec AX , on aura
x = z cos <p , y — z sin ç,
ou simplement
ainsi la première équation (1) devient = pzm -f- qz'm*
pm
n a — qm?
Pour transporter l’origine des axes du point A' au point M , sans toutefois changer leurs directions , soit A A' = a. , MA = /3 ; la deuxième équation (i) deviendra , à cause de x — et 4 x\ y = Æ 4 /;
(y 4 £ )a —p' (*' 4 «O 4 q (j* 4 * )ai
niais le point M étant sur la circonférence de l’ellipse A'C, on a entre et et /S la relation
de là l’équation précédente se réduit à
y 4- 2/2y = JD V -f- <7*'a 4 ;
et comme x = zm , y' = z'n , puisque a' et a sont parallèles , il s’ensuit que l’on aura
s'V1 4 = //a'/» 4 laqz m 4 qz^m*-,
par conséquent
, (/ 4 2e*<jr ) m —
Maintenant l’on remarquera que l’expression de 2" dérive de celle de a', en y faisant simplement n ou sin p négatif; en effet, l’angle K"MY' est négatif par suite de l’hypothèse établie ci-dessus. On a donc
delà
5" — if' 4" 2aUI ) ni 4 2jS/t
»a — qm*
2'4/= 2 (p' 4 2«g )rn
Or, les nissent
ellipses étant semblables et concentriques, four-
i58 PROPOSITIONS
a =s A —a ; la valeur précédente de z' 4. &" se change donc en celle-ci :
donc
2 (la m
z' 4- z" — ' A ' — : °-Pm
ri1 — qm*
/T — qm% ’ z' - i-z"—2z, C.Q F.D.
Cette conséquence aurait encore lieu pour deux hyperboles semblables, puisque p et p seraient négatifs, tandis que q serait positif; mais elle ne se vérifierait que pour deux paraboles égales et situées comme le sont les ellipses AC, A'C.
Ce théorème est énoncé dans la Théorie de la figure de la Terre j par Clairaut , page i58 , et sert de base à la recherche de la figure des planètes , lorsque leurs parties sont suppo sées homogènes. Ce grand géomètre a employé la considération de la projection orthogonale, afin de prouver que si ce théorème est vrai pour deux cercles concentriques , il l’est aussi pour deux ellipses concentriques et semblables ; mais notre démonstration plus directe a toute la généralité que 1 on peut desirer. En voici une autre purement géométrique.
2e Démonstration. Supposons que AS et SK soient tangentes à la petite ellipse, AS étant d’ailleurs perpendiculaire à l’axe AB. La ligne CS divisera nécessairement AK en deux parties égales; car on sait par la théorie de cette courbe (n° 160, L. C. ), que les tangentes menées par les extrémités d une même corde, se rencontrent sur le prolongement du diamètre; SC coïncide donc avec ce diamètre. D’un autre côté, puisque la corde MK' est parallèle à AK par construction , et que les deux ellipses sont semblables , la droite SC divise aussi MK' en deux parties égales au point N'; donc la tangente SK passe par l’extrémité K' de la corde MK . Par la meme raison, si par le point M on tire la corde mk" parallèlement à AK, la ligne SK passera
ue géométrie. t5g
pareillement par l’extrémité b" de cette corde. Concluons de là que est un trapèze. Or Am = AM, et
mh" — MR"; donc comme ci-dessus, MK" 4- MK' = 51AK.
PROBLÈME
77. Un cercle étant donné de grandeur et de position dans un angle connu , trouver le centre d'un cercle qui touche a la fois les côtes de l'angle et le cercle donné. QFig. 470
Soient et et /3 les coordonnées rectangles du point M situé sur la droite AM; x et y' les coordonnées du centre M/ du cercle cherché; r le rayon ND du cercle connu; b = PN l’ordonnée du centre de ce cercle ; et AN = B.
