CHAPITRE III
Solutions de quelques problèmes de maximis et MINIMIS.
ig-j. Les solutions du petit nombre de problèmes suivans nous ont paru assez simples et gissez élégantes pour être publiées dans ce Recueil : elles sont fondées sur les théories des nos 83 et i55 du Traité de Calcul différentiel élém. de M. Lacroix , 3e édit.
PROBLÈME
Par un point M' donné dans V intérieur cfun angle MAN , mener une droite MN, de meulière que sa longueur MN, comprise entre les deux côtés de cet angle j soit un minimum.
C Fig. 97* 3 Prenons pour axe des x la droite AX, qui divise l’angle donné MAN en deux parties égales ; et soient M'M=*> M'N=z', l’angle R =<p ; puis, dénotons par x , y les coordonnées rectangles du point M , par x, y celles du point M'.
L’équation de AM étant y — eux , celle de la droite AN qui est placée de la même manière au-dessous de l’axe des x sera y — — ux ; or , si l’on transporte l’origine des axes au point M' , sans changer leur direction , on aura ( n° 4^ ) *
AP =: * =: *' q. * cos <p ,
PM — y = y' -f- z sin
et par conséquent l’équation y = ax deviendra y - h2 sin ç = a(x' -f- z cos <p) ;
ainsi
ax' — y
sin 9 — a cos <f>
Pour trouver M'N ou z , on voit bien qu’il suffit de prendre a négativement dans ce résultat ; on a donc sur-lechamp
2'= — ax'— y m
sin <p -j- a cos <p ‘
en sorte que si l’on ajoute ces deux valeurs prises positivement , on obtiendra
2a(j/ sin <p —y cos <?) sin*p — a* cosap
Egalant à zéro le coefficient différentiel de cette expression dans laquelle <p est seul variable , afin d’établir la condition du minimum , on aura
( x ' cos <f> -\-y' sin <p) (sin5^ — a * cos5$>)
-f- 2(y'cosq> — x'sin $>)(sin <p cos <p -f- aasin <p cos <p~) = o ; ( 1 )
puis divisant tout par cos30 , et développant , on trouvera
o (2aa4-i) , a*x
tang x — j, — - tanga<p-f-(aa-f-2) tang ç - — = o. (2)
Cette équation donne nécessairement une racine réelle dans le cas général, puisqu’elle est du troisième degré; mais lorsque y — o , le premier et le troisième terme disparaissant , on a simplement
‘ang’*, =
c’est-à-dire qu’alors l’équation (2) ne fournit aucune racine réelle. Cependant il ne faudrait pas conclure de là que le problème propose n’est pas susceptible de minimum dans
l’ hypotlicse actuelle; car, si l’on remonte à l’équation (i) dont celle (2) dérive , et que l’on y fasse y — o , elle se réduira à
cos ^>(sin5<p — aacos*<p) — 2 cos ç> 3insç> (1 -f" aa) = o ,
et sera évidemment satisfaite par cos ç=o, ou par ç=ioogr. Pour faire disparaître cet inconvénient , et rendre la formule (2) aussi générale que le comporte le problème , nous la changerons en une autre dans laquelle il n’y ait plus de dénominateur, et où , cependant , le premier terme n’ait que l’unité pour coefficient. A cet effet , nous ferons, comme l’on
sait, tang^=ÿ > , u étant une nouvelle inconnue; et il
viendra, après la substitution de cette valeur,
Soit maintenant y = o , on aura u— x'(2aa-J- 1) ;
et , par suite ,
x' (2 aa -f- O
tang <p = — - ^ — ■ = 00;
c’est-à-dire que quand le point M' est sur l’axe des x , la droite minimum cherchée mn est perpendiculaire a cet axe.
Si , au contraire , y' — ax' , auquel cas le point M' se confond avec le point m , la formule (3) se change en celle-ci :
u? — x'(2 a* -h * ) u* -f- (aa 2 )aV au — aV3 = o ;
et par la méthode des diviseurs commensurables , on obtient aisément
u = x , ou tang
0 ax a
Il suit de ce résultat et du n° 42 > que la droite minimum , partant d’un des points des côtés de l’angle AMN , doit être perpendiculaire à l’autre côté.
