FORMULES RELATIVES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES

N Ier.

Des fonctions ©.

Soit p un nombre positif, et posons — e—2p = LI œ 3 (1) g=e Es log nat. ” Les fonctions & sont définies par les équations (*)

$ T—1— 29008227 + 2q'COS4x — 2q°COS6T + —...,

AE Le Cg $,x —2q"sinx — 2q* sin3r +29" sinÿz —+...,

(2) £ 8 25 3,r — 2q"C0Sx + 2q*c083xr +2q cos5r +..,, \S,æT=1+2gcos2r + 2g'cos4x + 29° coS6x +...

Lorsque la constante 4 se trouve remplacée par une autre lettre, g' par exemple, on la mettra en évidence, et l’on écrira

S(x,g"), S(r,gh S,(29g) S,(z, g').

On a d’abord les relations (3) S(—z)=Szx, S,(—z)=—s5,z, S,(—z)=59,x, S,(—-r)=8,x En faisant, pour abréger,

g ei L

(*) Pour comparer nos notations avec celles de Jacomi, si l’on pose (n° 11)

on aura O(u)= Sr, H(v)=59,r, H,(u)=S,z, O6,(4)=S, 7,

et les relations (4) deviendront

O (u)=@,(K—u)= ig H(u—K'i)=— igH,(u+K—K'i) H(u)=H,(K—u)=ig@(u—K'i)= ig@,(u+K—K'i), etc.

On en tire (voyez $ XI) 8(0)=0,(K), H(o)=H,(K)=0o, H,(o)=H(K})} ,(0)=@(F) ets.

W > y 2 À su rà he Fos die. Fe je £ Di ; 4 Dé "+ hs er FA sut z F. AS APE [xxx ] 3 INTRODUCTION. RER on a entre les quatre fonctions & les relations . Ta

dti

Î RE” à ="

S,æx=S, (£ —:) =igS (r—pi)= igs,

ff 4% 8h 2h

TN ae LE PAR Mer

PIX DIA DiA LIa

(4) à | S,x=S$, (E-+)- g3,(x —pi) = g$ LA pi), "# | ,T=S (£-:) = gh(z—pil= gs,(z — pi) ne 9 (0)=8,(7)=1-—a7+ag ag +, "22 S,(o) =S, (2) = 0, (5) z RER me S,(o)=Ss, (2) =2q +2q+2qt +. ., S,(0)=S (2) =1+2q+2q +2q +...

z =a+mrk#+anpé, br = mr anti [ Pour =q 1x e-rma Pour, à = q7 (r+2)* e-Un+i)u se tr A X,S2 sz=(-1)"t X:6 0 a Me 3,2) Sn é S,x—=(—1)""#5X,.S | S,z=(—1}" X,.S,a, Sz=(—1)" Xe 3,z = X,,.9,c. S,T = x nl , & IL.

Soient 4 æ 1! 2: !«x. ap'z (8) PRES rs: f-E-%, d'où p 2 * ! 2 # (9) p= EE (10) LÉ me g= = log nat —-" Ea faisant, pour abréger (*), À CS = x” Ve = OT 2 Vi 4 = Vi, om aura s SAD=N IST (11) FRS (zé) = v.s, (+, g'h

S,(zi) = V.S (2, g'), 8,(xi) = V.s,(x, q').

(*) D'après la notation de Jacomi, ee = g =e &", t= S(r,q')=0(u,K), ete.

INTRODUCTION. [ xxx ] Pour g voisin de l'unité, g Log ane 7 a ir les formules

V'=Y3.e NN . gd Sn He $ z =V' (2gñ Ch x’ + va Ch3z'+ ea A Sas }, 12) S,+ = V' (295 Sh x’ — 24" Sh3r'+ aq 8h57 —+. PR LA s,æ=V'(1—2q Chaz'+ 2qg" Ch4z’— aq" Ch6x'+ —...), =V'(1+2g' Ch22'+ 29" Ch4 z'+ 29° Ch6x' + ..... };

|» (o 0) — VA Sd La ag + Unes ), 13) { 9,(0)=V7(1—27 +a2g"—aq" +—...), | 20 o)=vy(1+2q +ag"+ag® +... a $ III.

