A. AURÈS

OBSERVATIONS ADRESSiéES A CEUX QUI NE DÉSESPÈRENT PAS ENCORE DE PARVENIR, UN JOUR, A LA D^TTERMINATION EXACTE DE CE NOMBRE

§ l«r. — Observations préliminaires.

Hérodote, né'484 ans avant l'ère vulgaire, a dit, dans le cent quatre-vingt-quatrième chapitre du premier livre de son Histoire : « Plusieurs autres rois ont régné sur Babylone ; » j'en parlerai dans mon Histoire des Assyriens, »

Et ce texte suffit, si je ne me trompe^ pour montrer avec évidence que, lorsque Hérodote a parcouru l'Asie, à Teffet d'y réunir les nombreux documents historiques qui lui ont servi à écrire les neuf livres de son Histoire ancienne, il y a rassemblé, en même temps et par conséquent rapporté aussi en Grèce, une infinité de notes et de renseignements divers relatifs aux mœurs du peuple assyrien, dont il voulait écrire Vhistoire

(1) yoyage, Ta/el 12, p. 41.

(2) Das Original, welches mit der reichen Sammlung Caillauds iu das Cabinet des Médailles gelangt ist, ist heute fast ganz unleserlich und bietet noch eben genûgende Reste, um seine Identiûcierung mit dem verôflfentlichten Texte zu ermôglichen.

(8) Vgl. auch DÉvÉRiA, CataL, X/11.

(4) Pap. Abbott, 7/10; Pap. Loucre, 3169 (publ. Maspbuo, Mémoire sur quelque» Papyrus), Zeile 1.

particulière, à la civilisation et surtout aux coonaiâsances en mathématiques^ beaucoup plus ayancôes, à cette époque, chez les Assyriens que chez les Grecs.

Je me plais donc à espérer que personne ne m'accusera d'erreur, ou seulement d'exagération, lorsque je me contenterai d'affirmer ici qu'Hérodote, précisément parce qu'il était accoutumé à exprimer les nombres, à la manière des Grecs, en se servant d'une numération décimale, c'est-à-dire en groupant les unités par dix, par cent, par mille et par dix mille, ou, en langage grec, par myriades, n'avait pas pu se dispenser de remarquer en même temps et par conséquent savait très bien, à son retour d'Asie, que le peuple assyrien, très supérieur aux Grecs, au point de vue des sciences exactes, avait déjà remplacé, à cette époque, par une numération duodécimcUe, la numération décimale dont il s'était d'abord servi, comme tous les autres peuples, et lorsque j'ajouterai qu'Hérodote savait aussi très bien, à la même époque, d'abord et avant tout, que les savants chaldéens avaient, en outre, remplacé, depuis longtemps, pour rendre leurs calculs plus faciles, cette numération duodécimale elle-même par une numération sex€tgésimaJe beaucoup plus régulière; et, en outre, que cette numération sexagésimale commençait alors à s'introduire, peu à peu et de proche en proche^ dans les pays voisins, notamment à Ninive et à Babylone.

Les besoins de la discussion qui va suivre me conduisent maintenant à indiquer ici avec exactitude les règles des deux dernières numérations dont je viens de parler, et ce ne sera pas difficile, car elles peuvent être aisément retrouvées, ainsi qu'on va le voir, sur les parties encore conservées de la troisième tablette de Senkerèh, dont M. Offert a donné la traduction, aux pages 25 et 26 de son Étalon des mesures assyriennes fixé par les textes cunéiformes, et qui sont de plus reproduites, avec les explications qu'elles comportent, sur la planche mise à la fin du présent Mémoire.

