A(*/)+BO<- /) + C

’ La première équation de ee résultat est risiblement celle d'un cène droit dont l’axe est vertical , dont le sommet est au point donné /, /, et dont le rayon de la base tz O cot V : la seconde équation est celle d un plan passant par le même point et coïncidant avec le p an donné. Or , l’une et l’autre équation devant s accorder ensemble, il s’ensuit que la droite cherchée est l’intersection même du plan et du cône dont il s’agit. Le problème que l’on considère est donc , en général , susceptible de deux

La Trigonométrie sphérique fournit une solution foit simple de ce problème, quand on connaît l»c1^ du plan donné. En effet , soit * cette inclinaison , et , com ci dessus, V l’angle que la droite à tracer fait avec 1 horizon. Si , par le point donné , on mène dans le plan incliné une ligne horizontale , et que 1 on désigne pai <? l’angle de ces deux droites , on trouvera aisément , par la propriété du triangle sphérique rectangle , que

sin Ç :

sin V ’ sin » ’

On peut voir, dans le Traité de Topographie, ^ édit., pag. 362 , comment on résout encore plus simptemor même problème sur le terrain.

»£ géométrie, théorème.

.68. S, des foyer, d'un ellipsoïde alongè , c'est-à-dire d’un ellipsoïde engendré par la révolution d’une ellipse autour de son grand axe , on abaisse de, perpendiculaires sur U plan langent, le produit de ces perpendiculaires sera égal au carré du demi-second axe.

On sait, par le n° 140, que l’équation de l’ellipsoïde alongé est

"V + «V + baxa = aab*,

" étant le.8riand a« et 26 le pet;t aie de l’ellipse génératrice. Ainsi l’équation dn plan tangent à cette surface de révolution, est (n° 148)

a*zz' + ayy -}- b*xx' = aaba ,

x’ z ®tant ^es coordonnées du point de contact.

Cela posé, puisque la longueur P de la perpendiculaire anaissee d un point x' , y’, J, sur „n plan de l’équation Aar 4- By 4- Cz'+ D = o , est

p-D + A*' 4- By'-MV V (Aa 4- Ba 4- c*)” ’

on a

Mais les foyers F , F' étant situés sur l’aie des,, à une distance de 1 origine = c e? = -c, il 8W y el

* 80,11 nuIleS P°“r Cfs P»1"'*; -lonc, par rapport au foyer F, on a -

p — b* (ex — a*)

V a* (a'b*~—ï& T+ÊV1 ’

et par rapport au foyer F, on a

p/ — b\cx 4- a *)

Vtf~(aab* — b'x a) 4- b** r1 *

doue

propositions

d\a2bl — b'' x2) -h û4*a

mais c2=a2—b 2 (n° i3o. L. C.); donc , comme le porte l’énoncé du théorème ,

PXP '—b\

Il est évident que l’ellipse jouit d’une propriété analogue.

THÉORÈME

169. Si trois plans rectangulaires touchent constamment un meme ellipsoïde ou un meme hypsrbolôide , le sommet de l’angle trièdre qu’ils forment est toujours sur la surface d’une sphère concentrique à cet ellipsoïde ou à cet hyperboloïde , et dont le rayon est égal à la racine carrée de la somme des carrés des trois demi-axes.

( Ce théorème est dû à Monge. )

L’équation des surfaces du second degré qui ont un centre , est A*a -f- B y' -f- Cza = 1 , et les trois demi-axes

sont yj L. , \J \f JT' Si dor,c xyz ,x”yz , xmynz\

désignent les coordonnées des trois points de contact, onaura

Ax'2 + + Caa = 1 , )

Ax"* 4 B/a+ C z"a = «,[ (1)

Ax"2 -j- by”2 4- Cs"* = l,j

et les équations des trois plans tangens seront , n° 148 ,

Ax x 4~ by y 4" C zz — — I , j

Ax"x 4- B y"y 4- Cz"s = 1 , > (2)

Ax'VX 4“ by*y 4- Cz"z = I i J puis pour exprimer que ces plans sont rectangulaires, on aura, n° ï25, ces relation»,

AV.r -f B y y" 4. C2zz = o, I k'x'x'* + By y" -f. Ozz" = O , ! (3)