Le cercle P'C devant être tangent aux cotés AC, AC, son centre sera situé sur la droite AM qui divise l’angle CAX en deux parties égales; et les centres M', N, et le point de contact D seront en ligne droite. Or , entre les coordonnées des points M , M' qui sont sur la même droite AM , on aura cette relation :
y—, = ^ , ou ety == *'/?. (A)
De plus , entre la distance M'N des centres et les coordonnées de ses extrémités , on aura cette autre relation :
développant celle-ci, réduisant et substituant pour y' sa x'B .
valeur — , tiree de la première équation , il viendra , à
cause de B4== ota -f- b*,
d’oii l’on lire, en résolvant , par rapport à x' ,
l6o PROPOSITIONS
Cette quantité est susceptible d’une construction très simple et très élégante. En effet, prenez AQ = 6 -f- r> et l’ordonnée
QR aura pour expression analytique, jS r^~ portez
RQ de P en R', et AR' représentera la quantité rationnelle; menez au cercle donné la tangente AT, qui sera égale
à v/B1 — r% puisque AT = AN — NT; prolongez indéfiniment NT; et faites AS = AR'; la quantité radicale sera représentée par TS. Enfin , prenez SV= AS, et SV'= ST ; les parties TV, VV' seront les deux valeurs de x. La première partie répondant au cas où le cercle donné est entre l’origine et le cercle à décrire; et la seconde, au cas où le cercle à décrire est entre le cercle donné et l’origine.
Si l’on construisait les équations (A) et (B) , dont l’une appartient à une droite et l’autre à une parabole, les coordonnées des points d’intersection de ces deux lignes seraient à la fois les deux valeurs de x' et de y .
PROBLÈME
78. Diviser un trapèze entre deux parties égales par une ligne parallèle aux deux bases.
[Fig. 48. j Soient
AB= b y BD À , AC = h\ AP = *, PM = y. L’équation de la droite CD étant
Y=ir^ 'x + iï,
on a entre les coordonnées du point M la relation h — h' , „
et puisque l’aire du trapèze
ABCD b.
IÏE GÉOMÉTIÜE.
que celle du trapèze
APMC=(A~y)* + a^J
on en conclura
C(A-A')* + aAA'],= iî±Jp*t
ou bien
2 (A — h') x> + 4bh'x = (h + (A)
d’où l’on tire
± » / (h -+- h> . ii \ &a~
On conçoit que cette formule doit se simplifier beaucoup, lorsque l’une des bases, K par exemple, est nulle. En effet , pour le cas du triangle
mais lorsque h = h’ , on ne peut rien conclure de l’équation (B) dans l’état où elle est présentement; alors on effectuera la réduction de l’équation (A) , ou bien l’on procédera ainsi qu’il suit :
Changez h en h' + q dans la formule (B) , elle deviendra
x — W±.b\/ï{ ih'q -f- g» -f- 2 h'1)
développez le radical par rapport aux puissances ascendantes de q , ce qui s’effectue par la formule du binôme , ou plus commodément par la méthode des coefficiens indéterminés, et l’on aura cette série,
Lorsque A' = h, on a 9 = 0, et alors tous les termes de
propositions
oette série, excepté le premier -, s’anéantissent; d’où if 2 7
suit que x = -, comme on devait bien s’y attendre. Voyez ,
pour acquérir une plus ample connaissance de ce procédé d’analyse, le Traité élémentaire de Calcul différentiel , par M. Lacroix , 3# édit. , n° 94.
Rien ne serait plus aisé que de généraliser ce problème. PROBLÈME.
