CHAPITRE SECOND
Essai sur l'arithmétique chaldéenne.
§ 1. Addition et soustraction des nombres entiers.
On a vu, dans le chapitre précédent, avec quelle facilité toutes les additions des nombres entiers pouvaient être opérées, quand les nombres donnés étaient écrits en caractères cunéiformes, dans le système sexagésimal chaldéen, et il est facile de comprendre maintenant que toutes les soustractions pouvaient être opérées avec une égale facilité, dans le même système.
Deux cas seulement pouvaient se présenter : ou bien on trouvait, dans les diverses colonnes du nombre le plus fort, plus d'unités, de Sosses, de Sars etc. que dans les colonnes correspondantes du nombre le plus faible et, dans ce cas, la soustraction s'effectuait comme dans notre système décimal moderne.
Exemple : 13.592 = ]]] moins 7.998 = |J
donne 5.594 = T
<TTT
<«TTT <W
ou bien on trouvait, dans quelques-unes des colonnes du nombre supérieur, moins d'unités que dans les colonnes correspondantes du nombre inférieur, auquel cas il fallait, pour rendre la soustraction possible, emprunter à la colonne voisine une unité valant 60 unités de la colonne suivante.
Exemple : 10.812 = JJJ 5.679 = |
moins
donne 5.133 =
«W i <«TTT
Et l'on voit, par cet exemple, que l'opération reste, au fond, la même, dans les deux cas, puisque le Sar emprunté à la première colonne de gauche, dans la seconde soustraction, vaut 59 Sosses et 60 unités et puisque, par conséquent, le nombre 10.812 peut être exprimé, dans le système sexagésimal, par 2 Sars, 59 Sosses et 72 unités, aussi bien que par 3 Sars, 0 Sosses et 12 unités.
§ 2. Multiplication des nombres entiers.
Les règles de la multiplication chaldéenne étaient, comme celles de l'addition et de la soustraction, presque identiques à celles de l'arithmétique décimale moderne. Il est d'abord certain que ces opérations devaient être commencées par la droite, puisque la multiplication
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n'est qu'une forme particulière de l'addition. 11 est, en outre, facile de voir que Lorsque le multiplicateur ne contenait que des unités, le produit pouvait être écrit directement, dans tous les cas, en multipliant successivement les unités, les dizaines, les Sosses, les Ners etc. du multiplicande par le chiffre des unités du multiplicateur, à la condition cependant de ne pas oublier : 1° en multipliant les unités, les Sosses, les Sara etc., qu'il faut 10 unités pour former une dizaine, 10 Sosses pour former un Ner, etc. et 2° en multipliant les dizaines, les Ners, les dizaines de Sars etc., qu'il suffit de 6 dizaines pour former un Sosse, de 6 Ners pour former un Sar etc.
Exemple : 42.44s = ^J <<<^
multiplié par 7 =
donne 297.136 = | «TT<«IT ! <W
Si le multiplicateur, au lieu de ne contenir que des unités, ne contenait que des dizaines, l'opération était toujours la même et le produit pouvait être écrit encore directement, Il faut cependant un peu plus d'attention pour s'en rendre compte, dans ce dernier cas, lorsqu'on n'est pas habitué à se servir de la numération sexagésimale. L'exemple suivant aidera à le faire comprendre :
Proposons-nous de multiplier 42.448 = {J I ^fp
par 40 =
En détaillant cette opération,
on trouve successivement : 1° 40 X 8 = 32 dizaines = 5 Sosses, 2 dizaines = ^ ^ 2° 40 X 2 dizaines = 80 dizaines = 13 Sosses, 2 dizaines = /TTT ^Y
3° 40 X 7 Sosses = 280 Sosses = 28 Ners = 4 Sars, 4 Ners = ^
4° 40 X 4 Ners = 160 Ners = 26 Sars, 4 Ners =
5° 40 X 1 Sar = 4 dizaines de Sar = <<<
6° 40 X 10 Sars = 40 dizaines de Sar = 6 Sosses et 4 dizaines de Sar = III ! <5<
Et en effectuant l'addition : ^jt?T 'WW' K<<
Il semblera, au premier abord, bien difficile de comprendre comment une opération, en apparence aussi compliquée, pouvait être effectuée directement, en une seule fois. Mais cette difficulté ne provient, comme je l'ai déjà fait observer, que du peu d'habitude que nous avons de la numération sexagésimale. Voici, en effet, comment les calculateurs chaldéens opéraient :
Ils disaient : 1° 40 fois 8 unités font 5 Sosses et 2 dizaines que je retiens, parce que la multiplication des dizaines par d'autres dizaines va donner, tout-à-1'heure, d'autres Sosses et d'autres dizaines.