Soient, pour abréger, eme à nes An (14) Vie © =Vie , pré

: X'(x, pi,q) = 1 — 2qco82x Chay + 2g*cos4r Ch4y —+..…., X'(x, yi,q)= 2qsin2zx Sh2y — 2q* sin4xr Sh4y+—..., | L? (x, vi, q) = 29% sinx Chy — ag sin3zx Ch3r+—.., | (15) W (æ, yi, q) = 2g*cosx Sh y — 29% co83x Sh3y7+—.., | C1, 764)—= 24$cosx Chr + 2 cos3z Ch3r +..., REV ATI EE 24 sin.r Shy + 29 sin3zSh3y+..., X, (x, ri, qg)=1+2qcos2x Ch27 + 2g*cos4x Chér +..., | M(zx, ré, qg) = 2gsin2x Sh2y + 2g'sin4x Sh4y +...

| On a ]

ES S : HER CB dE 7 PA ri, q)= loos EX (y æ' g' IT sin y, g'h

à Der) &-n) = __ yes vi, g=—rsin (2, q Arcs ÉD 2 g'h ai

ID SET) 2, y, q)= rain EX, g') +008 ML, 26,9) 2i Den EE 0 = r' cos SX, z'i,q')}—T sin + FAUTE righ

ré g = Dos y 2,91) rein XL, 9) x6)

s ere, (2420 y, ri,9)= Fin EN (y, æz'i pere vu zi,q'), ai

ler) + SH IÉ) y (>, vi, g)= ere æ'i,q re Mr’, z'i,q'),

| DENT A EE GEI) y9(2, xd, 9) = r'sin 2 YU, z'i, gr eos 2 (y, z'i, q').

. ES DR ANS PR à. es Ed - «” LA mi

€ M Ge [ xxxvi ] INTRODUCTION.

& IV. S x asinx 2sin°2x 2sin? 3x log So Shas 2Sh4p se 3Sh6p LA

SRE SC ee agcos'x 2g'sinax 2qC0S 3x | (17) 7e A RAAR ER RE 2qsinx 2q'sinax 2g°sin°3x 04

bo rie Er Sh2p 2Sh4p 3Sh6p ‘18

S,æx. asir . asm'ar 2sin°3x MT 7 Shap La 2Sh4p 3Sh6p EVE 1] + (æ+7) sin2rsin2y 4 sindzsinry sin6xzsin6y je 2 S(x—r) Sh2p 2Sh4p 3Sh6p er - L og (2) = 1; sin(z+y)., gsinazsin2y g’sin 4xsin4y d'sinézsin6y 2 “S(r—)7) 2 °sin(x—y) Sh2o 2Sh4p 3Sh69 RE 1lo (249) 1,,,008(x+7) gsin2æsin2y g'singæsin4y g'sin6æsin6y 2 Sn) 2 ? cos(æ—y) Sh2p 2Sh4p 3Sh6p Li og +) sin2zsin2y singæsin4y sin6xsin6y ses 2 °S,(z—7) Sh2p 2Sh4p 3Sh6p TER LAPS LEE 12 À" (æ, yi, q) 7108 eme arc (ang RL [Voyez form. (15).]

1, S(ri—x) Lx, (p— y) à g] pirater Lang = —— = AE PER æ + arc lang ÿ Lz, (p =), 1’ 1, S,(z—7i) X3[æ, (pe — 7) à, g] — 10g © — x — arc tang + — ni °S(z+yi) SL (pie gl’ 1 ri) "(27 9)

33108 a Eprn Va arc tang (x, 9)

D, logs x — — (2gsin2xr— 4q*sin4x +6qg" sin6z —+.. \

1 , 25 D, logs,x — — = ( g‘sinx + 3q'sin3x + 5q* sin5x +...

D, logS,x = — == (2gsin2x + 4q* sin 4x + 6g° sin6x +....

ss ___ sin2z sin4 x sin6zxz ne TT mn Te TT

D, logS, x — cote + ag pee +29 Qpee sSin6x

+29 Sh6p +...,

D, 88,2 = —tange — 29 ee +29 Ge sn6x

(21) Nes

sin2z sin 4x sin6zx

het TT TT] Œhir Et re

F4 9 25 D, logs, x — = ( g'cosx — 3q"cos3x + 5q* COS5x — +... !

Ship Ste

2K 2K (*) D, logSzx — D. lo 8 (u)=— — "Z(#) (Jacozi).

bte. 4 éd st dé

INTRODUCTION. [ xxxvn ]

| DLlogs + 4/ Er +27 er — 29 +):

# D, logs, x = — 2288 VE (= 27 ER — 2er — rdc ) “A (QE + +), D, loss, —#E+24/E(ÈUE pe te )e D, logS (xzi) = — j (29 Sh2x — 4q* Sh4x +6q Sh6xz —+...), | ST tr Eh 2 30 Chr 5400 +. ), Ç [ D, logS,(zxi) — ET À g"Sh 2439 Sh37+ 5q° Sh5z+ dun 1è | D, logs, (zi) = ET (2q Shax+4q Sh4x +6 Sh6x +... ). D, logs (xi) = See(er= ae tent ann FR D, logS, (at) =1+-Sha(o—2)| nn + SEA" D, logs, (ri) =1—Sh2(p— cc + een G sea | +.

D, logs, (xi) = ee