RÉSOLUTION 1>ES TRIANGLES
1° Triangles rectangles.
Soit comme précédemment A l'angle droit, B et C les deux antres angles dont la somme vaut 90°, a l'hypoténuse, b le côté opposé à l'angle B et c le coté opposé à l'angle G.
Premier cas. Résoudre un triangle rectangle connaissant l'hypoténuse a et un angle B.
Les inconnues sont C, b et c. j On a /" C = 90° —B
b = a sin B et c *= a sin C
w Deuxième Cas. Résoudre un triangle rectangle connaissant l'hypoténuse a et un coté b de l'angle droit. Les in- < connues sont B, C et c.
Pour déterminer l'angle B, on a la relation
b = a sin B d ou sin B = -
connaissant l'angle B, on en conclut l'angle
Quant au côté c, on peut le déduire de l'angle G par la
formule e = a sin C ; mais on peut aussi le détermiuer
directement au moyen de la relation a* = b* + c* d'où
(.•=*<**— b 9 et c = V* % — b*.
Troisième cas. Résoudre un triangle rectangle, connaissant un côté b de l'angle droit et un angle B. Les inconnues sont C, a, c.
On a C = «6°— B.
*IVI USAGB DIS TABLKS.
Pour calculer l'hypoténuse a, on a la formule
b = a sin B d'où a = -r-r«
smB
Quant au cotée, il s'obtient par la relation c = b tang C.
Quatrième cas. Résoudre un triangle rectangle connaissant les deux côtés & et c de l'angle droit Les inconnues sont B, G et a.
On a l'angle B par la relation
b = c tang B d'où tang B = -
On a ensuite G = 90* — B. On pourrait déterminer cet angle directement à l'aide de la formule
c = frtangC d'où tàngC=j*
Quant à l'hypoténuse a, on peut la déduire de l'angle B par la formule
& b '= a sin B d'où a = jrjj-g
mais on peut aussi la déterminer directement au moyen de la relation
<*•=&* + c» d'où a = \/b* 4* e é .
t° Triangles rectilignes quelconques.
Soient A, B, G les trois angles et a> b, e les côtés respectivement opposés, Clous ne résoudrons que les deux cas qui se présentent ordinairement dans la pratique de l'arpentage.
Premier cas. Résoudre un triangle connaissant un coté a et deux angles A et B.
U8AGB Mft TABLBS. XI Vif
Les inconnues sont C* b et c.
On a d'abord G sa 1W° — ( A -f- B ) pais
sînfc sin A
d'où
dl sifrB
""" sîn A
sin C ~~~ sin A
d'où
a sin G
sin A .
Deuxième Gas. Résoudre un triangle connaissant deux côtés a et b et l'angle G qu'ils comprennent. Les inconnues sont A, B et c.
Oa a A + B =* tt* -«- C, éeoe ■ T" ' == 90* — j
Soit a > 6 et par conséquent A > B* on peut calculer la demi-différence des mêmes angles A et B au moyen de la proportion
a + b = tang {> ( A + B ) a — fr tang £ ( A — B ) d'où l'on tire
tang |(A-B)==^* tang £(A + B).
Connaissant la demi-somme et la demi-différence des angles A et B, on en conclut l'angle A en ajoutant la demidifférence à la demi-somme et l'angle B en retranchant la demi-différence de la demi-somme, car on a
A = i(A + B) + i(A-B) et B = i(A + B) — i(A-B).
Les angles A et B étant connus, on peut calculer le côté c par la relation
c a^ ., . __ a sin C
sinC — sin A aou c ~~ sin A '
XLVUI
USAGI DBS TABLES.
Prenons quelques exemples numériques (*).
!•* Exemple. Déterminer la distanee d'un point accessible A à un point inaccessible B, connaissant une base ÂG = 35 mètres, l'angle A = 5f et l'angle G = 64* 80/.
Le 3« angle B = 180°— (A + C) = 63-30'
Or on a
donc
sin B
35 sin 64* 30'
sin B
sin 63° 30'
En effectuant le calcul, on trouve 35-, 30.