79. Diviser un triangle scalène en quatre parties égales , par deux lignes qui se coupent à angles droits.
[ Fig. 49*3 Soient AB = a, et et $ les coordonnées du soni met C du triangle donné , BN = z , AN' = z ' ; on aura
AN —a - Z y
et soit BD = a — «c =3 c, on aura
aire ACB =
La droite A£ aura pour équation
la droite CB,
b droite NH ,
la droite N’!!',
Hi
Si l’on combine les équations (2) , (3) , il en résultera , pour l’ordonnée du point H ,
A jSz
DE gêométbie. i63
et à cause que l’aire <lu triangle NHB = on
d’où l’on tire
A/3za Àc -f / 3
2za — ac
Si l’on combine de même les équations (i) et (4) , on obtiendra , pour l’ordonnée du point H',
TT, J, fa'
A£-f- et
et parce que l’aire du triangle A'N'H' = — — — -
d’où
2 z'a — aa
Maintenant, pour obtenir une première relation entre z et z', on égalera les deux valeurs de A et l’on aura , après avoir chassé les dénominateurs,
(2z'a — . aet) (2 za — ac) = aajSa; (M)
d’un autre côté les équations des droites NH , N'H' deviendront, en substituant respectivement pour A ses valeurs équivalentes (T) , (T') ,
2z a — aot
ce qui donne pour l’ordonnée du point M d’intersectior de ces mêmes droites ,
Mp =
2 ** — ac - f- 2 z'a — a* ’
mais parce que
NN' = AN’ — AN =z — a -f- z,
et que l’aire du triangle NMN' = NN' X — - = ,
on aura cette autre relation entre les inconnues % , z
2z* — ac-{-2z,a — aet 4 " *
ou bien remettant pour c sa valeur a — et, et simplifia nt
4 (z'-fl-|-s)* = 22s-a1 + 2/a,
2 s'* -f- 2 ea -f- 5 a* — 8 az + 8 zz — 8 az = o. (N)
Si l’on veut une solution géométrique du problème proposé, on construira séparément les courbes dont les lieux sont déterminés par les deux équations (M), (N); les divers points d’intersection de ces courbes donneront les valeurs de z et de z', et l’on obtiendra par le moyen de l’une des équations (T) , (T') , la position du point M oit devront se croiser perpendiculairement les droites NH, N'H'. On pourrait encore parvenir au même but en construisant, par la méthode exposée au n° 172 du Traité d’application de l’Algèbre à la Géométrie de M. Lacroix , l’équation du huitième degré résultante de l’élimination de l’une des inconnues entre les équations (M), (N); mais il faut l’avouer , quoiqu’il soit intéressant d’examiner si les formules dont dépend la solution d’un {problème de Géométrie peuvent se construire avec simplicité et élégance , les méthodes numériques d’approximation, au point où elles sont portées aujourd’hui, doivent être en général employées de préférence, parce qu’elles conduisent toujours, avec plus de précision, aux
résultats que les opérations graphiques n’atteignent qu’imparfaitement.
THÉORÈME
8o. Trois cercles inégaux étant donnés de grandeur et de position sur un plan , si en les considérant deux à deux on leur mène des tangentes extérieures jusqu’à ce qu’elles se coupent, les trois points d’intersection qu’on obtiendra de cette manière seront en ligne droite.
[Fig. 5o.] Supposons que les tangentes communes à deux des cercles donnés C, C', C", se rencontrent en A, M, M'; il s’agit de démontrer que ces trois points sont en ligne droite.
Soient r , r , r" les rayons des cercles C, C , CC", et faisons les distances
C'C"=a, CC n=za\ CC'=a",
C'M=Ù, CM'=A', AC' = 6"; enlin menons par ' le point M la droite Mr parallèle à CM', jusqu’à ce qu’elle rencontre la droite AC', et faisons
On aura, à cause des triangles semblables C'C"C , C'MR', ces deux proportions
et si la droite AM ne passe pas par le point M' où les tangentes aux cercles CC" se rencontrent , elle coupera la ligne des centres C"M' en un autre T>oint m. Dans ce cas les triangles semblables AR'M , AC m , donneront
b" — x ly y. a"+b" : Cm;
id’où
Cm = *(<*" + b') a'b («*+/>
b" — x ab" — ■ a" b
Mais par le problème du n° 61 , on a C'M = b =^lr,
ainsi en substituant dans l’expression de Cm pour b et b" leurs valeurs, on aura, après les réductions qui se présentent d’elles -mêmes ,
cette valeur étant précisément celle d e b' , on doit en conclure que les points m et M' coïncident; donc le théorème énoncé a réellement lieu.
