Aa+Ba+Ea4Fa+Ga-f Ha j 1 +4/>#4-4y4+4 Pa4-4Qa

formule qui , étant traduite en langage ordinaire , serait l’énoncé d’un beau théorème relatif aux hexaèdres dont les arêtes forment des quadrilatères quelconques.

On conçoit que quand toutes les faces d’un hexaèdre sont des parallélogrammes, les lignes P, p,Q, q sont milles; pour lors, l’équation précédente se réduit à

4A9 4 4Ea 4 4Ga = Da 4- Da 4 d> 4 c’est-à-dire que dans tout parallélépipède , la somme des carrés des quatre diagonales est égale à la somme des carrés des douze arêtes.

PROBLÈME

162. Par deux points donnés dans V espace , mener deux droites qui fassent entre elles un angle donné.

Soient en général */3y, a'/S'y" les coordonnées rectangulaires des points donnés M , M' ; et « , y , * , celles du sommet D de l’angle donné.

Les équations des droites DM, DM' sont respectivement

fi

or , si V désigne l’angle de ces deux droites, on auran0 i 20, l/(q — a')a-j- (6 — b' )'+ ( ab' — aby

tangV- 7 - aa' + bb'

Substituant donc pour a , a ,b ,b' leurs valeurs fournies par les équations précédentes , on obtiendra une équation en xyz qui sera celle de la surface sur laquelle sont situés tous les points D qui résolvent la question -, mais comme cette question conserve évidemment toute sa généralité, quelle que soit la position des points M, M' , à l’égard des plans coordonnés , supposons que le point M soit l’origine, et que le point M' soit sur l’axe des x; alors les équations des droites DM , DM' se réduiront à

et la xaleur de tangente V sera simplement, toutes réductions

faites ,

tang V =

partant ,

Quoiquejcette formule soit encore assez compliquée , cela n’empêche pas que l’on ne reconnaisse aisément qu elle donne lieu à une surface de révolution engendrée par un arc de cercle capable de l’angle V, et tournant autour de sa corde MM' = *'• effet , si l’on fait passer un plan par cette droite et par le point D , et qu’on désigne par u une ordonnée prise dans ce plan , perpendiculairement à x , on aura , à cause de u* =yi -f- z* ,

ou extrayant la racine carrée de part et d’autre ,

tang V*

Cette équation entre * et u est celle du cercle (n“ ad) , et reste la meme, quelle que soit la position du plan MDM' : le sommet de 1 angle constant des deux droites DM DM' est

d’être Spar lé! ^ ** réTOluti‘”> *>»t il rient

On voit par là le moyen de résoudre la question suivante • Déterminer la position d’un point situé hors d’un plan, en supposant que I on connaisse les angles que font entre elles les droites menées de ce point à trois autres points donnés sur ce plan. (Fbyez, pour la solution graphique de ce probleme , la Géométrie descriptive de Monge , ou celle de M. Lacroix. ) En y appliquant l’analyse , on aurait , comme le la. fait voir dans la première édition de mon traité de Glodisut, a résoudre en définitive une équation du huitième degre; ma, s en opérant de la sorte, la solution du problème perdrait nécessairement tonte son élégance et toute sa simplicité.

Si les points D , M', M" étaient donnés sur la sphère et que l’angle M'DM" fût celui des deux arcs de grand cercle DM', DM", la question se résoudrait d’une manière analogue a la précédente. b

Dans cette hypothèse , soient

les coordonnées rectangles des points D , M', M",

et plaçons l’origine an centre de la sphère dont nous ferons le rayon égal à l’unité. Cela posé, les équations des plans des deux arcs DM , DM" seront

A* + By + Ca = o,

A'* + B 'y + Cz= o ,

et l’angle <p Je ees plans sera donné par la formule

AA'+mv+qy

(4) COS? - v/v+'B^+cVa'‘+ B'r+C'“ '

Or, d’après le n° 122 ,

A = yz — z/, A' = ^z" %y J

B = zx' — xz'y B' = zx" — xz",

C = xy — yx', C' = xy" — yx -

Substituant donc ces valeurs dans (4) > PUIS développant

et réduisant en vertu des relations J'M- z* = 1 » etc> »

cm k — yy» 4- zz" — cos M'M* , démontrées au

n° 120 , il viendra

„r— cos-t — x'x'x” —y'y'y" — z'z * “1

— xy(xy"-\-yx")

— xz(x z" zx")

— yz{y‘ ’z" 4- Z y") , —

équation appartenant évidemment à une surface du 4* de- 2é en xyz , et dont l’intersection avec la surface de la JpWje produirait une courbe qui serait le lieu de tous les points D qui satisfont à la question.