On voit, en effet, en étudiant cette curieuse tablette :

D'une part, que les chiffres mis sur les côtés gauches des deux colonnes qui lacomposent sont tous écrits en se conformant aux règles de la numération duodécimale; et de l'autre, que ceux qui sont mis sur les côtés droits des mêmes colonnes sont écrits, au contraire, suivant les règles de la numération sexagésimale; et cela, parce que, dans le premier cas, ces nombres sont d'abord divisés en sisaines ^ et en douzaines, pour être ensuite comptés de dix en dix douzaines, jusqu'à 60 douzaines, ou, en langage assyrien, jusqu'à un C7S = 60 fois 12 = 720, et, en dernier lieu, pour être encore une foi« comptés de dix en dix jusqu'à 30 US, «oit, en langage assyrien, jusqu'à un kas'bu = 30 fois 720 = 21.600; et, dans le second cas, parce que les unités sont comptées d'abord et sans interruption jusqu'à dix, ensuite par dizaines, mais seulement jusqu'à six dizaines, ou, en termes assyriens, jusqu'à un sosse = 6 fois 10 = 60; après cela, par sosses jusqu'à dix sosses, ou, en termes assyriens, jusqu'à un ner = 10 fois 60 = 600, ensuite par ners, jusqu'à six ners ou un sar = 6 fois 600 = 3.600, et, en dernier lieu, enfin, en continuant indéfiniment de la même manière, c'est-à-dire en comptant successi-

(1) C*est par analogie avec les mots dizaine, douzaine, etc., que j'emploie ici le mot êitaine (qaoiqa'il ne soit pas français) pour exprimer le groupe de sijo unités.

▼ement les divers groupes d'unités par dùcdnes et par sizalnes de âi2:aines, comme la tablette de Senker^, ou, en d'autres termes, comme la numération écrite le démontre. Cependant un nombre considérable de textes assyriens prouve, en outre, que la numération p^lée comprenait, chez les Assyriens, entre Je sosse et le ner, un autre groupe d'unités, le g^gar, égal à une sizaine de sosses ou, si l'on aime mieux, égal ii la moitié d'un US = ^ = 6 fois 60=360, et la seule existence de ce gagar, dans la langue assyrienne, suffit pour montrer que les diverses parties de la numération sexagésimale pouvaient être décomposées, comme on le voit ici, de deux manières différentes, adoptées, «avoir :

L'une, dans la numération. écnVe et L'autre, dans la numération parlée

contenant : et contenant :

NUMÉRATION ^CRITB San SossM Unités

L'unité = 1 » » î L'unité = 1

» » » ]^ La sizaine = 6

La dizaine = 10 » » < »

Le sosse = 6 dizaines = 60 » f » Le sosse = 10 sîzaines === 60

» » lîî )) Le gagar = 6 àosses = 360

Le ner = 10 sosses = 600 » < » »

Le sar = 6 ners = . . . . 3.600 f » » Le sar = 10 gagars = 8.600

)) ÎÏ7 » » Et le kas'bu = 6 sars = 21.600

Et la dizaine de sars = 36.000 < » »

Ce dernier nombre, 36.000, qui ne recevait jamais, à ma connaissance, un nom particulier, dans la langue assyrienne (pas plus que le sosse de sar ou les autres nombres supérieurs à un kas'bu), ne figurait, par conséquent, comme eux, que dans la numération écrite.

Après ces longues explications, il semble tout à fait incontestable, non seulement qu'Hérodote connaissait, d'une manière très exacte, tous les faits qui viennent d'être rappelés, mais encore qu'il les a nécessairement portés à la connaissance de ses concitoyens, si ceux-ci ne les connaissaient pas déjà, au moment de son retour en Grèce, et, par suite, il est évident que Platon, né 430 ans avant notre ère, c'est-à-dire 54 ans après Hérodote, devait connaître aussi tous ces faits avec la même exactitude et plus exactement encore, s'il est possible.

Les conclusions finales des observations qui procèdent sont donc :

1** Que Platon, lorsqu'il a écrit le huitième livre de sa République, n'ignorait pas et ne pouvait pas ignorer que le kas'bu des Assyriens^ égal à 21.600 unités, était en même temps égal soit à 30 US = 30 fois 720, quand on se servait de la numération duodécimale, soit à 6 sars = 6 fois 3.600, ou, si l'on aime mieux, égal à un sosse de gagars = 60 fois 360, quand on se servait de la numération sexagésimale, et en outre que ce nombre 21.600 pouvait être exprimé, en langue grecque, en disant : 2 myriades 16 monades, comme M. J. Dupuis l'a fait à la page 20 de sa première brochure publiée, en 1881, sous le titre de : Le Nombre géométrique de Platon — Interprétation nouvelle;

Et 2^ que Platon savait aussi très bien, lorsqu'il a écrit sa République, que le kas'bu était, chez les Assyriens, comme la myriade chez les Grecs, le plus fort des nombres exprimés dans les numérations parlées, quoique les numérations écrites fuss^it toujours réglées de manière à permettre d'aller plus loin, lorsque cela était nécessaire.