Enfin, si l’on avait seulement x= o , l’équation (3) se réduirait à
u [V* -J- (a* -f- à)y'ar\ = o ,
et serait satisfaite par u = o , ou par tang <p = ^ — o ;
ainsi, lorsque le point par lequel doit passer la droite 7«inimum est donné sur l’axe des y , cette droite est parallèle à l’axe des x, et rencontre les côtés de l’angle qui est le supplément de MAN.
Les autres particularités du problème se déduiraient avec la même facilité de l’équation (3).
On pourrait se proposer un problème analogue, dans l’espace ; ce serait de déterminer le plan minimum passant par un point donné dans un angle trièdre et limité par les trois faces d* cet angle : problème dont il a déjà été parlé p. 449-
PROBLÈME
1 98. Déterminer la plus courte distance entre deux droites données dans V espace.
La propriété dont jouit cette ligne , c’est d’être à la fois perpendiculaire aux deux droites données. Quoique cela se prouve très simplement par la Géométrie élémentaire , voici comment l’analyse conduit au même but , et de quelle manière on parvient en même temps à l’expression de la plus courte distance cbercbée.
Soient
x = az + a, ï'sflV +<t*j
y = bz+&, y=iV+>,/
les équations des projections verticales des deux droites données: la distance entre les deux points xyx , x y z' aura pour expression (n° 1 1 7) ,
M= v/(*— a'-fas— aV)a-K/3— &+bz— b'z'Y+^z— zf. (2) Cette quantité devant être un minimum „ il faut que ses
CO
DE GEOMÈTULE. 4^
différentielles , prises successivement par rapport à z et à z', soient nulles , à cause de l’indépendance de ces variables : ainsi on aura , pour les déterminer , les équations
(z — z')- h«( * — a'-Paz — az)-\-bÇfi — & -\-bz — Z>V)=o, (3) ^=(z — z)+d(a.— u'-f-az -aV)-f-&'(/3— tf+bz — V z )=o. (4)
Il est d’abord facile de s’assurer que ces équations répondent au minimum demandé, car on trouverait que la condition
d*u d?u / cPu \“
dz* ’ \dïdl 7 > °
est remplie (n° i55 du Cale. diff. èlèm. L. C.) Ensuite , pour parvenir à la propriété énoncée , on observera que la droite minimum devant passer par les points xyz , x y z , ses équations sont de la forme
ou ,à causedes valeurs de*, x'f y, y , tiréesdes équations (i), on a
( a — a! -f- a z — a' z) = a" (z — z), 1 (£ - fi' + bz — b'z') = b " (z — z'yj ( }
de là les formules (3) et (4) se réduisent respectivement à
i aa" -h bb° = o , i -f- a* a" -f- b'b" =o.
Ces relations expriment donc (n° 120) que la droite minimum est en môme temps perpendiculaire aux deux droites données , et Eon en tire
a b — abf ’
Actuellement, si l’on résout les équations (3) et (4) , par rapport aux inconnues z , z , on obtiendra
^ z' (g 'b —aU) [ {b— b' ) (et — et') — (g — g) (fi — yS')]
(g — g )a -f- (b — b'y -f- (a b — | ab'Y *
mais l’expression (2) devient, en vertu des formules (5') et (6),
» -l'irai V' («-«■)‘+(»-S?+ (ai - ab’f ; et en y substituant pour z — z sa valeur précédente , on a u _____ (Z> — b') (* — a!) — (a — «') (fi— fi') {/(a — <ïy + (b—by -f -(a’b — ab'f 5 résultat conforme à celui auquel on parvient par des considérations purement élémentaires. ( Voy. \Appl. de l’Alg. à la Gêom. des surfaces, par MM. Monge et Hachette , problème IV.)
PROBLÈME
*99* Déterminer la route la plus courte, pour aller d’un point à un autre, en passant par un plan donné de position à l’égard de ces points.
Dans la question précédente , les plans coordonnés sont situés d’une manière quelconque, par rapport aux droites données ; mais il est des cas , comme à présent , où telle position de ces plans , à l’égard des objets que l’on considère dans l’espace , est plus propre que toute autre pour mettre en évidence certaines propriétés de l’étendue ; c’est de quoi l’on a été à même de se convaincre dans le cours de cet Ouvrage.