Mais le problème serait tout - à- fait déterm.ne , si les arcs DM' = *' , DM" = *" étaient connus. En effet , il resuite du n° 120 que

xx 4* yy 4" zz = cos k ,

XX 4- yy" 4- ZZ = COs£".

Pour avoir une 3e équation du premier degré en xyz, désignons par | le volume de la pyramide appuyée sur le

triangle sphérique DM'M", dont les côtés sont *,*',*’> ** qui a"son sommet à l’origine des axes; nous aurons (n IM), en changeant D en S ,

(/="— «y> + («V— «Vjy + (*>* v'.v”) 2= s. Telles sont les trois équations à combiner entre elles pour avo,r les coordonnées x , y , s, dont les valeurs seront asser stmples en fa, saut attention aux relations précédentes , d„i, “ q“e <Ien°ra,naleur de ces valeurs se ré-

1 — (x'x" +yy + 8V). __ sintt*

Nous engageons le lecteur à effectuer ce calcul et à assigner lu. -meme le cas dans lequel la valeur de S doit être prise positivement ou négativement. Au reste, on a (n° i ,3)

Comme rien n’empêche , en Géographie, de prendre l’équateur terrestre pour le plan des x y , et le premier

^feTnTl G. d d“ °" 8 (n° ,37) ’en «S™nt

P * et p la latitude et la longitude du point D

, *?f «•/»<»• A, y ~ s*n p cos A , z = sin A

et par suite ,

Ce dernier problème est une généralisation de celui du • Quoique sa solution soit peu compliquée , elle l’est cependant encore trop pour être employée de . référen» a celle dont ou fa, t usage, en pareille circonstance, dans les operations geodésiques , oit il est d’ailleurs important davou- egard à la non-sphéricité du globe terrestre. (Géc, desieJ tom. I , p. 296.) v

Si, en Astronomie, l’on se proposait de déterminer la pos,t,on d un astre au moyen de ses distances à deux étoiles connues, l’on pourrait y parvenir i l’aide de l’analysepré-

Z 2f^,Z,xC°mSPOndanC,aStmn- "***">/>*• de M Zach , vol.IX , page 385. )

PROBLÈME

i63. Etant donnés tant de points quon voudra dans V 'espace j en trouver un autre tel , que menant par ce point une droite à chacun des autres, la somme des carrés de ces lignes soit égale à un carré donné.

Supposons, pour abréger les calculs, qu’il n’y ait que trois points donnés , ce qui n’ôte rien de la généralité de la solution du présent problème et appelons

les coordonnées des points

Soient en outre x, y, z celles du point M cherché.

On aura , en vertu du n° 129 ,

AM = (x — a )9 -|- ( y — 0 y + (z — y )% î

Â"M* = (X — *")a 4- (y - fiuy + (* — y")ft- J

Si l’on égale à q 2 la somme des seconds membres de ces équations développées , on aura , après avoir divisé tout par 3 ,

Il suit de cette équation , que lous les points qui satisfont au problème sont situés sur la surface d’une sphère dont le centre est précisément celui des forces parallèles supposées toutes égales entre elles et appliquées aux points ilounés A , A' , A" . . . . , ou , ce qui est de même , celui

tles moyennes distances de ces mêmes points aux trois plans coordonnés.

En effet, le moyen de transporter l’origine au centre de la sphère , est de mettre dans l’équation pVécédente,

au lieu de x,y, z; et comme la résultante est de la forme

«1 s ensuit que les coordonnées du centre de la sphère à décrire sont, en général ,

*4 - « -f- »... fi -j- fi' + y 4“ y ' 4- y"...

n étant le nombre des points donnés; ce centre est donc celui des moyennes distances de ces points aux trois plans coordonnés.

II est a propos de remarquer que la somme des seconds membres des équations (A) est susceptible d’être exprimée en fonction des moyennes distances , et c’est à quoi nous allons parvenir, sans recourir à aucun principe de Géométrie.

Supposons que l’on ait n binômes de la forme

(* — *)% (* — *'Y, (jf — *"y ... — *('»-•))».

En les développant et en les ajoutant , leur somme sera - a (« + *' + *" +.... «(->))*

+ («a 4- «'* -f- 4..... « (»-)») = S. CO

Soit, pour simplifier,

on aura

et l’on peut donner à cette expression la forme

or, *1 est facile de voir que

et si l’on fait encore pour simplifier,

l’équation (2) deviendra

D un autre coté , les second et troisième termes du premier membre de cette équation peuvent être écrits ainsi :

et en examinant avec attention le second membre de cette équation identique , on reconnaît qu’il dérive du développement de

Il suit de là que l’équation (3) ou (1) prend la forme

tÿ)V..=s

Donc , si l’on ajoute ensemble les équatiows (A) , l’on aura

DF. GÉuMÉTHII . 359

cette relation remarquable :

(•-W-K'-W-K'-Wl

+■(— W+^-W-K-Wl

Donc , dans tout polygone rectiligne plan ou gauche , la somme des carrés des distances de tous les angles à un point quelconque pris dans U espace,, est égale à la somme des carrés des distances de ces mêmes angles au centre des moyennes distances , plus au carré de la distance de ce centre au premier point pris dans l’espdèe , multiplié par le nombre des angles du polygone.

