Trouver le rayon dJ un cercle tangent à trois autres

Première solution. Supposons que le cercle C touche extérieurement les trois autres c , c', c" donnés de grandeur

et de position. Soient r, r, r" les rayons de ces derniers, R celui du cercle C cherché, « = ce”, a! — ce" ; a = cc, les distances connues des centres des trois cercles donnés ; ç> l’angle que ri fait avec la distance inconnue cC = R + r; enfin l’angle ccc' = 0.

Le triangle Ccc" donne

(R + r")* = ri'1 -f- (R -f- r)* — 2* (R -f- r) cos <p ; le triangle Ccc donne de même,

(R + /)*— a"a 4- (R -h r)% — 2a" (R 4- r ) cos (0 — ç) ;

faisant les développemens des puissances et réduisant, on obtient

(D) (R +r) cos? = — - R +

(E) (R + r) cos (8 - ») = R + - ■ ± >*.~ *■-.

Telles sont les équations les plus simples entre les deux inconnues R et ç>. Pour en éliminer l’angle $>, écrivons d’abord ces deux équations d’une manière abrégée, ainsi qu’il suit :

(D') (R 4- r) cos q> = 771R 4~ n ,

(E') (R + r) cos (0 — <p) = /ra'R 4- ri, (*)

et remarquons qu’à cause de

cos (0 — <p) = cos 0 cos ç 4" sin ® sin p ,

on a

sin 0 sin p := cos (0 — <p) — cos 0 cos <p ; par suite, en élevant les deux membres au carré et réduisant,

(F) cosap4-cos9 (ô — p) 4"COSs0— 2 cos 0 cosp cos (0 — $) — 1 .

{*) Les valeurs de n et n! sont faciles à construire, puisqu’elles donnent Ja position des centres radicaux des cercles ce" et ce' (n* 47)*

i ’jS rn orosiTiois»

Mettant ici pour cos f et cos (9 — ç>) leurs valeurs tirées de (D') et (E')> il viendra

(G) m'-\-m* ! R* -(- 2 ( mn -f m! ri) I R -+- n% -f- ri* ï

— sin4 9 j — 2 r sin4 9 I — r4 sin4 6 J

Nous voilà arrivés par une route très directe à l’équation du deuxième degré, qui fait connaître le rayon du cercle cherché et qui donne par conséquent deux valeurs de R. La plus petite valeur est le rayon du cercle C touche extérieurement par les trois autres , et la plus grande est le rayon du cercle touché intérieurement par ceux-ci. Je ne parlerai ni des six autres cas particuliers , qui se déduiraient aisément de cette équation, ni de la construction géométrique à laquelle les équations (D, E) donneraient lieu; parce que la solution suivante, due à M. Gergonne, est d’une extrême simplicité et de la plus grande élégance, et qu’elle s’applique non-seulement à la recherche d’une sphère tangente à quatre autres, mais même à celle d’un cercle qui en touche trois autres donnés sur la surface d’une sphère, comme on le verra dans la troisième section. (*)

Deuxieme solution. Rapportons tous les cercles à des coordonnées rectangles, et désignons en conséquence par a y b les coordonnées du centre de c; par a, b'} celles du centre c'; par A, B les coordonnées inconnues du cercle cherché C, dont le rayon est R; enfin , par x }y les coordonnées du point où le cercle c", dont nous placerons le centre à l’origine des axes, touche le cercle C à décrire. On aura (n° 4?), en supposant que tous les contacts soient extérieurs ,

(*) Le n® 6 <le la Correspondance sur l'École Polytechnique , et la Géométrie descriptive de M. Hachette, contiennent une solution géométrique tant du problème actuel que de celui où il s’agit de déterminer le centre et le rayon d’une sphère tangente Jl quatre autres sphères don nées. Viète, qui a résolu le premier problème, l’a ramené à U description d’un cercle tangent ?1 deux aulreB et passant par un point donné.

(0 (A — ay H- (B — by = CR + r)“,

(3> Aa 4- Ba = (R -J- r"y.

Ces équations sont en nombre suffisant pour faire connaître les coordonnées A, B' et le rayon R du cercle cherché ; mais comme le mérite d’une solution tient à la simplicité et à l’élégance des constructions géométriques , il vaudra mieux procéder d’abord à la détermination des points de contact du quatrième cercle avec les trois autres , afin de n’avoir ensuite qu’à décrire un cercle qui passe par trois points donnés. En partageant ainsi l’opération pn deux parties, l’on ne peut manquer d’éluder la. difficulté que présenterait la recherche directe des coordonnées et du rayon du cercle à décrire. Or, un des points de contact, par exemple celui des cercles c" et C , est nécessairement situe sur la droite qui joint leurs centres , et cette droite a évidemment pour équation

(4) Ay = Bæ.