Soit donc pris , pour plan des x y le plan donné , et pour celui des xz , le plan qui passe par les deux points donnés. Dans cette hypothèse admissible , les coordonnées du point M' [% 99] sont
x = x' , y = o} z=/-, celles de l’autre point M" sont
i»E GÉOMÉTRIE.
fet eh supposant , pour le moment, que le point N du plan xy soit celui qui satisfait au minimum demandé, point dont les coordonnées sont x , y } 0n aura
M'N+M*N= V/f^t:,)a-hya+z/a
Comme les variables x et y sont indépendantes, les dilîerentielles successives de cette expression donneront
\/p VP'
Pour que cette dernière équation soit satisfaite , il faut que y soit nulle ; ainsi la route la plus courte demandée est M'N' 4- N'M", c’est-à-dire qu’elle est tout entière dans un plan perpendiculaire au plan donné xy. Alors, l’avantdernière équation se réduit à
[/\7-x'f+~7‘ ~ l/(x-—xy + z: ’’
donc, cos M'N' A = cos M'TV'X; donc, les deux lignes M'N' , N'M" font le même angle avec le plan xy, ou avec la perpendiculaire N'R à ce plan , comme on le démontre d’une autre manière en Mécanique.
Il résulte de là que la plus courte distance d’un point à un autre, en passant par une surface courbe , est représentée par une ligne brisée située dans un plan normal à cette surface.
On prouverait directement par une méthode semblable à la précédente , ou l’on tirerait encore pour conséquence de ce qui vient d’être démontré, que la somme des trois droites menées du point d’un plan à trois autres points de ce
PROVOSITIONS
plan est un minimum, lorsque ces droites partagent en trois parties égales la circonférence d’un cercle dont le centre est à leur point de concours. Ainsi , pour déterminer le point qui satisfait au minimum dont il s’agit, on décrira sur chacune des cordes AC , BC qui joignent les points donnés A, B, C, un arc de cercle capable de l’angle — 3 d’un droit, et le point où ces deux arcs se couperont sera le point cherché.
PROBLÈME
200. Déterminer La plus courte distance de deux points mobiles dont on connaît les positions initiales , et qui se meuvent uniformément sur deux droites données dans l'espace.
Je ne sache pas qu’aucun auteur de Mécanique élémentaire ait résolu ce problème d’une manière générale ; cependant il est susceptible de l’être élégamment par la pure Géométrie; et, en se conformant à la remarque qui se trouve au commencement du n° précédent , l’analyse algébrique est très propre à faire découvrir la solution graphique fort simple dont ce problème est susceptible.
Pour cet effet, choisissons la position des plans coordonnés, de manière que les équations des deux droites données dans l’espace soient les plus simples possibles : or, c’est ce qui arrivera infailliblement en prenant i°. pour plan des x y celui qui contient une des droites dont il s’agit, et qui est en même temps parallèle à l’àutre droite; 20. pour plan des xz celui qui passe par cette autre droite, et qui est en outre perpendiculaire au plan des xy.
£Fig. 100.3 Maintenant, soient MM', mm les droites données; la première étant située dans le plan des xy , et la seconde se trouvant dans celui desxz, parallèle à l'axe des x, les équations de M.U' seront évidemment
— laag a
et celle de la droite mm ,
Supposons que les points mobiles se trouvant actuellement, l’un en M, dont les coordonnées sont fi, et l’autre en m sur l’axe des 2, se meuvent de A vers X, avec des vitesses uniformes qui soient entre elles comme q : p', alors si M m est la plus courte distance à laquelle se trouveront ces deux mobiles, que les coordonnées du point M' soient désignées par a! , j3', et celles du point m par x , z , on aura en général
M 'ni —u— y/ (*— «O* -h 0“ + z’“'
Mais les espaces parcourus mm! , MM' étant entre eux comme les vitesses p et q , on a MM' = , et parce que
l’angle formé par la droite MM' et l’axe des * est = <p, on a en outre
a' = * + cos<p, &~fi— ~~ «M-
Si l’on substitue ces valeurs dans l’expression précédente de u , que l’on égale à zéro la différentielle de cette exprès sion, prise par rapport k x' , on obtiendra une équation de laquelle on tirera
, a(pa — pq cos <f> ) -f- fiPQ s*n 9
* " pa -h (f — ïpq cos <p
ou bien
P . . *(p — 7cos<p)4-%sllil
en faisant , pour abréger , p‘ + ï* — Vî c“ * =
La valeur de r peut être construite très simplement, cai elle représente la base d’un triangle dont les deux autres côtés formant l’angle $>, sont p et 7. Si donc, par «n point quelconque G de la droite MM', on mène Gt parallèle a
mm' , et que l’on prenne GF de manière que MG et GF soient dans le rapport de q à p, la ligne MF sera la valeur de r.