Aux"xm -h Byy 4- Caz"z"== o. J Or, si l’on fait A x' = a , Ax" == a', Ax" = a "• B/ = b ; Br" = By — b" ; Cz' = c, Cz"= c', Cz* = c* y les équa • lions (i) et (3) deviendront respectivement,

ad 4- bb‘ 4” ce = 04

eut" 4* bb" -f- ce" zr o , / (5)

da"-{-b'b" + crc"z= o ; j

et si , pour abréger , on suppose que

aa 4 & 4- c» =

a'a 4- b'* 4- < a"1 4- i"a 4jc

on pourra conclure, d’après la théorie du n° 137, que les relations (5) et (6) donnent lieu à celles-ci :

hJc"a=R''aJ

ïf* + Riï + 1F=0-

Ra + R'a

Ra +R^ + R^—0’)

Maintenant il est aisé d’obtenir une équation unique entre x > y > z > et indépendante des coordonnées des points de contact : en effet, élevant au carré les équations (2) des plans tangjns, après avoir divisé la première par R, la seconde par R' , la troisième par R" ; et ajoutant ensuite ces carrés , on aura , en vertu des équations (,) et (8) ,

+ j'* + *,=Sr+F.H

ajoutant de même les équations (4) , après avoir divisé la première par R* , la seconde par R'a, la troisième par R"2, on aura , à cause des équations (8) ,

donc

résultat qui renferme le théorème qu’on avait en vue de démontrer , et duquel on tire pour conséquence , que , dans le cas de l’hyperboloïde , il peut arriver qu’il n’existe qu’un point , ou qu’il n’y en ait aucun par lequel on puisse mener trois plans rectangulaires et tangens à la surface de~ce corps. Cest ainsi que M. Poisson a prouvé la chose dans le n° 7 de la Correspondance sur V Ecole Polytechnique.

On démontrerait par une méthode semblable , cet autre théorème , que la surface engendrée par le point d’intersection de trois plans rectangulaires t dont l’un est toujours tangent à une sphère de rayon R, Vautre à une sphère de rayon R^ et la troisième à un* sphère de rayon R" ( ces sphères étant concentrique s) , est une quatrième sphère concentrique aux trois premières j et dont le rayon est ^/Ra-f- R'a -f- R"a ■ mais jl existe un moyen bien plus simple de s’assurer de la Térité de cette proposition.

de tifiOMÉTBlE. 375

Des propriétés des projections stéréographique et orthographique des cercles de la sphère.

1 70. Pour généraliser la définition donnée au n° 1 56 , nous observerons que si entre un corps et l’oeil on place un plan ou une surface quelconque , et que l’on conçoive des rayons visuels à divers points du corps , les intersections de ces rayons avec la surface interposée seront les représentations ou les projections stéréographiques de tous ces points. Lorsque l’oeil est supposé à une distance infinie du plan de projection , ou du tableau perspectif , les lignes projetantes sont toutes parallèles entre elles; et si en outre, elles sont perpendiculaires à ce même tableau , la projection est dite orthographique : telle est celle que nous avons déjà considérée . Nous nous bornerons à examiner les propriétés les plus remarquables de ces deux espèces de projections qui servent de fondement à la construction des mappemondes , et nous renverrons, pour de plus amples détails, au Traité de Topographie j etc. 2me édition.

L’équation de la sphère est, en plaçant l’origine des coordonnées au centre ,

*s + + za= r»;

celle du plan d’un de ses cercles est

et les projections verticales et orthographiques de la génératrice du cône optique sont en général

mais en supposant que les coordonnées du sommet de ce cône soient a ~ o , b =z o , — c, on a simplement x = m(z+c'), y=zn(z + c).

Ainsi l’équation du plan précédent devient 2 = A m (s + r) -f B» (s 4" r) 4~

PBOPOSIT IONS

Substituant ces valeurs dans l’équation de la sphère , et éliminant m , n , on a

r* ^ L. [Ae-r + Bcy4-D(z4- c)]a

- ^(«4-c — A* — Bj^)a.

ou développant les numérateurs , et faisant passer tous les termes dans un même membre , il vient enfin

(*a+.ya) (D -h c)a4- (c* — ra) (Ax -f By)a )

+ (z +c)*(Da— r*)-f- 2(cD+ r*) (z + c) (A* 4- By) J — °*

Telle est l’équation de la surface conique qui a pour base un eercle quelconque de la sphère, et dont le sommet est dans l’axe des z , au-dessous du plan des xy supposé horizontal.

