CHAPITRE V II
Problèmes et théorèmes dont les solutions ou les démonstrations sont fondées sur la théorie précédente.
i55. Voici encore diverses propositions de Géométrie a trois dimensions , qui peuvent être traitées par l’analyse élémentaire , et dont quelques-unes sont des généralisations de certaines propositions que nous avons données dans la section précédente. Comme le Journal de l’École Polytechnique , la Correspondance sur cette école et les Annales de Mathématiques , fournissent une am pie moisson de problèmes et de théorèmes de ce genre , nous ne présenterons guère ici que ceux qui ont été l’objet de nos propres recherches , ou qui donnent lieu à des calculs simples.
PROBLÈME
Connaissant les aires de deux sections parallèles faites dans la splière , et la distance de ces sections j trouver le rayon de la sphère , et le volume du segment qui a ces mêmes sections pour bases.
Les sections de la sphère étant des cercles , on aura leurs rayons par l’une des formules du n° 22 ; et si , par le centre de la sphère , on mène un plan perpendiculaire aux sections dont il s’agit , ce plan coupera ces sections suivant deux cordes parallèles qui seront respectivement les diamètres de ces mêmes sections : ainsi la question sera d’abord réduite à dé-
nj£ GEOMETRIE. 337
terminer le rayon d’un grand cercle de la sphère , connaissant les longueurs des cordes parallèles , et leur plus cour le distance.
[Fig. 8g J. Cela posé , soient Mm , M' m' les diamètres des sections de la sphère ; et désignons par «/S, *'/ 8' les coordonnées des points M, M' ; par z la flèche BP'; par h l’intervalle FP'; enfin , par r le rayon cherché AB ; on aura r z h, a. -=z y — z. Or , par la propriété du cercle , on a
+*‘= **>] ou f (r-A-Ot + ^=^l rAV
développant et prenant la différence de ces deux dernières équations , on trouve
mais soit , pour simplifier ,
P - fl'*
substituant cette valeur âans la seconde équation (A) réduite , on obtiendra
4ra=40'a+ („ + *)..
Ce résultat est précisément l’expression de la propriété du triangle rectangle qui a 2r pour hypoténuse , et dont les deux côtés de l’angle droit sont 2/8' et u+h : donc , si au point m on élève m ' N perpendiculairement à la plus petite corde M'm' , et que l’on prenne QN égale à la quatrième proportionnelle aux trois lignes m'Q MO , 0"» > c’est-à-dire fr £'a
*** - ~h - i ,a droite NM', sera le diamètre demandé.
rRorosiTioN»
Il s’agit maintenant de trouver l’expression du volume du segment sphérique MM' mm. Or , le segment sphérique k une seule base étant la différence du secteur circulaire au cône qui a pour base celle du segment , et dont le sommet est au centre de la sphère , il s’ensuit que le segment sphérique MBm. a pour mesure xz* (r — 5 z)> et que celle u segment sphérique M'B/re est xz * (r j 2 ) ) 2 et z t esi gnant respectivement les flèches BP, BP'. Le volume du segment MM 'mm, que l’on considère , est donc \ = xr (za — z'a) — i » ( ** — • *)•
Mais h = z — z', par conséquent ,
V=xA[r(2 + S')-i(^+ ==' + *•)]• D’ailleurs l’équation du cercle , en plaçant l’origine au point B , donnant (n° 41?)
y8a = 2 rz — z% P* = 2rz z > on a , ,
d’où l’on tire
/S»j/3'»-f-za-4-z'a
et cette valeur étant substituée dans celle de V , on trouve xP 6 *
C’est-à-dire que volume du segment sphérique a deux bases parallèles a pour mesure la demi-somme de ces bases multipliée par son épaisseur, plus le volume de la sphère dont cette épaisseur est le diamètre.
rROBïimcE.
i56. Trouver la perspective d’une droite donnée dans l’espace.
Si par l’œil et par la droite donnée on conçoit un plan in-
DE GÉOMÉTRIE. 33g
défini , ce plan pénétrera un tableau interposé entre l’œil et la droite , suivant une ligne qui sera la perspective ou l’apparence de la droite donnée. Le problème à résoudre se réduit donc à trouver d’abord les équations de ces deux surfaces, et ensuite celle de la trace du plan visuel sur le tableau ou le plan perspectif.