En dernier lieu, il est facile de comprendre que Ton disait autrefois, dans la langue populaire, soit im kas'bu d'années chez les Assyriens, soit une myriade d'années chez les Grecs, quand on voulait exprimer une longue série d'années en nombre indéterminé, et qu'enfin le kas'bu représentait, dans le premier cas, comme la myriade dans le second, la période après laquelle on recommençait à compter les nombres en les reprenant à l'unité,

§2. — Observations relatives à l'emploi actuel du nombre 21.600.

Tous les peuples de l'Europe et même, on peut le dire, tous ceux du monde entier se servent aujourd'hui et se servent, depuis longtemps, de la période fort remarquable qui est formée par la réunion de 21.600 unités; et il est, en outre, facile de s'assurer que la connaissance de ce nombre nous est venue des Chaldéens, en passant par les Grecs; car il suffit, pour cela : 1** de considérer que le chiffre 21.600 est précisément celui que nous employons pour exprimer le nombre des minutes contenues dans la circonférence d'un cercle, divisée elle-même, comme tout le monde le sait, en 360 degrés partagés chacun en 60 minutes, ce qui donne en totalité 360 foie 60 ou 21.600 minutes;

Et 2^ de constater que l'on s'accorde partout aujourd'hui pour reconnaître que cette division de la circonférence en 360 degrés et 21.600 minutes a été adoptée et mise en pratique, en se conformant aux règles de la numération sexagésimale, dont les Chaldéens d'abord et les Assyriens ensuite se sont servis seuls dans l'antiquité.

11 est évident, en effet, que c'est parce que les nombres étaient exceptionnellement divisés, dans l'ancienne numération sexagésimale, en sizaines, en sosses, égaux à 10 sizaines; en gagars, égaux à 6 sosses; en sars, égaux à 10 gagars, et en kas'bu, égaux à 6 sars, de la manière indiquée sur la partie droite du tableau inséré dans le paragraphe précédent; il est évident, dis-je, que c'est pour cela que les Chaldéens, ayant toutes leurs circonférences naturellement divisées en six arcs égaux, sous-tendus chacun par un rayon, ont été conduits à y introduire ensuite l'une après l'autre :

1^ La division en 60 minutes d* heure ' (un sosse de minutes), en partageant chacun de ces six arcs en dix parties égales, qui constituent précisément les 60 divisions que nous marquons encore aujourd'hui sur les cadrans de nos horloges pour y indiquer les minutes des heures ;

2^ La division en 360 degrés (un gagar de degrés), en partageant chaque minute d'heure en six parties égales ;

3^ La division en 3.600 parties plus petites (un sar de parties), en partageant chaque degré en dix parties égales;

(1) Je dis : minutes d'heure pour distinguer ces minutes des minutes de degrés dont eUes diffèrent essentiellement.

Et 4<* enfin la division en 21.600 minutes de degré (un kas'bu de minutes), en partageant chaque dixième de degré en six parties égales ;

Explications qui suffisent en outre pour montrer que le nombre 21.600 peut être considéré comme égal à 6 X 10 X 6 x 10 x 6, ou, si Ton aime mieux, comme représenté par l'expression algébrique 6*10* =216 x 100=21.600.

D'autre part, on le remarquera, ce nombre est divisible par 36 facteurs, tous plus petits que sa racine carrée, et qui sont les suivants :

2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 54, 56, 60, 64, 72, 75, 80, 90, 96, 100, 108, 120. 135 et 144.

Par conséquent, un. nombre égal de facteurs, tous plus grands que cette racine, peut le diviser encore, et Ton voit par là qu'il peut être mis, à volonté, sous un grand nombre de formes différentes que j'aurai à étudier plus tard.