Les élèves pourront s’exercer à chercher à exprimer les coordonnées des points M, M', C" en fonction des rayons rr r", et des distances ad a", en prenant pour axes des x, y, les droites AX, A Y perpendiculaires entre elles. Si par exemple, xy, x'ÿ , sont les coordonnés rectangles des
points M , M', ils trouveront que ~ , ce qui démontre
encore la proposition; mais ce procédé analytique n’est pas le plus simple que l’on puisse imaginer.
Si les tangentes communes à deux cercles se coupaient entre leurs centres, c’est-à-dire si elles étaient menées intérieurement à ces courbes , il y aurait toujours deux de ces points d’intersection ef l’un des points A, M, M' qui seraient sur une même droite ; c’ est ce que l’on propose de démontrer.
Lorsque Ion a r = r, non-jeulement les tangentes M, n ; M K sont parallèles entre elles, mais encore la ligne C C,qui joint les centres des cercles égaux , est parallèle à la droite AM qui passe par les concours des tangentes
communes à deux, cercles inégaux [ fig. 5i J. Cette proposition qui, je pense, n’avait pas été remarquée avant la première édition de cet Ouvrage, ne laisse pas d’être curieuse : on peut, d’après ce qui précède , en donner facilement une démonstration à priori, et nous observerons aux lecteurs familiarisés avec les considérations de la Géométrie descriptive , que cette même proposition conduit naturellement à la suivante :
Si de trois sphères données de grandeur et de position , deux sont égales, la commune section du plan qui passe par les centres des trois sphères et du plan qui leur est tangent, est toujours parallèle à la droite qui joint les centres des sphères égales.
THÉORÈME
81. Si par tant de points que Von voudra d’une droite donnée de position à lJ égard d’une courbe quelconque du second ordre, on mène de deux en deux des tangentes à cette courbe, les lignes qui joindront les contacts d’un même couple de tangentes se couperont en un seul et meme point, et réciproquement.
Supposons que la courbe du second degré soit rapportée à des axes obliques [ fig. 54] , tels que l’axe des^ soit parallèle à la droite donnée TT'-, son équation, en plaçant l’origine des coordonnées à l’extrémité A d’un de ses diamètres , sera (n° 5a )
(0 y* =a mx -f- nx'%,
et une droite T'M' , qui serait tangente à cette courbe et qui serait assujettie à passer par un point T' ayant pour coordonnées ct/3 , aurait pour équation (2) 2 fiy' = ( 1 -f- m) x' -f- ma.
Mais cette seconde équation est aussi celle de la corde >r m qui joint les points de contact des deux tangentes
qu’on peut mener par un même point, lorsque x' et / sont considérées comme les coordonnées courantes (n° 55); ainsi l’abscisse du point où cette corde coupe l’axe des x est
(3) *'=- — i2ïL
1i.net. -f- nt
et ne dépend que de la distance a de l’origine A des coordonnées au point T ou- la droite TT/ rencontre l’axe des x : sa valeur sera donc toujours la même quand on ne fera varierque l’ordonnée & du point T' ; ce qui suffit pour prouver la vérité du théorème énoncé.
Il est inutile de faire remarquer que cette valeur particulière de *'=AR se présente sous la forme négative, parce que nous avons supposé originairement l’abscisse a positive. Si l’on voulait se conformer à la disposition de la
figure, il faudrait écrire - ; mais dans l’un
2/ia -f- m
comme dans l’autre cas, l’on voit que a et x sont de signes contraires.