S* Exemple. On mesure sur le bord d'un rivière une base AB de 60 mètres. D'une extrémité A de cette base on vise sur l'autre bord un point G tel que la ligne de visée AG est perpendiculaire à la base. On vise le même point G de l'autre extrémité B de la base ; la ligne de visée fait avec la base un angle de 59*. Quelle est la largeur de la rivière?
Ona c=5 tang C = 60 tang53* = 60X 1,3799.
En effectuant le calcul, on trouve 76", 8 par excès.
Fig. 6.
3* Exemple. Déterminer la distance de deux points inaccessibles P et Q connaissant
une base AB = 88", 30 l'angle BAP = 99* l'angle BAQ = 57* 3C l'angle ABQ = 93* 30' et l'angle ABP = 49*.
On détermine d'abord AP et AQ comme au 1" exemple :
(*} Ces exemples sont empruntés à notre Traité de Géométrie appliquée, d'Arpentage et de Dessin linéaire*
USAGB BBS TABLB8.
On trouve AP = 119", 5 et AQ = 171% S.
On connaît d'ailleurs l'angle compris PAQ = BAP — BAQ = 41° 30' ; si les quatre pointa A, B, P, Q, ne sont pas dans nn même plan, on mesure directement cet angle* Pour avoir PQ, on a donc à résoudre le triangle PAQ, connaissant deux cotés et l'angle qu'ils comprennent Soient p et q les côtés respectivement opposés dans ce triangle aux angles P et Q, on a
ta,** (P Q) .<»-€)— HP+QJ
^ 58,8 tang 80° 15' ^ 52,8 X 2,6395 8=3 289,8 «9,8
d'où i (P — Q) = 85* 41'
i ( P + Q ) = 89" 15' P = 94- 58' et Q = 43° 84'
AP sin PAQ 118,5 sin 41° 30'
donc
On a ensuite PQ =
sinAQP ~ 118,5 X 0,8888
Sin 43° 84' = 113-,9,
Ainsi la distance des deux points inaccessibles P et Q est i très-peu près égale à 114 mètres.
4* Exemple. L'angle d'élévation ACB du sommet d'une tour verticale est égal â 48° 30' à 78 mètres du pied de la tour. Quelle est la hauteur de la tour, en supposant la hauteur verticale CG' = AA' du graphomètre égale â 1",35 ?
Pour avoir AB on a à a résoudre le triangle rcc- Fi§. 7. *.
pjui
DD
DD
' JT
SL TJSAGK WSS TABlBfl.
tangte ABC dans lequel on connaît le cété A€ a» A'CT de l'angle droit et l'aDgle. G.
On a ÀB *= A6 teog G =*• W X «ang 48* âô* =»Tsrxt>t»^^81-,0fc
En ajoutant à cette longueur la hauteur V»,2& de rinstrutuent, on a sa to ,63 pour hauteur de la tour. *
5* Exemple» Déterminer la hauteur d'une tour verticale qui donne 48 mètres d'ombre» lorsque te soleil est élevé de 52° 30* au-dessus de l'horizon.
La hauteur de la tour, la longueur de l'ombre et la direction des rayons solaires forment un triangle rectangle dans lequel on connaît un côté de l'angle droit égal à 48 mètres et l'angle aigu adjacent égal à 52° 30"*. Soit x la hauteur inconnue, on a
X = 48 tang 52° 30 r = 48 X t.3032 = Ô2«,55.
~Lruf? v '0* Exemple.
L'angle d'élévation
N x ACB du sommet
\ \ d'une tour verti-
\ \ cale dont le pied est
\ \ inaccessible , est
\ \ égal a 24° 30 f . On
\ \ s'avance de 40 mè-
a , Vf , N v>f très vers la tour-,
—C IZ — HL l'angle d'élévation
DD
Fig. a. ADB du sommet de
la tour est alors égal â 40°. Quelle est la hauteur de la tour ? La base d'observation est horizontale et la hauteur du graphomètre égale l m ,50.
Nommons, pour abréger, G et D, les angles d'élévation