Au-delà de trois dimensions , la relation précédente ne signifie plus rien en Géométrie , mais étant appliquée aux nombres , elle en exprime , comme on voit, une assez belle propriété.

Si Fou demandait, maintenant , que la somme q% fût un minimum , ou verrait que le point cherché xyz serait le centre même des moyennes distances de tous les points donnés : en effet, puisque dans l’équation précédente les termes de la quatrième ligne sont les seuls qui varient, et que la somme de ces termes est essentiellement positive, il faut, pour que cette somme devienne nulle, que l’on ait séparément

Cest aussi à quoi Ion serait conduit en égalant à zéro la différentielle de la valeur de y* ( Calcul différentiel de M. Lacroix ) ; différentielle qui doit être prise successi-

vcraent par rapport à x , y , z, vu l’indépendance de ces variables.

THÉORÈME

164. Si les centres ou sommets dJune suite de surfaces coniques enveloppant une surface du second ordre j sont tous sur un même plan situé d'une manière quelconque dans r espace j les plans des lignes de contact de ces surfaces coniques avec la surface donnée passeront tous par un même point.

L’équation d’une surface du second ordre , rapportée à des axes obliques, étant

AV 4- B'y1 + C V 4- 2D'x = 0, ( 1)

celle du plan langent rapportée aux mêmes axes , et assujettie à passer par un point ayant pour coordonnées a., fi, y, est (n° 148) *

(C'a +D> + B ’fiy 4- A 'yz 4- D'a = O. (2)

Cette équation (2) est aussi essentiellement celle du plan de la courbe de contact de la surface (1) et de la surface conique enveloppante , dont les coordonnées du sommet ou du centre sont a-, fi, y, et comme l’abscisse du point où ce plan coupe Taxe des x est

D'at

on voit que cette abscisse ne dépend que de la coordonnée « : sa valeur sera donc la même quand on ne fera varier que les deux autres coordonnées fi , y. Or, rien ne s’opposant à ce que l’on prenne l’un des plans coordonnés parallèle au plan sur lequel sont situés les sommets des surfaces coniques, il est évident que ce plan contiendra les coordonnées /S , y , et que tous ceux des courbes de contact dont il s’agit se couperont en un même point de l’axe des x ; ce qui prouve la proposition énoncée.

liée he relie des équations des courbes qui résultent des sections du cône par un plan.

i65. Lorsque l’on eut découvert , par la Géométrie , les principales propriétés des différentes courbes que l’on obtient en coupant un cône à base circulaire par un plan , et que l’on eut inventé l’Algèbre , on chercha à vérifier ces propriétés par le calcul algébrique , en considérant simplement ces courbes en elles- mêmes; c’est-à-dire qu’on les regarda comme des lignes tracées sur un plan suivant une certaine loi , ou comme des cas particuliers de l’équation la plus générale du second degré entre deux variables. Pour démontrer synthétiquement l’identité de ces courbes avec les sections coniques , on suppose , dans tous les livres élémentaires , que le plan coupant est toujours perpendiculaire au point mené par l’axe (n° i5i. L. C.); mais celte méthode , qui n’est point générale , laisse par conséquent quelque chose à désirer. En voici une autre entièrement analytique, qui remplit mieux le but, et me paraît plus simple que toutes celles qui ,à ma connaissance, ont été employées jusqu’à présent pour cet objet.

£ Fig. 92.] L’équation de la surface du cône oblique, est, par le n° i44 >

ô* — ca(xa-f-J'a) — lacxz — 2 beyz = o ; (C)

son sommet étant place a l’origine des coordonnées rectangulaires, sa base étant parallèle au plan desxy, le centre O de cette base ayant pour coordonnées a , b , c , et son rayon BO étant désigné par r.