2° 40 fois 2 dizaines font 1 Ner, 3 Sosses et 2 dizaines qui, réunis aux 5 Sosses et 2 dizaines déjà retenus donnent 1 Ner, 8 Sosses et 4 dizaines, sur quoi j'écris au produit 8 Sosses et 4 dizaines, en retenant un Ner, parce que les Sosses que je vais multiplier par 4 dizaines donneront d'autres Ners.
3° 40 fois 7 Sosses font 4 Sars et 4 Ners, soit eu ajoutant le Ner précédemment retenu, 4 Sars et 5 Ners, que je retiens intégralement, parce que la multiplication des Ners donnera encore des Sars et des Ners.
4° 40 fois 4 Ners font 26 Sars et 4 Ners qui réunis aux 4 Sars et 5 Ners déjà retenus, donnent 31 Sars et 3 Ners sur lesquels j'écris seulement 1 Sar et 3 Ners, en retenant 3 dizaines de Sar, parce que la multiplication des Sars par des dizaines va donner de nouvelles dizaines de Sar.
5° 40 fois un Sar font 4 dizaines de Sar, auxquelles je joins les 3 dizaines retenues tout-à-l'heure et j'obtiens ainsi un Sosse et 1 dizaine de Sar que je retiens en entier, parce que la multiplication qu'il me reste à faire va donner, elle aussi, des Sosses et des dizaines de Sar.
Et 6° enfin 40 fois 1 dizaine de Sar donnent 6 Sosses et 4 dizaines de Sar qui, réunis au Sosse et à la dizaine retenus tout-à-l'heure, donnent 7 Sosses et 5 dizaines que j'écris en entier pour porter, comme on l'a vu précédemment, le produit total à ^ <^J {{$$ ^ = 1.697.920.
L'exemple que je viens de choisir est peut-être le plus compliqué de tous ceux qui peuvent se présenter, et par conséquent suffit amplement pour démontrer que lorsqu'on avait à multiplier un nombre donné, quel qu'il fut, par un autre nombre comprenant seulement des dizaines et des unités, cette multiplication pouvait toujours être effectuée au moyen 1° de deux multiplications partielles, l'une par les unités, et l'autre par les dizaines, et 2° de l'addition des deux produits ainsi obtenus, comme on peut le voir sur l'exemple suivant :
Soit le nombre ci-dessus 42.448 = à multiplier par 47 = on trouvera, comme on l'a déjà vu :
1° en le multipliant par 7— 297.136
2° en le multipliant par 40—1.697.920
Et enfin en additionnant
ces deux résultats 1.995.056
«TT
<«TT|<ffi <«W <<«
Toutes les autres multiplications, quelque compliquées qu'elles fussent, pouvaient être faites de la même manière, parce qu'il est évident que, pour multiplier un nombre par des Sosses, il suffit de le multiplier d'abord par des unités en nombre égal à celui des Sosses et de multiplier ensuite par 60 le produit ainsi obtenu. Or la multiplication par 60 se fait nécessairement en remplaçant les unités du multiplicande par des Sosses, les dizaines par des Ners, les Sosses par des Sars etc., en d'autres termes, en avançant tous les chiffres de ce multiplicande d'une colonne vers la gauche, comme la multiplication par 10 se fait, dans notre système décimal, en avançant les mêmes chiffres d'un rang du même côté. Et il résulte de là que pour multiplier, par exemple, par 23 Sosses, il y a lieu et il suffit de multiplier par 23 unités, en ayant soin d'avancer d'une colonne, vers la gauche, chacun des chiffres du produit ainsi obtenu.
Essai
Si donc on avait à multiplier 42.44s —
par 1.427 =
voici comment on devait opérer :
La multiplication par 7 donnait 297.136
Celle par 4 dizaines
Celle par 3 Sosses
et celle par 2 Ners
Le produit total était donc
alors égal à
<yy x<w
«mm
«TT | <«TT { <m
tw
«TT
ITT
<«TTT
« rr
W |tWff
Les mêmes règles étaient évidemment applicables à tons les cas qui pouvaient se présenter; mais on pouvait les simplifier dans quelques cas particuliers. Ainsi, par exemple, les multiplications par ^TT = 12, au lieu de nécessiter deux opérations partielles et une additiou, pouvaient être effectuées directement, comme il est facile de s'en assurer en faisant, en une seule fois, la multiplication suivante :