Il suit de là qu’en prolongeant MF, et faisant .... MR — *(p g cos <p) sin <p , .
- -, la droite RM menée parallè¬
lement à FG , sera = et il est remarquable que la droite sera perpendiculaire à MF, et égale à la plus courte distance cliercliée. Or , si cette circonstance a lieu, il est évident que la droite AR, qui est la projection de mR, sera elle-même perpendiculaire à MF. 11 est facile de prouver cette propriété ; car
. t-. ç sm <p
sxn D = - - -2-
par suite
np — * (p — q cos?)
s D = P — g cos .
— : — , \Dz=DP — a:
q sin^ ’
et, si A R n’est pas perpendiculaire à DM, soit Ar cette perpendiculaire ; alors on trouvera que
Dr— fgiiL— ? 005 ?) \ {P — q cos <p\
\ ?sinp r Jÿ
Mr — DM Dr = - (P — ÇcosÇ) + Pg sing r »
donc MR = Mr; donc AR et mR sont réellement perpendiculaires à MD.
Au surplus , on reconnaît sur-le-champ cette vérité, parce qu’en général mF mesure la distance des deux mobiles : en effet, lorsque le premier M est arrivé en G, le second m a parcouru, sur mm', un espace inégal à GF; la figure mFGg est donc un parallélogramme; et puisque de toutes les droites mF menées du point m à la droite MD, la plus courte
DE oÉO»lÉTnir. 4*9
est la perpendiculaire AR, celle-ci est nécessairement la plus courte distance cherchée.
PROBLÈME
20i .Parmi tous les quadrilatères que l*on peut former avec quatre lignes données, trouver celui qui a la plus grande surface.
Soient a , b , c,d les quatre côtés d’un quadrilatère . a d b deux côtés consécutifs , et <p l’angle qu’ils forment ; enfin , soit â l’angle déterminé par les deux autres cotés. On aura, en désignant par x la diagonale du quadrilatère opposée à <p ,
. . . ab
surf. ( abx ) = — sin p,
suri. ( bcx ) = — sin o;
par conséquent la surface du quadrilatère sera
ab sinffl . cd sin 0 /.\
D’un autre côté, les deux triangles dont se compose cette surface , donnant
*a = a* -J- ô1 — 2ab cos tp ,
** = c* - da — 2 cd cos 6 ,
on a cette autre équation ,
a» } — 2 ab cos <p = ca ■+■ d* — 2 cd cos ô : (a)
ainsi , pour trouver la surface maximum , on égalera à zéro }a différentielle de la valeur de s , en faisant varier à la fois tp et 0, puisque ces deux angles sont fonction l’un de l’autre ; et l’on substituera dans cette différentielle , divisée par dù ,
la valeur du rapport ^ tircc de l’équation (2) ; ce qui
donnera une relation entre les angles <p et fl , convenable au maximum demandé; ou bien Ton procédera ainsi qu’il suit. H
De l’équation (i) l’on déduit
cd cos ô
dQ ab cosp’ et de celle (2) l’on obtient
dp cd sin ô
dQ ab sinip ’
prenant la différence de ces deux valeurs, et réduisant, il vient
ds
dQ — Sln 6 cos P + sin <p cos fl = sin ( fl -f- <P ) = o ;
donc les angles Q et <p sont supplémens l’un de l’autre ; donc de tous les quadrilatères isopérimètres , dont les longueurs des côtés sont invariables, le plus grand est celui qui est inscriptible. Cette proposition est un cas particulier du théorème 6, livre IV, de la Géométrie de M. Legendre.
PROBLÈME
202. Fg. 102. J Dans un quart <P hémisphère supposé avoir pour base le quart de cercle ABC , pratiquer une ouverture rectangulaire APMQ, dont le volume soit un maximum.
Soient x,y les coordonnées du point M , et le rayon AB ou AC = r ; on aura
PB = r — * et CQ = r— y.