L’équation (1) , et celle (2) dans laquelle on ferait /3=o, prouvent sur le champ que la droite menée par le sommet d un angle circonscrit à une courbe du second ordre et par le centre de cette courbe , divise la corde de contact en deux parties égales.
PROBLÈME
82. [ Fig. 55. J Deux points B, C étant donnés de position à l égard d'un cercle connu , trouver sur la circonférence un point M , duquel menant au centre A , et aux points donnés les droites AM, MB, MC, les sinus des angles AMB, AMC soient entre eux dans le rapport de min.
Joignez les points donnés par la droite BC , et du point A, centre du cercle donné, abaissez sur cette droite la perpendiculaire AY , que vous prendrez pour l’axe des ordonnées,
et menez la droite AX parallèle à BC, ce qui ne peut manquer de simplifier les calculs. Enfin , des points B, C, abaissez sur AX les perpendiculaires BH , CK.
Maintenant, soient
AH = cl, AK = et! , BH — CK = iS,
et x , y les coordonnées du point M cherché.
La droite BM qui doit passer par un point B dont les coordonnées sont <*, forme avec l’axe des abscisses un angle dont la tangente a pour expression
De même la droite MC forme avec l’axe AX un angle dont la tangente est
Enfin , la tangente A" de l’angle produit par la droite AM et l’axe des abscisses, s’exprime par
Or, selon le n° /\5, le sinus de l’angle M'MC, formé par les deux droites AM , MQ , a pour expression ,
V 1 + A'a v/i + A"a> a et a étant ici représentées par A", A'.
Concluons de là que sinus CMA , ou
sinus M'MC = - .y («'-«)-* (g -jO
»/(«' — X)-+ (fi — yY Ÿx'+y'
Par la même raison, si l’on substitue A à la place de A', et que l’on fasse usage des valeurs analytiques rapportées plus haut , on obtiendra sin BMA ,
ou .il, AMN = y(.« + *) + (/> -y)
Mais , suivant l’énoncé clu problème , on doit avoir cetté proportion :
sin AMB : sin AMC II m I n\
d’où
m sin AMC = n sin AMB.
Mettant dans cette équation, au lieu de sinus AMC f et de sinus AMB , leurs valeurs calculées ci-dessus , on aura , après s’être débarrassé des dénominateurs, et avoir simplifié.
(*V — te) xy -f- (/3 — yy
— {*™y -f $mx) {/ (*'— x Y + C/3 — y Y- (0 Si l’on combinait cette équation avec celle du cercle donné *'+a* = r\ (2)
on arriverait à une équation du sixième degré en x , et en appliquant le procédé du n° 172 ( L . C.), on obtiendrait l’abscisse AP du point cherché (*). C’est à ce résultat qu’est parvenu Descartes dans la soixante-cinquième de ses Lettres , tome III. Il est remarquable que la solution de ce problème dépend d’une manière bien simple de celle de cette question:
Trois points A , B , C étant donnes [ fig. 56 J , soient dé-~ crites des circonférences sur les distances AB, AC prises pour diamètres , et du point A soient menées tant de cordes AE, AD que V 'on voudraj mais qui soient toujours entre elles dans le même rapport ; on demande la nature de la courbe sur laquelle se trouveront les points M d* intersection des droites E C , BD.
(*) U n’est peut-être pas inutile de prévenir que les quantite's renfermée» sous les radicaux de l’éqnation (1) sont susceptibles d’être simplifiées au moyen de l’équation (2) ; et c’est ce qui fait que l’équatiop finale en * n’est que du eixième degré.
Si l’on appliquait convenablement l’analyse précédente à ce problème, et que l’on prît AD et AE dans le rapport de min, c’est-à-dire de sin AMB : sin AMC, on re touillerait sur l’équation (1) : d’où il suit que lorsque l’intersection des droites EC , BD s’effectuera sur la circonférence du cercle donné , le point M sera celui qui satisfait à la première proposition; et c’est ce qu’il est facile de voir d’abord sans faire aucun calcul.