Si donc x , y sont les coordonnées du point de contact cherché, on aura en outre entre elles cette relation

Ainsi , les inconnues du problème sont maintenant x y , A , B , R. Pour les réduire à deux , tâchons de trouver entre x,y une relation indépendante de A, B, R. D’abord on voit , par la forme des équations (i , a, 3), que les carrés de A , B disparaîtront , en prenant la différence de chacune des deux premières à la troisième. En effet , on a, après les développemens et les réductions ,

ou en introduisant ici R-j-r", afin de rendre plus facile l’élimination de R entre ces équations et celle (3),

(8) 2aA 4- 2ÔB —2 (/"— r )(R-f/")=a2 4-i1 — (r"— / )% (g) 2a' A -f- 26' B — 2(r" — r) (R.4-O ^ 4 ^-2— (r" — r')2-

Ces deux dernières et l’équation (3) conduiraient donc de la manière la plus simple aux valeurs analytiques des coordonnées du centre et du rayon du cercle cherché ; mais puisque nous voulons trtmver la droite sur laquelle est situé le point de contact des cercles c" et C , combinons entre elles les équations (3,4, 8, 9) ainsi qu’il suit.

Des équations (3 , 4) on tire

V x'-hy* ’ V*'+y*’

ou plus simplement , à cause de la relation (5) , on a

Substituant ces valeurs dans (8) et (9) , il vient a[« 4-èy— r"(r"~r)] (R-K)=r"[>a +A* -(r"-r )a] , *[Jx+Vy-r'{f-f )] (R+r^rV’+^-C/-^)*] ; enfin , en éliminant R 4 r"> on a

, A ax-k-by — r*(r" — r) a' x 4- b'y—r\r— r)

C 1 aa4" (r"— r)a “ a/a4- *>'a — (^— /)* *

Telle est l’équation d’une droite qui coupe le cercle c ” en deux points, et qu’il faut coustruire. Elle conserve la même forme lorsque tous les contacts sont intérieurs, parce qu’alors les signes des rayons r, r , r11, changent à la fois : elle résout donc deux problèmes absolument opposés.

Si l’on égale chaque membre à une indéterminée M , on aura ces deux droites ,

J ax —r(r"—r ) = M [aa — b* — (r*— r )tt] ,

CA) t a'x+b'y-r"(r"—r') = M [a'a4-6'a-(r"-r')*] , dont la commune section sera évidemment un des points

DE GÉOMÉTRIE. l8ï

de la ligne (io). Mais puisque M peut être quelconque, il y a évidemment une infinité de systèmes de droites qui satisfont à la question. Soient donc successivement M = o, M = x , on aura ces deux couples d’équations,

(il) + by = r" (r" — r ) ,

(i3) a (ar — a) b (y — b) ~ r(r" — r) ,

(x4) a\x — a) + b' (y — b')=zr' (/" — /) ,

lesquels sont propres à fournir deux points de la droite cherchée. En les comparant à l’équation (7) du problème du n° 55, on verra sur-le-champ que l’équation (xi) est celle de la corde de contact avec le cercle c" des tangentes communes à c et c"j que, pareillement, l’équation (x3) est celle de la corde de contact des mêmes tangentes avec le cercle c; enfin, que les équations (12 et x4) sont les cordes de contact avec c" et c des tangentes communes à ces deux cercles. 11 n’est pas moins évident que les droites (xi, i3) sont parallèles entre elles (n° 4°) et perpendiculaires à la droite qui joint les centres des deux cercles ce” ; et que les droites (12, x4) jouissent d’une propriété toute pareille.

De là résulte cette construction donnée par M. Gergonne : * Soient menées les tangentes communes extérieures à nos >! trois cercles pris deux à deux, et les cordes de contact de » ces tangentes avec chaque cercle. Les deux cordes de con- » tact sur c se couperont en M, et leurs parallèles sure et )> c " en N. Les deux cordes de contact sur c se couperont » en M', et leurs parallèles sur c et c en N'. Les deux « cordes de contact sur c1 se couperont en M", et leurs pa- » rallèles sur c et c en N".

» Soient menées MN, M'N', M"N"; MN coupera c en 1 » et 8 -, M'N' coupera c' en t' et 8' -, et coupera c" en

» t" et 8". Faisant ensuite passer deux cercles l’un par

” t’ ^ i t t l’autre par ô , b', b", ces deux cercles rempliront » les conditions du problème.

” peut remarquer, au surplus, que les centres de ces » deux cercles sont faciles à déterminer ; car ils se trouve- ” ront à l’intersection des droites menées des centres des » cercles donnés, soit aux trois points t , t’, tn, soit aux » trois points fl , b', fl".

» On se convaincra facilement, d’après tout ce qui a été » dit ci-dessus, que, pour obtenir les six autres solutions » dont le problème est susceptible , il ne s’agit que de sub- ” stituer , tour à tour , à deux des couples de tangentes exté- » rieures, les couples de tangentes qui se croisent entre les * deux cercles qu’elles touchent à la fois.

