multiplié par

donne 509.376

<TT

TT«T«îS<«TÏT

L'élévation au carré de tous les nombres de deux chiffres, c'est-à-dire de tous ceux qui ne contiennent que des unités et des dizaines, pouvait aussi être effectuée, dans tous les cas, directement ; et l'on constate ainsi que, sur le document mathématique de Senkereh reproduit, en entier, par M. Lenormant, en tête de son Essai-, tous les carrés de la première colonne ont pu être écrits directement.

Pour le prouver, considérons le plus compliqué de tous, celui de 59 = ^, que la règle ordinaire conduirait à calculer de la manière suivante :

multiplié par

donne :

1° pour 9 fois 59 ci

et en total

Il ne sera pas difficile de comprendre qu'un Chaldéen pouvait calculer et écrire directement ce carré en disant :

1° 9 fois 9 font 81 = 1 Sosse, 2 dizaines et 1 unité que j'écris, en retenant 1 Sosse et 2 dizaines.

2° Deux fois 5 dizaines multipliées par 9 unités font 90 dizaines ou 15 Sosses, qui réunis au Sosse et aux 2 dizaines déjà retenus fout 16 Sosses et 2 dizaines, que je retiens eu totalité, pour les additionner

3° au carré de 5 dizaines, égal à 2500, c'est-à-dire à 41 Sosses plus 4 dizaines, ce qui porte le total que je vais écrire à 41 Sosses et 4 dizaines plus 16 Sosses et 2 dizaines, c'est-àdire à 48 Sosses; le carré de 59 est donc finalement réglé, par ce nouveau calcul, à 48 Sosses plus une unité, comme par la multiplication précédente.

Dans tous les exemples ci-dessus, les divers produits obtenus contiennent précisément autant de colonnes de chiffres qu'on en trouve dans les deux facteurs réunis et il est, en thèse générale, impossible qu'ils en contiennent davantage ; mais on peut, on le remarquera, en trouver quelquefois une de moins. En effet, soit donné un nombre quelconque contenant, par exemple. 5 colonnes de chiffres et multiplions-le par 60, en avançant d'une colonne vers la gauche tous les chiffres de ce nombre; on ne comptera que six colonnes de chiffres dans le produit ainsi obtenu, et cependant, dans ce cas particulier, le multiplicande en contiendra cinq et le multiplicateur égal à un Sosse = J » » j, en contiendra lui-même deux, ensemble sept. D'autre part, puisque le carré de 59 ne dépasse pas, comme on Arient de le voir, 58 Sosses plus une unité et ne contient ainsi que deux colonnes, sans pouvoir en contenir davantage, il est clair qu'il ne peut jamais y avoir, comme je viens de le dire, dans le produit de deux nombres, quelque élevés qu'ils soient, plus de colonnes que dans ces deux nombres réunis; et cette seule considération me permettra de dire, dans le paragraphe suivant, comment on pouvait déterminer, à l'avance, quand on avait à faire une division, combien de colonnes de chiffres devaient être contenues dans le quotient, parce que, en effet, le quotient d'une division et son diviseur peuvent être considérés comme les deux facteurs d'un produit représenté par le dividende.

§ 3. Division des nombres entiers.

Considérons d'abord le cas où le diviseur ne se trouvait composé, dans les divisions que l'on avait à faire, que d'un seul chiffre et proposons-nous, par exemple, de diviser par 6 les deux nombres suivants :

r 192.882 = ?M|«<WfTT et 2° 9.282= ]] |<« ^ \<<<]]

Comme le chiffre écrit dans la première colonne de gauche a, dans le premier cas, une valeur supérieure, et dans le second cas, une valeur inférieure à celle du diviseur égal à ^, il est clair que le premier quotient cherché devra contenir précisément autant de colonnes que le dividende et que le second en devra contenir une de moins. Toutefois, dans ces deux cas, la division pouvait et devait être effectuée directement, à la condition de la commencer par la gauche et de ne pas oublier que les unités, dans le système sexagésimal, sont toujours égales, à quelque colonne qu'elles appartiennent, à 6 dizaines de la colonne suivante.

En appliquant ces principes aux deux nombres donnés, on constate aisément :

Essai

TTT =

TTT

<«TTT «TT

TTT =

que le premier

divisé par (>, don ne

et ([lie le second

divisé de même, donne Lorsque le diviseur, au lieu de ne contenir qu'un seul chiffre, en contenait deux, dans une seule colonne, si, par exemple, il se trouvait égal à ^yyy = 46, l'opération devait être conduite de la même manière et toujours en commençant par la gauche; mais comme les chiffres sur lesquels on opérait, dans ce cas, avaient une valeur trop forte pour qu'il fut possible d'écrire directement le quotient, il devenait alors nécessaire d'agir comme pour nos divisions décimales ordinaires, en faisant autant de soustractions partielles qu'il devait y avoir de chiffres dans le quotient et en disposant les résultats successifs de ces diverses opérations de la manière indiquée dans les deux exemples suivants :

1er exemple.

1 fois

reste

10 fois

reste

3 fois

reste

50 fois

reste

7 fois

<«TTT

«TTT

TTT

< TTTJ

1er

TTT

TTTT

«TT

TTT TT

«TT

204.102 divisé par <<<^{ = 46 1er quotient T ! <TTT «^ = 4437

3 fois

reste

20 fois

reste

6 fois

tt <«f i m

2e exemple.

= 9.476 divisé par ^<^ = 46