Mais, avant d'en venir là et pour que l'importance que l'on donnait autrefois à ces diverses décompositions puisse être appréciée à sa juste valeur, j'ai besoin de faire connaître et d'exposer sommairement les principales théories adoptées et soutenues par les anciens philosophes et en particulier par Platon lui-même sur la valeur et le choix des nombres.

Ces théories que personne n'admet plus depuis longtemps, et qui nous font sourire aujourd'hui, ont pourtant gouverné le monde pendant toute l'antiquité, et il importe, par ce motif, d'en tenir ici un grand compte.

Voici, d'ailleurs, en quels termes Platon lui-même en parle, dans son dialogue intitulé Epinomis, dont je copie le texte sur la traduction de Cousin :

Voulant (( trouver une science qui mérite véritablement le nom de sagesse, une » science enfin qui tire de la classe des artisans et des gens du commun quiconque l'a » acquise et en fasse un homme sage et vertueux, un homme juste et réglé dans toute sa » conduite, soit qu'il commande ou qu'il obéisse, » Platon se demande avant tout : « quelle est de toutes les sciences celle qui, si elle venait à manquer à l'homme, ou, s'il » ne l'avait jamais connue, en ferait le plus stupide et le plus insensé des animaux. »

Après cela, il ajoute : « Elle n'est pas difficile à trouver, car si on les compare une » à une, aucune ne produirait plus sûrement cet effet que celle qui donne au genre humain » la connaissance du nombre, et je crois qu'un Dieu, plutAtque le hasard, nous a fait » don de cette science pour notre conservation. »

Ce qui le conduit à conclure de la manière suivante :

« Il est donc de toute nécessité que le nombre serve de fondement à tout le reste. »

Les mêmes idées, comme je Tai déjà dit, ont été adoptées partout dans l'antiquité, et on les retrouve jusque dans l'Écriture-Sainte, où il est dit : « Omnia in numéro, et » pondère et mensura disposuisti. » (Sap., xi, 21.)

Ce sera donc en considérant toutes ces anciennes théories comme incontestables que j'étudierai, dans le paragraphe qui va suivre, le nombre 21.600, sur lequel je veux appeler l'attention d'une manière spéciale.

kBCUBIL, XV. 10

§ 3. — Observations relatives au nombre 21.600, considéré au point de vue des anciennes théories sur la valeur et le choix des nombres.

Ce sont surtout les Pythagoriciens qui ont développé et propagé, dans Tantiquité, la science des nombres, et voici sommairement en quoi elle consiste :

On y distinguait d'abord les nombres, en très petite quantité, qui ont la singulière propriété d'être reproduits par la somme de leurs parties aliquotes; on donnait i ces nombres le nom de parfaits, et on les considérait comme tels.

Le plus faible est 6 \ dont les parties aliquotes sont 1, 2 et 3, ensemble 6.

Le suivant est 28, ayant pour parties aliquotes 1, 2, 4, 7 et 14, ensemble 28.

Le troisième est 496, avec 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62. 124 et 248 pour parties aliquotes, ensemble 496, etc., etc.

Le premier de ces nombres (6) est un de ceux que Ton considérait le plus. On Im donnait, en Grèce, le nom de -^éiio^ « mariage », parce qu'il est le produit du nombre 2, premier nombre pair (considéré comme femelle et terrestre), par 3, premier nombre impair (considéré comme mâle et céleste).

Et, à cette occasion, Plutarque a dit {Œuvres morales, Questions romaines, § l<fê de la traduction d'Amyot), en parlant du nombre impair, « qu'il engendre et est plus » fort que le nombre pair, estant composé, et si on les divise l'un et l'austre en unitéc, » le pair monstrera un lieu vuide, au milieu, là où le /wwi-/iûar a toujours le milieu » remply d'une de ses parties, et pour ceste cause, ils ont opinion que le pair ressemble » plus à la femelle et le non-pair au mâle. »

Au V® siècle de notre ère, Stobée, philosophe grec, a reproduit à peu près les mêmes idées dans un passage (Meineke, Leipz., 1860, éd. Herzen, p. 14), dont voici la traduction :

(( L'impair est plus parfait que le pair, car l'un a un commencement, une fin et un » milieu, tandis que l'autre est privé.de milieu. »

On voit par là, en second lieu, qu'on accordait généralement plus d'importance aux nombres impairs qu'aux nombres pairs; et cette supériorité des nombres impairs peut être encore confirmée de plusieurs autres manières, puisqu'on sait, par exemple, que Virgile a dit, dans sa huitième Églogue : « Numéro Deus impare gaudet », et que Végôce a ajouté, de son côté : « Imparem numerum observari moris est. >i (De Re milita/ij liv. IJI, chap. vm.)