Le moyen qui semble le plus commode pour discuter la courbe d’intersection cherchée, est, comme au n° i34, de placer l’origine et la direction des axes , de manière que deux des nouvelles coordonnées relatives à la surface du cône soient précisément dans le plan coupant ; car, on conçoit que pour toute la partie commune à ce plan et à la

surface conique , la troisième coordonnée est nulle. Nous pourrions donc employer, à cet effet , les formules

x = a -f- x cos p -h y' sin q> cos 0 , y = Æ -f- x sin <p — y' cos <p cos 0 , z = y -f- y' sin ô ,

p étant l’angle que la trace horizontale X'K du plan coupant Y'KX' fait avec l’axe des x , et 0 l’angle que ce même plan forme avec celui des xy. Mais pour simplifier les calculs, sans altérer en rien leur généralité , nous ferons, dans ces formules, sinç> = i et /3= o , c’est-à-

dire que nous placerons la nouvelle origine N dans le plan xz ; alors on aura

A p = », pN=y, angle Y'KX=0,

et, partant,

x = et -f- cos 8. y' , j 1 x = cl my ,

y = x' , > ou simplement \ y = x ,

z = y -f- sin 6. y'} J ’ z — y -f- ;ty'.

Cela posé, si l’on élimine de l’équation (C) les variables x , y, z à l’aide de ces valeurs, on obtiendra , en faisant a.* b* — /•“ = p ,

(p/i* -f- ca/rea — iacmn)y'* — "xbcnxÿ -f- c*x'2 f j -f* 2 Cpyn 4- — acten — acym)y — 2 bcyx' f (D)

+ pya -f- *Va — laucy — O.

Cette équation, qui est celle de la courbe d’intersection du plan xy et de la surface conique, donne nécessairement naissance à l’une des trois courbes du second ordre , puisqu’elle est de la forme

A/a-+- ïïxÿ -f- Cor'1 -f- D y -f* Ex' -f- F = o. (D")

Il ne s’agit donc plus que d’assigner la position du plan sécant , pour qu’il en résulte telle ou telle courbe.

.Si l’on suppose d’abord « =s o , y = o , ce plan passpra

par l’origine, et l’on aura simplement

(pn2~h c*m* — "iacrmi)ÿ* — ibcnx'y + cV* = o , î . ou Aya -f- Ex'/ -f-C*'a = o. J Ct)

Cette nouvelle formule appartient en général au système de deux droites; car , en la résolvant par rapport à y' , on obtient

d’ou il suit que tant que la quantité B* — 4AC n’est pas nulle ou négative , la section entière du plan xy ' passant par le sommet du cône forme un triangle ; mais lorsque B1 — 4^C = o , les deux droites fournies par l’équation précédente se confondant, le plan coupant est évidemment tangent à la surface conique. Cette circonstance a donc lieu quand le premier membre de l’équation (E) est un carré.

Si , en supposant seulement y = o , on cherchait ce que devient la section du plan xy dans le cas où n — o , l’équation (D) se réduirait à

et, comme alors la valeur dey' ne peut être réelle qu’autant que x = o , auquel cas / == — a. , il en résulte que la section se réduit à un point ; ce qui est d’ailleurs évident.

Pour une section parabolique , l’équation ( D ) fournit entre les coefficiens de ses trois premiers termes , la relation

Ba — 4^C = o , ou bana — pu* — c*ma 2 acmn = o ,

que l’on peut mettre sous la forme suivante , en remplaçant p par sa valeur ,

(an — cm)a z= r*n',

et d’où l’on tire

m tan£ 9 - a Hh r '

Ce résultat nous apprend que pour que la section soit une parabole , le plan coupant qui passe ailleurs que par la primitive origine A [ fig. 93 ] , doit être parallèle à la ligne génératrice du cône. En effet , si l’on forme le prisme triangulaire G AH, EFB, la tangente de l’angle FBE sera EF c

p = a r — tang ô : doue le plan coupant qui a sa

trace horizontale perpendiculaire à BDF , et qui fait un angle (J avec le plan x y , est nécessairement parallèle au plan BAF , et par conséquent à la génératrice AB. Pour le cas de

tang ô = , il est clair que le plan coupant est parallèle

à AD , mais alors la section parabolique a lieu dans le cône inférieur à ABD , formé par la même génératrice AB.

Si l’on résout l’équation (D') , et que l’on ait égard à la relation B* 4 AC = o, on aura donc pour la parabole

y »/f2(BD-3AE)* + D-4AF}.

On voit bien aussi que (D) est à l’ellipse ou à l’hyperbole

selon que tang « > — — , ou tangd< - - - , puisque

dans le premier cas, Ba — 4AC < o, et que, dans le second cas , B* — 4AC > o : or , pour l’un et 1* autre , on a

V/K8*— 4Ac)*M-2(BD— 2ÀE)*+Da— 4AF} ;

et le plan sécant, qui engendre l’hyperbole , coupe à la fois les deux cônes opposés. Cette courbe a des asymptotes données par

V B' — 4ACf

DE GÉOMÉTRIE. 36ü

Enfin, 1 équation (D) est celle du cercle, si les deux équations de condition

Pn* -f- cam* — zacmn — ca ben ~ o ,

ont lieu à la fois , ou , ce qui est de même si