On démontrerait fort aisément, par la méthode des minimisj qu’une bille allant de B en C, en frappant la bande circulaire M , doit parcourir une ligne brisée BMC , telle que les angles BMA , CMA soient égaux.
PROBLÈME
83. Etant donné un point lumineux d’où partent des rayons divergeas qui viennent frapper une surface sphérique réfringente j trouver le point de concours de chaque rayon réfracté avec l’axe de la sphère qui passe par le point lumineux j connaissant d’ailleurs la direction des rayons incidens.
[Fig 57.] Soient les lignes connues AC = «, BC = r, CP =p , PM = q ; et l’inconnue CX = z.
Si l’on prend le point lumineux A pour origine des axes rectangles, l’équation du rayon incident AM sera
et celle du rayon réfracté MX,
*+pK Jy
De plus entre p et q on aura la relation
£ela posé, puisque les perpendiculaires CE, CF partent
du point C situé sur l’axe des abscisses, ou aura (n* 43) par rapport au premier rayon ,
Vï-h«a ctp + r*’
et par rapport au rayon réfracté ,
cf = = ^WZEîL .
Vi+a* )/z*+2pz+r*’
or le rapport du sinus d’incidence au sinus de réfraction étant censé connu, on a CE : CF :: « : k. On déduira donc de là, et des valeurs analytiques précédentes,
V* — 2 */> *+■ r* \/ z' + ijpz + r*'
et si , pour abréger , on fait m=—t a 4-- - m , on
te U
tirera de cette équation
z r= mP -f- j/my — 2 mr'/ï-f* mnr * n — 2 p
Ainsi quand on aura la direction du rayon incident AM , on connaîtra le point M ; et à l’aide de cette valeur de z , on aura le point X de concours du rayon réfracté MX avec l’axe AX.
Le problème que nous venons de résoudre est le 3 1 e de l’ Arithmétique universelle. L’illustre auteur de cet immortel ouvrage l’a résolu par la comparaison des triangles semblables que présente la construction de la figure , et il est parvenu au résultat précédent. Selon cette figure les rayons incident sont divergens et passent dans un milieu plus dense; mais s’il arrivait le contraire, le procédé de calcul serait encore le même, en ayant égard toutefois à la différence des conditions.
84. [] Fig. 58.]] Un point M étant donné de position dans un angle connu BAX, trouver les coordonnées du cen tre (T un cercle tangent à la droite AX, qui passe par le point M et qui coupe le côté AB, de manière que la partie m m" interceptée dans le cercle soit d’une grandeur donnée . Soient a, (Z les coordonnées du point M;
mm' ~ 2p ,
la tangente de l’angle BAX=a.
Soient en outre
il ; !
les coordonnées des points
et puisque le cercle doit être en contact avec AX, son rayon sera égal à fi'.
L’équation du cercle cherché, pour un point quelconque de sa circonférence, est (n° 47 )
et pour le point donné
(* — *')*+(/ 1—fi')'=zP% (a)
de plus la droite AB est donnée par
et par rapport à la distance m ni on a
Toutes les conditions du problème étant exprimées par des équations, et celles-ci étant en nombre suffisant pour déterminer les inconnues , on obtiendra une équation finale en * ou en Voici le détail de l’élimination.
Les équations (i) et (3) étant 'accordées ensemble donneront les valeurs de x, y et de x' , y x c’est-à-dire, les coordonnées des points d’intersection m, m', parce qu’en général une droite coupe la circonférence en deux points : On trouve en effet,
a/3' -4 -«t'rt l/ — a? a* -j- 2 a a.'
