2 OC

ra c* ’ ll est en même temps perpendiculaire à la

section formée dans le cône par un autre plan perpendiculaire à la base de ce corps et passant par son axe.

La situation du plan coupant, à l’égard des génératrices AB, AD [fig. 94], est facile à reconnaître , lorsque

an8 j» ca > Car s‘ 1 on imagine dans le cône la

section triangulaire ABD, dont on vient de parler , la droite BD sera le diamètre de la base conique, et la droite AG la hauteur de ce cône : on aura alors

°B = T" ~ r*’ 0G = a » AG = c , BG = a — r - et

soit 1 angle DBA = B, l’angle BD A = D, on aura , par la lormule trigonométrique connue,

tang (B — D) r= j^g B -tang P i -+- tang B tang D

Or , pour le cas de la figure , tang B = -

et tang D = -

; il suit de là que

tang (B— D) = — -

a — tt — c

mais cette valeur est précisément celle de tangente 9 prise avec un signe contraire ; donc tang ô = — tang (B — D ). Donc , si l’on fait l’angle ABR = D , on aura

tang R'BD = — tang (B — D ).

Ainsi , en menant par la droite RR', ou par toute autre qui lui soit parallèle , un plan perpendiculaire à BAD , il engendrera une section circulaire sur la surface conique ; section qu’on nomme a nri-para//è/e ou sous-contraire eu égard à celle qui aurait lieu parallèlement à la base du cône. On voit bien que l’une et l’autre section se confondent lorsque a ■= o , c’est-à-dire quand le cône est droit.

Euler, dansl’ u4ppendixdesupe rficieb us qui termine le second volume de son Introd. in analys. ir/finit. , a traité aussi cette même question d’une manière très générale (*) : il y considère le cône à base elliptique dont nous avons donné l’équation au n° i44; mais nous avons jugé utile d’envisager la chose sous un point de vue un peu différent. Néanmoins, le lecteur fera bien de s’exercer sur le même sujet , sans s’astreindre à suivre en tout point notre procédé analytique : il pourra , par exemple, comme l’a fait M. Gergonne ( Ann . de Math. , tome XII, page 1 *3), chercher l’équation la plus générale de la surface convexe d’un cône à base circulaire , et discuter la courbe produite par la trace de cette surface sur l’un des plans coordonnés.

(*) Voyez la traduction française de cct ouvrage, parLabey.

de géométrie.

théorème.

>66. Si deux plan, rectangulaires sont assujettis à se mourir entre deux droites. fixes , leur commune section engendrera un cône qut aura même sommet que celui de l'angle des deux droites fixes, et dont la base sera un cercle per, Zdvculaire a l une ou a Vautre de ces droites. *

[Fig. 95.: Soient AM, AM' les deux droites fixes données , ou les traces horizontales des deux plans rectangulaires passant par l’origine des coordonnées. Leséquations de ces plans sont.

A.r rf By + Cz = o ,

A'æ+ B'r+ C'zz= o,

lesquelles ont lieu en même temps à la ligne d’intersection et la condition de perpendicularité est exprimée par

AA'+BB' + CC' = o.

De la on tire

(AA'4-BB')>-f BB>*+ AAV+ (AB'-f- A'B)xy = o. (,) Telle est l’équation de la surface conique engendrée par la commune section des deux plans rectangulaires. Lorsque z = o , on a seulement

(By -f Ax) (B y -f- A'x ) = o ,

c’est-à-dire que le plan des ,, coupe le cène suivant les deux droites AM, AM', dont les équations respectives

Ax-fBy=3 0, A'*4-B> = o.

Tout plan parallèle à celui des *r coupe le cône suivant une hyperbole, puisque ( AB' — A'B)a>o$ d’où il suit que le cône est placé obliquement à l’égard de ce plan.

Pour déterminer la position de la base circulaire de ce cône, ,1 faut substituer dans l’équation (i) les valeurs

x rr. a x' cosip -J- y' cos t siu <p , y = a:' sia <p — y cos fl cos<p ,

z = jy' sin 0 ,

obtenues au n° i34- Mais, pour plus de simplicité , soit

x = a + mi pny', y = rea:' — p/rey,

et l’on aura

r (AA' -h BB')gr2 H- BB pa/rea 1+ AA'parea — (AB' + A'B) pare/re

-J- | BB'rea-fr- AA'/rea-|-(AB'-{-A'B)re/re

j 2AA ’nmp — 2BB're/rep

+ t+ (AB' -f- A'B) ( reap — /reap) -f M/+N/ + P =o.*

La section par le nouveau plan x'y' , sera un cercle, si les coefficiens de x'a et y 1 sont égaux , et si celui de x'y' est = o ; or , ce dernier devenant nul par la supposition de 0 = ioogr, la première relation se réduit à (B/re — Are) (B 'm — S! ri) = o -,

d’où l’on tire

= tang <p = —} ou — = tang q>

mais les droites AM et AM' font avec AX des angles dont les tangentes sont respectivement

donc la base circulaire du cône est perpendiculaire à l’une ou à l’autre de ces droites.

Ce théorème , qui est dû à M. Hachette , se trouve démontré géométriquement dans le n° 6 de la Correspondance sur l'École Polytechnique ■, pag. 179.

jm PROBLÈME.

167. D un point donne sur un plan incliné j mener dans ce plan une droite qui fasse avec l’horizon un angle donné.

L’équation du plan est

Ax 4- By -f- Cs -f- D = o ;

celles de la droite assujettie à passer par le point donné x', y, z, sont

Or, ces trois équations doivent avoir lieu en même temps , pour que la droite et le plan coïncident ; et comme l’angle que cette droite fait, avec le plan horizontal est connu , si on le désigne par V, on aura (n° 120)

sin V = — — 1 —

de plus, la condition nécessaire pour que cette droite soit parallèle au plan , est (n° 126)

Aa 4- Bb 4- C = o. (4)

Si donc l’on tirait de ces dernières équations les valeurs de a et b, et qu’on les substituât dans les équations (1) et (2), on aurait celles de la droite chercl.ee, «primées en fonction de l’angle donné ; mais il est plus élégant d’effectuer le calcul suivant :

L’équation (3) donne

1 + oa -f- = 1__

sin’V ’

et devient, en y mettant pour a ei b leurs valeurs tirées des équations (1) et (2) ,

Les mêmes substitutions étant faites clans l’équation (4), on a

ou bien en chassant les dénominateurs , et faisant passer tout dans le même membre ,

(* - x'y+ Cr - y'Y — (* — O* eo‘7 = 0 -