Or , on sait , par- les élémens de Géométrie , que le volume du quart d’hémisphère du rayon r a pour expression irr3
g - , JT étant le rapport de la circonférence au diamètre ,
et que le volume du quart de segment sphérique dont la hase est MPB a pour valeur — Ç r — r-^~- *
conséquemment le quart de segment sphérique CQM aura pour valeur — — Mais v°luine de
l’ouverture APMQ étant évidemment la différence du quart d’hémisphère AGB à la somme des deux quarts de segment PM B , CMQ , on a, en dénotant ce volume par V,
«V5 a-(r-x)ar r x-i x{r—v}*r- r v-|
v— ^ — rtr- tJ— Vtj — s-J-
Egalant a zéro la différentielle de cette expression , il vient , après les réductions ,
dV = x'dy -{-ydx = o.
D’un autre côté , à cause de x* on a
xdx -f- ydy — o ;
partant ,
Ce résultat répond nécessairement au maximum demandé, car le coefficient différentiel — j— a est négatif , comme cela
est iisé a vérifier; ainsi puisque l’ouverture APMQ doit être un carré, le point M sera le milieu du quart de circonférence CMB.
Ceux qui désireront connaître quelques-uns des problèmes 1res curieux sur la pénétration des corps, pourront consulter le second volume du Calcul iûlègral de M. Lacroix. Ils trouveront aussi , dans les Annales de Mathématiques pures e • dppUqntéeSj des questions de haute Géométrie du plus gland intérêt, et dont les solutions reposent sur la théorie de maxima et minima.
PROBLÈME
ao3. Déterminer quel doit être l’angle du losange que présente le fond des alvéoles des abeilles j et l’inclinaison que doit former cette face avec la base de l’ alvéole pour que la surface latérale du prisme et de ses fonds soit la plus petite possible. [[Fig. 104.]
Les alvéoles des abeilles sont de petites cellules qui ont la forme d’un prisme hexagonal A'C , dont les six faces latérales sont des trapèzes CC'B'b . , et dont le fond se
compose de trois losanges CSXb . , qui , par leur réu¬
nion , forment un angle trièdrc S ; et il y a cela de remarquable , que les deux rangs d’alvéoles qui composent ces gâteaux de cire sont adossés les uns aux autres , et disposés de manière que l’axe d’un alvéole s’aligne avec la jointure commune des trois postérieurs , ainsi que le représente la figure io3 : ce qui était nécessaire pour donner lieu à l’arrangement de leurs fonds communs.
Cela posé , soit mené , par la diagonale AC qui joint les extrémités de deux arêtes égales AA', CC, un plan CBA parallèle à la base hexagonale régulière A'B'C'. ... Il résultera de là le prisme triangulaire ACBA'C'B' à bases parallèles ; et si l’on joint le point S au centre P' de l’hexagone A'B'C'... , la partie SP = B6 de l’axe de l’al%éole sera la hauteur de la pyramide ACPS. Quelle que soit donc l’inclinaison SOP du plan SC b sur le plan PCB, ou sur celui de la base hexagonale de l’alvéole , les deux pyramides ACPS, ACB6 seront toujours équivalentes, et psr conséquent le volume de l’alvéole sera toujours le menu : quant à sa surface, elle variera nécessairement avec l’ange SOP. Voici le moyen de trouver la valeur de cet angl' , pour que cette surface soit un minimum , comme dans le cas de la nature.
Soit l’angle SOP = 9 ; prenons, pour unité de longu*ur,
le côté de l’hexagone régulier A'B'C' . . . . ,et désignons par h la plus longue arête A A '.Le triangle BO& étant rectangle en B , on aura
Ob = OS =
BQ i cos 0 2 cos 9 *
Bb — SV — i tang 9 ;
d’oü
B 'b = h — É tanS ® :
ainsi l’aire du trapèze CC'B'6 sera = à (2 h — { tang 0) , et la surface latérale de l’alvéole ou des six trapèzes , aura pour expression 3 (2 h — ï tang 0).
De plus , le côté du triangle équilatéral inscrit est
AC = 2y/| = »/3, et Sft = 2SO=^e;
par conséquent l’aire du losange .
A bCS = AC x so = — —«V* ; donc> les trois lo“