Les équations de la droite donnée sont
x = az - f- * , y z=z bz -f- fi'}
et en supposant l’œil à l’origine des coordonnées rectangles, le plan passant par ce point aura généralement pour équation
(1) Aï -f- Bj-j- z = o ;
mais comme ce plan doit passer aussi par le point oit la droite dont il s’agit perce le plan des xy , point qui a évidemment pour coordonnées
z = o, xrxza., y=0, l’équation (i) fournira cette relation
entre les coefficiens A , B qu’il faut déterminer.
D’un autre côté, toute droite parallèle à celle donnée, et passant par l’origine des axes, a pour équations
x = az, y — bz-y
et puisque le plan (i) doit contenir cette seconde droite, on aura cette autre relation ou équation de condition
(3) Aa -f. BA -f- 1 = o.
Opérant alors sur ( 2 et 3 ) par voie d’élimination , il viendra
A = -T'8.. b — — 2— • afi — a.b ° — ^—.4’
substituant ces valeurs dans (1) , on aura pour équation
du plan visuel
(4) — &* + *y 4- (a& — ab} z — o.
Maintenant , si l’on suppose que le tableau soit unjplai* vertical parallèle à l’axe des * , son équation sera y - f* , u étant une constante -, remplaçant donc y par cette constante dans l’équation du plan (40 , celle de la perspective de la droite donnée sera
z (a/3 — ab) = (2x — a.ft.
Une autre droite dont les équations seraient x = az-\-a, y = b'z+P, aurait pareillement pour perspective (6) z(a'/3' — cl b’) = fi'x — <* f* J
et si les deux droites données étaient parallèles entre elles , on exprimerait analytiquement cette circonstance, en fa.sant a' = a , b' = b dans les équations ( 5 , 6 ) , lesquelles deviendraient respectivement
(5') z(a/3 — ctb) — £x — ctfi ,
(6') z(a/8'— ctb) z=/fx
on trouverait alors .que les coordonnées des points d’intersection des perspectives de ces deux droites parallèles seraient sur le tableau ,
fia
U suit de là que quel que soit le nombre de droites parai lèles entre elles, leurs perspectives se couperont en un seul point - c’est ce point d’intersection qu’on nomme point accidentel dans les Traités de Perspective linéaire.
Le point de vue sur le plan perspectif est le pied de la perpendiculaire P abaissée de l’œil sur ce plan, ou, en d’autres termes , est la projection orthogonale de cet œil.
( Voyez les Traites de Géométrie descriptive, par MM. Lacroix et Hachette.)
Lorsque les droites données sont parallèles et horizontales, .on a
et les coordonnées du point accidentel sur le tableau sont o
Mais 1 abscisse* ne se présenterait pas sous la forme indéterminée si les coefficiens a, b étaient exprimés en fonction des coordonnées x'y'z', x"y"z" de deux points de l’une des droites , de la première par exemple.
En effet , on aurait dans ce cas
ot par suite,
Ce résultat nous fait voir que si les droites données étaient toutes perpendiculaires au tableau , ce qui exigerait que x' = *", le point accidentel serait au point de vue ou à l’origine des axes.
Si au contraire les droites horizontales données étaient parallèles au tableau, on aurait / = y” , et les coordonnées du point accidentel seraient
c5 est-à-dire que leurs perspectives seraient elles-mêmes parallèles à l’axe des x.
On verra plus loin d’autres propriétés de cette projection perspective.
PROBLÈME
157. Mener un pian à travers tant de points donnés qu'on voudra de manière qu'en abaissant de ces points des perpendiculaires à ce planj la somme des perpendiculaires situées d'un côté soit égale à la somme de celles qui se trouvent de l'autre côté .