Cependant il est nécessaire de faire remarquer que tous les nombres parfaits^ sont pairs*.

(1) Euclide a conservé, dans ses Éléments (liv. IX, prop. 36) la formule dont les Pythagoriciens se servaient pour crouler la sôrie des nombres parfaits. Elle peut être mise algôbriqnenuent sous la forme suivante : 2^ (1^24-2 -f... + 2'^) == 2"^ (â^^^-x)» ^^^^ ^^^^ condition que (2^^"^^!) doit être un nombre premier,

(2) Au V* siècle de notre ère, la confiance ilUmit(''e en la puissance extraordinaire des nombres parfaits commençait dérjà à décroître, et. malgré cela, voici en quels termes saint Augustin s*exprimait alors, «n parlant du nombre »w?, au livre XI, chap. xxx de sa Cité de Dieu :

« Haec autem propter senarii numeri perfectionem. eodem die sexies repetito» sex diebus perfecta nar- » rantur : non quta Deo necessaria fuerit mera temporum, quasi qui non potuerit oreare omnia niDul, qaa' » deinceps conçruis motibus peragcrent tempora. sed quia per senarium numerum est operum siguificata ■5» perfectio. ».

(3) Cela résulte de ce que 2^ ^st n«^cessairement pair dans l'exprossion générale : g'^fg'*"^^-!).

Indépendamment de ces nombres, les Pythagoriciens en distinguaient encore d'au^^ très, qu'ils prenaient indifféremment parmi les nombres pairs et parmi les nombres impairs, en leur attribuant, comme aux nombres parfaits, des vertus extraordinaires.

Les plus remarquables de ces nouveaux nombres étaient, dans leur opinion, les nombres carrés, à propos desquels Censorin a dît, dans son Traité : De Die naiali (édition de la Haye, 1642, chap. iv, p. 93) :,Quadrati numeri potenti9sîmi ducuntur. Et cette croyance sînguUère en la puissance des nombres carrés était si générale, qu'elle subsiste encore, en quelque sorte, parmi nous, puisque nous continuons à donner, flans notre langage mathématique, les noms de 2*, 3®, 4^ puissances , etc., aux divers produits que l'on obtient en multipliant un n^me nombre par lui*mème.

Et ces explications suffisent pour montrer quelle devait être aux yeux de Platon la puissance extraordinaire du nombre SI. 600, égal, comme on Ta vu dans le § 2 oi-*dessus, À 216 (3** puissance du nombre par/ait 6), multiplié par 100 (2« puissance de 10 que les anciens tenaient aussi en grande estime ^).

D'un autre côté, il semble néce^^aire de faire remarquer, en parlant des nombres carrés, que chacun d'eux est égal à la somme d'une suite complète de nombres impairs, puisque, en effet :

1+3= 4, carré de 2;

1+3+5= 9, carré de 3;

1+3+5+7 = 16, carré de 4;

1+3+5+7+9 = 25, carré de 5;

1+3+5+7+9+11 = 36, carré de 6;

et ainsi de suite, indéfiniment.

Il semble môme permis de supposer que c'est à cette propriété que l'on peut attribuer la puissance accordée aux nombres carrés qui rèunissent et condensent, en quelque sorte, la vertu d'une suite de nombres impairs.