aa.' -\-a2tà' zLa y/cfp'* — aaa'a-f- 2 aa'j 3'
Or, si l’on désigne seulement par x, y les valeurs de ces expressions relatives aux signes supérieurs des radicaux , et par x x y les valeurs prises par rapport aux signes inférieurs, on aura, après avoir éliminé x,y, et x' , y de l’équation (4) , et chassé le dénominateur,
4 P*(«*+ 1 )a=4aa0'a(aa-f- 1 )— 4aaa'3(aa4- i)-f-8o/S'(aa-*-i )« ;
ou bien simplifiant, et faisant pour abréger,
ax -f- i = m* ,
on trouvera
p*m* =aa£'a — a Va-j- 2 aa'/3' (*). (A)
Faisant passer le terme aVa dans le premier membre ; ajoutant ct'a de part et d’autre , on aura
(*) On parviendrait tout d’abord à ce résultat, si l’on voulait partir de cette considération, que dans le cercle, toute perpendiculaire M'N abaissée du centre M' sur une corde mm' divise cette cordc en deux
parties e'gales. En effet, les coordonne'cs du point M' étant désignées par *' et fi, l’expression de la perpendiculaire M'N sera, par le & — «*' a! — f
nQ 43, - . » ou — - — ; et à cause de mN = p et de
mM' = /6, le triangle rectangle mNM' fournira cette relation entre ses
côtés , ^ - h P* = f'*, laquelle étant développée , deviendra
identique avec le résultat dont il est question.
DE GÉOMÉTIUr.. 1 7^
p2ml -f- *2(a2 -f- i )=aaj3'9 -f-aasc'/S' -+-<* J<
Enfin, extrayant la racine carrée, et faisant attention que à1 -f- * = m* ; il viendra
J’observe maintenant que de l’équation (2) on tire , en désignant a.2 -(- fi2 par y* ,
Ainsi substituant cette valeur dans l’équation précédente, il en résultera , après avoir chassé le radical et le dénominateur, et ordonné par rapport à l’inconnue
lct'î+4 ) |
-f-aa»y«
d’où l’on voit que la valeur de l’abscisse <*' du point de contact cherché dépend d’une équation du quatrième degré; mais pour donner à cette équation une forme un peu plus simple, nous rendrons d’abord tous ses termes homogènes , en restituant partout où il en sera besoin , les puissances de l’unité qui peut être prise arbitrairement (n° 71. L. C.). Pour cet effet, soit 1 = *,>n aura, en vertu du principe de l’homogénéité ,
rt’*'4-l-4(«*/3— ‘ a,*)«/î+4(*/3— a*Ÿ |*'*+4 a**y+a»y< ■]
Divisant tout par a2 , et posant pour plus de commodité
il viendra enfin,
i*,:i4-4ya(^— -y+v4
propositions
Il est très remarquable que cette dernière équation cdn tenue par une méthode vraiment analytique, est la même que celle à laquelle d’autres auteurs sont parvenus à l’aide de quelques constructions préparatoires. ( Voyez à ce sujet la Géométrie de Bossut, page 345. ) Il y a plus, c’est que ces constructions, qu’il a fallu d’abord imaginer , sont indiquées par les valeurs mêmes de e et de f\ car si par le point donné M on mène respectivement aux droites AF, AP, les parallèles DM , ME , les parties DP, AE , auront pour expression eti 3 fini
la ligne PF étant considérée toutefois comme la tangente de l’angle A. Cette conformité de résultats est donc une preuve de la généralité de la méthode que nous employons dans cet Ouvrage.
Sans chercher à construire l’équation finale en on peut résoudre graphiquement le problème, en construisant d’une part l’équation (A) , et de l’autre l’équation (B) ; parce que le nombre des intersections de ces deux courbes déterminera le nombre des cercles susceptibles de satisfaire à la question. De cette manière , les solutions graphiques sont souvent plus élégantes et plus simples que par l’autre méthode.
On peut aussi résoudre les équations à l’aide des tables de logarithmes et de celles des sinus ; mais nous ne donnerons aucun exemple de ce genre : nous indiquerons seulement la Trigonométrie de Cagnoli , qui ne laisse rien à désirer à ce sujet.
PROBLÈME