Soient
* fiy \
a &>' y' > les coordonnées des points
*Ty" 3
Le plan sur lequel sont abaissées les perpendiculaires a généralement pour équation
Ax -f- B y + Cz+ D = o, ou pour plus de simplicité ,
z — ax by c -,
et la longueur de la perpendiculaire abaissée d’un point xyz sur ce même plan , a pour expression z — ax — by — c v/ 1 -f- aa + b*
Il suit de là et de l’énoncé de la proposition , que y — att — 6/2 — c-j-y' — a et — b fi' — c — — y"-{ -a&'-\-bfi"-\-c , en prenant négativement les valeurs des perpendiculaires qui sont situées au-dessous du plan. Si, de cette égalité , on tire la valeur de c , on aura
— a(*+ *'4- *") — b(fi + fi' -h n 4- y 4- y'+y" c— - 3
Comme on ne peut pas établir d’autre relation entre les coefficiens inconnus a, b ,c, il est évident qu’il existe une infinité de plans qui satisfont à la question proposée : or , en substituant la valeur précédente de c dans .
* DK oioMBTRIE.
%— ax-\-by-\-cy il eu résultera
cette équation est visiblement celle d*un plan mené par un point fixe , dont les coordonnées sont
et -h * 4- eL" y 4 y' 4 y*
ou en général,
«4-«'4-**~«c*— } fi+P v±^±y^f^2.
n désignant le nonïbre des points donnés.
De là découle cette conséquence remarquable , savoir : que tout plan qui passe par le centre des moyennes distances de plusieurs points placés comme on voudra , à l’égard de trois plans rectangulaires, jouit de la propriété exigée par l’énoncé du problème proposé.
On traiterait aussi facilement la question inverse , c’est a-dire que l’on pourrait prouver que la somme des perpendiculaires abaissées d’un côté du plan , passant constamment par le centre des moyennes distances , est égale à la somme des perpendiculaires abaissées de l’autre côté ; en effet , l’équation générale de ce plan est (n° 122)
Mais , dans cette circonstance,
ainsi , au moyen de ces valeurs , et en faisant d’ailleurs pour abréger , et 4. «' 4. 4 = £ , 0 -f. fl 4- ? = [fl » y 4- y' 4 y* = [v] , Véq uat ion précédente dev ient
z — ax+by — a M Z,C|3 + (i)
Or , la somme des perpendiculaires abaissées des points M, M' sur le plan dont il est question, est, d’après ce qui précède, et en faisant pour le moment abstraction du dénominateur \/ i + aa-f-6a,
ajoutant à cette somme la quantité nulle ,
a [&] — a [rt] -f- b [/3] — b [/3] + [y] — [y] , puis réduisant, on aura, à cause de [«]= se+a'-f-a", etc.,
-y" + au‘ + bfi"-a^ — b Eû + M.
Ce résultat auquel on doit restituer le dénominateur l/ 1 -f- + b* , étant l’expression même de la perpendicu¬
laire abaissée du point M" sur le plan proposé (1), et en sens contraire des deux premières, il s’ensuit que les deux sommes faites séparément des perpendiculaires positives et négatives sont dans le rapport d’égalité ; et il est incontestable que cette propriété a toujours lieu, quels que soient le nombre des points donnés et les valeurs de «, b. Nous allons passer à la solution d’un autre problème dont celuici est un cas particulier.
PROBLÈME
1 58. Mener un plan dans V espace , de manière que la somme des perpendiculaires abaissées sur ce plan et de plusieurs points donnes à volonté, soit égale à une droite donnée m.
Supposons que les perpendiculaires soient d’un même coté du plan cherché et au nombre de trois seulement, pour
abréger le calcul; l’équation de ce plan sera 2 == ax -+■ by -f- c ;
et la perpendiculaire à ce même plan aura généralement pour expression
2 — ax — by — c
Ainsi, relativement aux points donnés x'y'z' ,x"y"z'1 , xmymzm, on aura, en se conformant d’ailleurs à l’énoncé de la proposition ,
( z — ax ' — by' — c ) -f- ( z — ax" — by" — ■ c) -f- (2* — axm — by" — c) = m \/ i --f- a% -f- b3.