Les Pythagoriciens accordaient, en outre, une puissance comparable à celle des nombres carrés à tous les nombres qui pouvaient être considérés e^mmo égaux au produit de deux nombres, l'un carré et l'autre rectangulaire, mais seulement dans le cas où le nombre rectangulaire avait un de ses côtés égal au côté du carré. En d'autres termes, a et 6 étant deux nombres quelconques, i Is accordaient une véritable puissance au nombre qui pouvait être mis sous la forme de a* xab; et si l'on veut bien considérer que le même nombre pouvait être mis aussi sous la forme 6 X a', ce qui revient à dire, en d'autres termes, qu'il pouvait être considéré comme un multiple exact du nombre a élevé à la 3^ puissance, il ne sera pas difficile d'en conclure que c'est précisément par ce rtiotif qu'une puissance incontestable lui était attribuée.

Les mêmes philosophes accordaient aussi une puissance réelle à tous les nom* bres entre lesquels des relations particulières se trouvaient établies; aussi bien aux

{!) Voir, à propos de ce nombre 10, ce que M. J. Dupuib en a dit daus sa première brochure (p. 49 et soivatUes).

nombres qui servaient à déterminer les intervalles dans l'éclidle musicale, tels que :

5/6 pour la tierce mineure, 4/5 pour la tierce majeure, 2/3 pour la-quinte, 3/5 pour la sixième, et 1/2 pour Toctave, qu'à ceux qui formaient par leur rapprochement, soit des proportions, soit des progressions arithmétiques ou géométriques, ascendantes ou descendantes, soit aux raisons do ces progressions.

En dernier lieu, et il importe d'insister ici sur ce point d'une manière particulière, ils accordaient une importance majeure à Tensemble des trois nombres 3, 4 et 5 qui correspondent, comme tout le monde le sait, aux trois côtés du triangle rectangle que Plutarque a dit être le plus beau de tctus et à l'occasion duquel il a ajouté, dans son Traité d'Isis et d'Osiris {Œuvres morales et mêlées , traduction d'Amyot, t. I, p. 853), que Platon semble s'être servi de ces nombres, dans ses livres de la République, pow* composer sa Jigure nuptiale.

Quelle que puisse être la vérité sur ce dernier point, la réunion de ces trois nombres reste, dans tous les cas, très digne de remarque, en premier lieu, parce que la somme des carrés des deux premiers est très exceptionnellement égale au carré du troisième :

3«4.4' = 5* Et en second lieu surtout parce que tous les nombres principaux de la numération assyrienne sont fonction de 3, de 4 et de 5, de la manière suivante : 3-1-44-5 = 12 = une douzaine ; 3x4x5 = 60 = un sosse;

3* X 4* X 5* = 3.600 = un sar = un sosse élevé au carré; et 3* X 4* X 5* = 216.000 = un sosse de sar = un sosse élevé au cube , et Ton voit par là que, lorsque Plutarque a dit que Platon s'est servi des trois nombres 3, 4 et 5 pour composer le nombre qu'il appelle nuptial, c'est à peu près comme s'il avait dit que ce nombre a été formé en se servant de la numération sexagésimale des Assyriens.

Quelques autres combinaisons des trois nombres 3, 4 et 5 doivent être signalées en outre. C'est ainsi, par exemple, que la somme de leurs trois cubes est égale au cube du nombre parfait 6 :

et que la somme de leurs trois carrés est égale à 50 :

3« + 4* + 5^ = 9 + 16 + 25 = 50 d'où il résulte que le nombre 21.600 peut être écrit comme il suit : 2(3' + 4« + 5*)(3' + 4' + 5').

(1) Ce nombre 216 avait appelé d'une manière particulière Tattention des Pythagoriciens, et correspondait, pour eux, au nombre de jours après lesquels les enfants naissent ciahles, parce que 816 jours contiennent 7 mois de 30 jours ou 210 jours, plus un nombre parfait de 6 jours destiné à parfaire les 216 jours.

