COS

sances = - âV/3: donc enfin la surface totale de

D 2 cos O

l’alvéole , sans y comprendre toutefois la base , a pour expression

„ = 3(îA i *“8 0 + dLl ^

Cette surface devant être un minimum j on a

du , 1 1/3 sin 0

d 6 2 cos2 6 2 " cos2 0 ’

et de là on tire

sin d = , ou sin20 = ~ :

piais , log ^ = 9,5228787 ; partant

log sin*Ô = 19,5228787 , et log sin fl = 9,7614393 ; ainsi l’angle fl = 3çfr, •8' , 26* 5.

En général , SO = — • donc , dans le cas du & 2 cos Q

minimum j so= v/g , par suite .

Cb = V/ CO -f- O b = — : et comme le triangle COù

donne tangOCi»— ^ = y/ï ; on doit conclure que

l'angle SCb = 2OC b = 78^, 36' 53" ; enfin , que l’angle SCA = l’angle SOP.

Ces résultats s’accordent avec les mesures prises sur une multitude d’alvéoles ; ainsi , les abeilles , par l’effet d’un instinct admirable que les géomètres seuls pouvaient remarquer, économisent leur cire de la manière la plus avantageuse.

204. Voici les énoncés de plusieurs autres problèmes qui sont encore de nature à exercer utilement les élèves :

l°. Assigner la position des pieds de l' homme > de manière que le trapèze de sustentation soit le plus grand possible.

2°. Parmi toutes les ellipses que l'on peut faire passer par les sommets des quatre angles d'un trapèze j déterminer celle qui a la plus grande ou la plus petite surface j et ceUe qui approche le plus d'être un cercle.

3°. Déterminer les dimensions du plus grand cylindre qu'il soit possible d'inscrire dans un cône donné.

4°. Entre tous les cônes droits qui ont le meme volume •, découvrir celui dont l'enveloppe est un minimum.

5°. De tous les cylindres que l'on peut inscrire dans une même sphère , trouver celui dont la surface courbe est un maximum , ou dont le volume est le plus grand possible.

Quoique le calcul différentiel serve ordinairementpour ré-

soudreles questions de maximise t minimis > il est cependant une foule de circonstances où la Méthode des variations est la seule qui puisse , à cet égard , conduire directement au but. Nous pourrions rapporter ici quelques exemples à l’appui de cette assertion , mais ce serait sortir des bornes que nous nous sommes prescrites : il est temps, d’ailleurs, de terminer cette collection de Propositions de Géométrie , parce qu’il est suffisamment prouvé aux jeunes mathématiciens que les méthodes générales, lorsqu’elles sont présentées de la manière la plus simple, sont presque toujours les plus faciles ; et que quand on s’exerce à bien lire dans l’analyse algébrique , à en traduire géométriquement les résultats , on découvre souvent un grand nombre de vérités importantes et nouvelles.