» En vain objecterait-on que lorsque deux des cercles » donnés sont l’un dans l’autre, en tout ou en partie, ces ” constructions sont en défaut, puisqu’alors ils n’ont plus » de tangentes intérieures communes, et peuvent même « n’en point avoir d’extérieures : on peut observer en effet » qu’alors même les droites (n, 12, i3, 14 ) ne Cessent » point pour cela d’être réelles, et peuvent toujours être » construites. On peut même définir les droites (11 , i3) , ” indépendamment de toute considération de tangentes , en ” disant que ce sont des cordes ayant pour pôle commun » le centre de similitude de c et c * (n° 47 )• »

Le tome VII des Annales de Ma thématiques , pag. 28g et suivantes , renferme sur cette matière d’autres détails non moins intéressans , dont le lecteur fera bien de prendre connaissance. Il suffisait ici de faire voir que ce problème et son analogue dans l’espace , sur lesquels tant de géomètres anciens et modernes se sont exercés , peuvent être traités par les voies les plus élémentaires et avec la plus grande facilité.

THÉORÈME

86. Si à partir de l’extrémité (o) du diamètre d’un cercle de rayon a , l’on divise la circonférence en 2 m parties égales j et que l’on désigne par (i), (a) , (3). . . tant les points de division qui sont d’un côtéj que ceux qui sont de l’autre côté du diamètre ; ensuite que d’un point extérieur pris sur le prolongement de cette ligne , du côté de son ex ti'émité (o) , et à une distance x du centre j on mène au premier système de points dedivision les droites p (,) p(a) f(3yet au second système les droites <(,) S(S) î(3). . • , le produit de toutes les droites p(o) p(t) p(45 . . . . . . correspon-

dantesaux numéros pairs , sera égal à xm — am, et le produit de toutes les droites correspondantes aux numéros impairs sera égal à xm -f- am.

Pour démontrer cette proposition, connue sous le nom de Théorème de Cotes, cherchons quelles sont les formes qu’aflcctent les racines des équations

xm — am = o, et xm-j- am — o.

D’abord il est démontré (p. 35 1 , Trigon. de Legendre) que (cos sin ç> V — i)m = cos mç + sin mp l/ — i:or, si l’on fait x = a ( cos <p -j- sin ç> \/ — i) , on aura a;"1 = am ^ cos m<p -j- sin nup \/ — i)j

et si l’on met cette valeur dans l’équation xm — am = o , on obtiendra

cos 7/i (p -{- sia m<p \/ — i — i = o.

Pour que cette dernière aitlieu, il faut nécessairement que la partie imaginaire s’anéantisse d’elle -même; alors cos m<p=. i , sin m<p=o.

Il existe une infinité de valeurs qui satisfont à cette seconde condition, sin nupzzzo -.en effet, on peut faire m<p = z*,

Z étant un nombre entier et tt deux angles droits. Mais la première condition exigeant que le cosinus de mp soit égal au rayon , il faut en outre que l’arc vKp soit un multiple pair de la demi-circonférence, c’est-à-dire, que l’on ait 2=2/1,

d ou <p = - ; donc

ar = cos - zt sin - y — 1 ]

\ m tji /

est l’expression générale des m racines de l’équation *"* — rt"»=0. Nous n’avons pas besoin de démontrer que lorsque/reest un nombre impair, cette équation n’a qu’une racine réelle qui estx = a; mais qu’elle en a deux lorsque m est pair, savoir x=-f-aetx= — a. Il résulte delà que ses deux 1 acteurs simples ou du premier degré sont

/ 2/î . an / - \

j — <z( cos — îr-f-sin — » V — il, \ m m /

en les multipliant l’un par l’autre, on a pour facteur réel du second degré

x — 20X COS — - » -b- a4:

c’est-a-dire que l’équation proposée est encore divisible par ce facteur. Ainsi, dans le cas de, m impair, elle peut être présentée sous la forme

y"-a” = (*a) (*>aa* cos— + «*) m '

X ( x* — 2 ax cos — -f* a4), etc.

Il n est pas difficile de prouver que, dans la même hypothèse, les racines de 1 équation jçm-^-am = o. sont comprises dans la formule

DE GÉONÉTRIE.

f (2/1 *4" 1 ) i • ./ — rN

x = a [ cos - - — 7f dt sm - J or y — * J >

et que par conséquent l’on a

= (x 4"a) (^a — 2<zx cos— -f-a*) m

X (xa— -2 ax cos — •+■<**)> etem

Cela posé , si a! @ , a" /S" , a* i S* . . . dénotent les coordonnées des extrémités de p(,) po p(3). . . comptes de l’origine de p, on aura

PO)- = « 3 + PCO3 = «"* + P' > etc. ; d’ailleurs, puisque

arc (o) (1) — ~> arc (o) (2) = arc(o)(3) = ~ , il est

Tilt Ul Tlm

clair que l’on a

al = x — a cos — , (T = a sin — j,