Substituant, dans l’équation du plan cherché, pour c sa valeur tirée de l’équation précédente, on obtiendra
Si l’on transporte les axes parallèlement à eux-mêmes, et si l’on place leur origine au centre des moyennes distances des trois points donnés, on aura simplement, en désignant par *^,2, les coordonnées relatives aux nouveaux axes,
Cette équation est évidemment celle d’un plan mené par un point de l’axe des x, distant de la nouvelle origine de la
quantité j - — . Mais cette quantité désigne
précisément l’abscisse du point par lequel passerait un plan a la fois parallèle a un autre plan donné à volonté, et tan¬
gent à une sphère ayant pour rayon ^ (n° i5o ) , ou en
général —, » étant le nombre des points donnés, et m la
somme des perpendiculaires. Donc , tous les plans qui satisfont à la proposition sont tangens à une sphère dont le centre est celui des moyennes distances des points donnés, et dont le rayon est égal à la somme des perpendiculaires en question, divisée par le nombre de ces points.
Il est remarquable que cette conséquence se déduirait immédiatement, et sans calcul, du Principe des momens démontré en Statique ; mais il convient de prouver les propositions de pure Géométrie par le seul secours de l’analyse.
PROBLÈME
i5g. Par point donné dans un angle trièdre trirecUtngle, mener un plan de manière que sa partie interceptée dans cet angle forme un triangle semblable à un triangle donné.
Prenons les arêtes de l’angle trièdre trirectangle pour les axes des coordonnées; représentons par a, b , c les côtés du triangle donné, et par A, B, C les angles respectivement opposés à ces côtés; enfin, désignons par x' , y , % les coordon nées du point donné.
L’équation d’un plan étant en général
w»X -+■ nY -f - pZ — q ,
les segmens x,yy zx qu’il interceptera sur les axes des X, Y, Z, s’obtiendront en faisant successivement Y et Z— a, X et Z=o,XetY=o,et changeant X en x, Y en y et Z en * ; ainsi l’on aura
de la l’équation du plan cherché sera
et puisque ce plan doit passer parle point donne, on aura
ou chassant les dénominateurs, il viendra pour première équation entre les inconnues x,y,z,
( i ) xyz y'xz + zxy — xyz.
Si l’on fait
ya + *• = <*'a,
*a 4- *a = b’\ x* 4- ya = cfa,
les lignes a! , b' , c seront les côtés du triangle à construire ; mais ce triangle devant être semblable au triangle donné a , bfc , on a nécessairement, en vertu de cette similitude , a = Aa, et par suite y* + za = Aaaa , ) b' ■= xb} 4- sa = Aaô9 , ? (2)
?' = *C, x* + ya — XV , )
le coefficient x étant un nombre qu’il s’agit de déterminer. Pour cet effet l’on combinera les équations (1, 2) entre les quatre inconnues x ,y , z, A, et l’on aura au moyen de celles ( 2) et des relations du n° 3,
2*a = a» (ôa + ca — aa) = 2A *bc cos A,
* (c 4- a9 — b3) = 2A acu cosB,
2Z» = a* (a9 H- 6» — c*) = 2A»ai cosCf
par suite ,
x== * bc cos  , 1
jr = x V^Tacos B, > (3)
z — * l/ a£ cos C ; /
ces valeurs étant substituées dans la relation ( i ) il vient , après les réductions ,
. —— ~ - 'mf— » y - —j— - - - - '
l/ bc cos A v/ ca coslT |/ ab cos C
et les valeurs ( 3) se changeront en celles-ci :
/TTcosTa , , / c
V "ôcôsB + 'Vï
/a cos C , /
VT^TÂ +y V ,
cos A
co s C ’ e cos B , f a cos B b cos C v b cos A ’
6 cosC ? cos B’
Le problème proposé se trouve donc résolu. M. Gergonne qui a donné cette solution analytique , fait remarquer que si des sommets du triangle donné l’on abaisse des perpendiculaires sur les côtés opposés considérés comme les ./diamètres de demi-circonférences , ces perpendiculaires formeront sur chacun des côtés , des segincns adjacens qui seront entre eux comme les carrés des cordes menées des extrémités de ces mêmes côtés aux points où ces perpendiculaires couperont les circonférences ; et conséquemment les valeurs ci-dessus de x,y, z prendront une forme rationnelle en substituant aux segmens dont' il s’agit les carrés des cordes correspondantes. Par exemple, les deux termes delà fraction
se composent des deux segmens du côté c : il est
donc très facile de faire la transformation indiquée. ( Voyez d’ailleurs les Ann. de Mathém. , tom. X , p. 383.)