§ 4. — Résumé et Conclusion,

Il résulte de ce qui a été dit, dans les trois paragraphes précédents, que le nombre 21.600 peut être décomposé, en fonction de ses facteurs, de plusieurs manières différentes, parmi lesquelles je me contenterai de citer les quatre expressions suivantes :

V 21.600 = 100 fois le cube du nombre joar/ar^ 6 = 100 x 6* = 100 x 216 ;

29 21.600= 100 fois lasommedes cubes des trois nomb.3,4et5 = 100x (3* 4-4*+5*);

3** 21.600 = 36, carré du nombre parjait 6, multiplié par 600, nombre rectangulaire, ayant un de ses côtés égal au côté du carré = 6* X 600 ;

Et 4*^ 21.600 = 2 fois la somme des carrés des nombres 3, 4 et 5, multipliée par la somme des cubes des mêmes nombres = 2 x (3* 4- 4* + 5*) x (3* + 4* -f- 5') ; expressions que Platon connaissait sans aucun doute et qui suffisent pour autoriser à croire que cet illustre philosophe devait attribuer incontestablement une puissance extraordinaire à ce nombre 21.600, en raison surtout de sa formation en fonction de la 3« puissance du nombre parfait 6, ou, ce qui est la môme chose, en fonction des 3«* puissances des nombres 3, 4 et 5, si chers aux Pythagoriciens.

D'un autre côté, comme un Mémoire, publié en 1881 par M. J. Dupuis, tend à prouver que ce même nombre, 21.600, est précisément celui dont Platon a fait son nombre géométrique, il semble bien permis de croire, si mon illusion n'est pas complète, que telle peut être, en effet, la vérité.

Cependant le même commentateur s'est décidé à repousser cette première conclusion dans un autre Mémoire qu'il a publié, dès l'année suivante, et dans lequel il cherche à établir qu'en définitive c'est le nombre 760.000 qui est le véritable nombre géométrique.

Mais cette nouvelle conclusion est bien difficile à admettre, par cette seule raison que ce nombre 760.000 n'est divisible ni par 3, ni par 6, et par conséquent se trouve en contradiction formelle d'abord avec l'assertion de Plutarque qui, dans son Traité d'Isis et d'Osiris, considère le nombre nuptial de Platon comme formé, ainsi qu'on l'a déjà vu dans le paragraphe précédent, en se servant des nombres 3, 4 et 5, et ensuite on peut le dire, avec la plupart des commentateurs qui ont publié leurs opinions soit avant, soit après Plutarque, et au nombre desquels je citerai :

En premier lieu, Philon le Juif, l'un des prédécesseurs de Plutarque, qui a supposé le nombre géométrique égal à 50, parce que 50 est égal à la somme des carrés des trois nombres 3, 4 et 5;

Ensuite, dans le XVP siècle, Maffei (Raphaël), surnommé Volterranus, qui a proposé 1.728, 3® puissance de 12, parce que 12 est la somme des mômes nombres 3, 4 et 5;

Stapulensis (Jacob-Faber) et Barocius (François), qui ont proposé aussi 1.728;

Et, dans des temps plus rapprochés de nous :

Fries (Jacques- Frédéric), philologue allemand, qui propose 5.040, parce que ce nombre est égal à 144, carré de la somme des nombres 3, 4 et 5, multiplié par 35, somme des cubes de 2 et de 3;

7« LE NOMBRE GÉOMÉTaïQUE DR PLATON

Schneider (Charles-Ernest), Schleiermacher (Frédéric-Daniel-Ernest), Vincent (Alexandre-Joseph) et Martin (Théodore-Henri), ces deux derniers, membres de r Académie des inscriptions et belles-lettres, qui s'accordent tous les quatre pour regarder le nombre 216 comme déduit de la première partie de la phrase énigmatique de Platon.

D'autres raisons, sur lesquelles je vais appeler l'attention, contribuent aussi à me porter à dire qu'il est indispensable de rejeter le nombre 760,000, quoique admis, en dernier lieu, par M. J. Dupuis, et qu'il y a lieu de reprendre, au contraire, le nombre 21.600, préféré dans son premier Mémoire.

Par exemple, dans la Revue Philosophique de 1882 (n** 2, p. 210), M. l'ingénieur Paul Tannbry a dit, avec une grande apparence de vérité, qu'il faut voir dans l'énigme de Platon une allusion à une période dont il aurait été parlé avant lui. S'il en est ainsi, la période qui correspond au kas'bu des Assyriens et qui sert à mesurer le nombre des minutes contenues dans une circonférence de cercle, semblerait bien capable d'être préférée à toutes les autres.

Il y a lieu de considérer en outre que les deux plus forts nombres proposés jusqu'à ce jour sont :