Dans la projection généralement connue sous le nom de projection stèréographique de Ptolèmée (*) , le point de vue est sur la surface de la sphère, à l’extrémité du rayon perpendiculaire au tableau perspectif : or , dans ce cas , c = r ; on a donc pour l’équation du cône optique,

+ 3K* + rm*+B,)/ ’ 1 ’

et si l’on fait dans celle - ci z = o , la projection stéréographique du cercle qui sert de base au cône , aura pour équation

«•+ v* + fgif? + 2Br> -

Il résulte de là que les projections stérèographiq/.es des cercles de la sphère sont elles-mêmes des cercles.

L’équation des projections des parallèles perpendiculaires

(*) Delambre attribue à Hipparque l’invention de cette projection , mais c’est nn sujet de critique qu’il ne nous appartient pa* de discuter.

au plan xz résulte de la précédente, en y faisant B = o, parce qu’alors celle de la base du cène est seulement ? — Ax + D; on a donc

Quant aux. grands cercles de la sphère , leur plan a pouu équation z = Ax -f- By -, ainsi celle (i) devient , à cause de D = o , dans le cas actuel ,

**+ V4 — 2A rx -f- 2B ry — 1*. (3)

Si , dans cette équation , qui est celle de la projection d’un grand cercle, on fait ( x/ — Ar) = x , (y, — Br ) = y,

pour faire disparaître les premières puissances des variables , on aura

r*(i+ A»+Ba): .

les coordonnées du centre de cette projection , sont donc Ar et Br , ou simplement A et B, en faisant r égal à l’unité.

Lorsque l’on place le point de vue au centre de la sphère, et que l’on projette sur un plan qui lui est tangent, il faut, dans l’équation (M) , faire c =r o , et * — r ce qui la réduit à

Ainsi , dans la projection centrale , les cercles de la sphère sont représentés par l’une des courbes du second ordre, excepté les grands cercles qui le sont par des droites, puisqu’alors cette dernière équation se réduit à r— Ax— By=o, à cause de D — o. C’est cette projection que l’on considère en Gnomonique.

Dans la projection orthographique , le point de vue étant censé à une distance infinie du tableau perspectif , on a cz= oo, et pour lors (M) devient

x9 4- y'1 -f- ( Ax + % -+■ D)a = r9 ; (5)

c'est- à-dire que les cercles de la sphère sont , en général , représentés par des ellipses ( n° 49 )• H est évident que ces dernières courbes sont les bases des surfaces cylindriques dont les cercles de la sphère dirigent le mouvement des génératrices.

171. Cherchons à présent le rapport qui existe en général entre l’angle et sa projection , de deux cercles qui se rencontrent sur la sphère.

Sur une surface courbe quelconque, l’angle formé par deux courbes planes qui se coupent , se mesure par l’angle que forment les deux tangentes menées à chacune de ces courbes au point de leur commune section. Relativement à la sphère, on peut toujours mener un plan par son centre et par l’une des tangentes dont il s’agit : alors la section circulaire qui en résulte a pour tangente celle que contient ce plan , et la perspective de cette section est touchée par la perspective de sa tangente.

Cela posé , prenons , pour plan des xz , celui qui passe par le centre de la sphère et par le point d’intersection des deux tangentes à sa surface, et plaçons toujours à ce centre l’origine des coordonnées rectangles.

Les équations des plans passant par les deux tangentes à la surface de la sphère et par cette origine, seront

* = Aï + By, I z - Aï + Bjy, /

et l’on aura respectivement , pour les équations des projections stéréographiques des courbes circulaires résultantes des sections de ces plans ,

+ / + 2A.v -f- 2B y as 1 , ) 0*

le rayon de la sphère étant pris pour unité Qcquation (3)3-

DE üéoMiTRIE. 379

Si , par le point où se coupent ces deux projections , l’on mène une tangente à chacune , l’angle de ces tangentes sera la perspective de l’angle des tangentes à la sphère. Ainsi , désignant par 6 et 0' les angles que les premières tqngpntes font avec l’axe des x , on trouvera , par le n° 148, que les équations (6) donnent respectivement

,ang6'=l+|.

Ces rapports se réduisent nécessairement à ceux-ci :

tang 6' = -

car , si l’on soustrait l’une de l’autre les équations (ù) , on en obtiendra une nouvelle qui ne pourra être satisfaite , à moins que y ne soit nulle. On a donc

y = 0 , et x = — A dr v/i -f- A*. Maintenant, l’on sait qu’en général

tang («-6')=: J?°S*-tang «