THÉORÈME
160. Dans tout quadrilatère plan ou gauche la somme des carrés des deux diagonales j plus quatre fois le carré de la ligne qui joint les milieux de ces diagonales, est égale à la somme des carrés des quatre côtés.
J] Fig. 90.3 Soient
les coordonnées des points
situées d’une manière quelconque dans l’espace.
Faisons en outre
AM = a, AM' = à y AM" = a", AM" = a", MM' = c, MM" = c', M'M" = c" , M"M*= e* MM' = D, M'M"=D', nri =z p.
Il est visible que les coordonnées des points n , n , milieux des diagonales D, D', sont
pour le premier , z ~^~z
et pour le second , — z ~^~z
Cela posé, on a évidemment, par la propriété du triangle rectangle ,
D ”=(*'— ;+<y— yv +
V = [* + *" — (*' + v*)3> + tr + y" — (,' 4. y*)]«
Développant les puissances indiquées et n’écrivant, pour abréger, que les premiers termes des quantités qui sont de la forme a(**'4 -*/ + «'), on obtiendra, à cause d. x*+y* + z* =a\ etc.,
D 2 = a* + a"2 — 2 (xx" >
D/a= a'a + «*a~ Hx’x* ...),
4i“’ = aa -f- a* -f. a"* + a»a
“ 2( * * • • • • ) — 2(xx". . . . ) -2 (*V. . .)
~ . . ) +z(Xx' . . . ) +2(*'*". . •) J
additionnant ces équations, il viendra, après avoir effacé les termes qui se détruisent ,
p no positions
+[rt'»+a"a 2(/a:,'..)]+[a,,a+a"a-2(x"^. .)]•
Mais les premier , deuxième , troisième et quatrième termes du second membre de celle-ci , sont respectivement les carrés des quatre cotés c c c" c" ; donc
Da + D'* + 4 f = ca + c' 1 + c*8 + c"a; ce qu’il fallait démontrer.
Lorsque f* = o , les deux diagonales sc coupent mutuellement en deux parties égales, et le quadrilatère se change en rliombe ; alors on a simplement
Da + D'a == 2Ca -f- 2Ca , comme on le savait déjà.
Cette proposition élégante dont Euler avait seulement reconnu l’existence pour le quadrilatère plan (tome V des Nouveaux Commentaires de Pètersbourg) , et que Carnot a généralisée dans sa Géométrie de position , peut être démontrée plus rapidement à l’aide du théorème du n° 58, et cela doit être , parce qu’alors on part d’une relation immédiate entre les lignes que l’on considère dans le quadrilatère.
THÉORÈME
Concernant V hexaèdre irrégulier.
161. [Fig. 91.] Soit l’hexaèdre irrégulier A c pour lequel nous ferons
A a— a, Ce— b, abz=:e , cd—ff bc = g , adz=t h, ac — m, hd—m,
= A, Drf = B, AT3 = E, CD - F, aC = d, ke — d!-t BC=G,AD = H, AC— M,BD = M',6D = D,B^ = D'. La ligne qui joint les milieux des diagonales DD'=P, MM' = Q, dd — p , mm' = q.
(.ela posé , les quadrilatères abcd, ABCD donneront , par ce qui précède ,
Ma 4 M'a = E“ + F* 4 Ga 4 Ha — 4Qa.
Les quadrilatères ACca, BDdb fourniront de même aa 4 b* 4 m* -4- Ma = -f d'3 + 4 p*}
A» H- Ba + m '• 4 M'9 = Da -f D'a + 4 Pa ajoutant ces dernières équations, et substituant pour /na 4 rn* et Ma 4- M'a leurs valeurs , on aura
«a4 Éa4- *a 4 /»4 £*4- A* ) f *>+</>+ D*+ D' a
