SUS'I

1 M. Oppert, dans son Etalon, donne, on ne sait pourquoi, le nom bavant-bras à cette demi-coudée que tous les métrologues sont depuis longtemps d'accord pour désigner, avec les Grecs, sous le nom de Spithame et avec les modernes, sous celui d'Empan.

170 Essai

D'après M. George Smith : d'après M. Oppert :

1 qaim =s b' coudées = 10 pieds, 1 qanu = 3 coudées = 5 pieds,

1 gar == 12 coudées = 20 pieds, 1 SA = 0 coudées = 10 pieds,

1 sus =720 coudées = 1.200 pieds, 1 US = 300 coudées = 600 pieds,

1 Kaspu = 30 sus. 1 KAS'BU = 30 US.

Et l'on voit ainsi que, dans le système de M. Oppert, le qanu égal à 5 pieds correspond au pas des Romains (passus),

(pie le SA, égal à 10 pieds se confond avec le décempede (Pertica des Romains — Ây.a'.va des Grecs — Calame des Égyptiens),

(pie l'US égal à 000 pieds est un stade, et que le KAS'BU égal à 30 stades est une parasange.

Ce système paraît donc infiniment plus facile à admettre que l'autre. Mais correspond-il lui-même à la vérité V Je ne le pense pas, car l'U = S^^ est un idéogramme qui exprime, à la fois, l'idée de mesure et l'idée d'unité. C'est Yunité de mesure. Et ce n'est pas plus l'unité de longueur que l'unité de superficie, de volume ou de poids.

« Le signe U est, à la fois, une mesure de longueur, de superficie et de temps » a dit M. Oppert dans ses Mélanges d'archéologie égyptienne et assyrienne (t. I, 1er fascicule, septembre 1872).

« L'U était donc un carré dont le côté avait 36 coudées » ajoute le même auteur à la page 47 de son Etalon.

« La première des mesures de capacité chaldéo-assyriennes, a dit à son tour M. Lenormant, dans son Essai (p. 69), est le l'v de Josèphe, dont l'appellation se distingue avec certitude, sous la forme t^ >/-, i-nu, dans un des syllabaires du Musée Britannique, parmi les diverses significations de l'idéogramme S^pf-

Dans cet ordre d'idées, on remarquera que pendant qu'on trouve, avec M. Oppert, sur la tablette de Senkereh, les rapports suivants établis, dans le système métrique assyrien, entre quelques-unes des mesures de longueur :

une parasange = 30 stades, un stade = 60 SA ou décempèdes

un décempede = 2 qanu ou passus, un passus = 6 Empans,

on trouve aussi, dans le même système métrique, identiquement les mêmes rapports établis entre les mesures pondérales suivantes :

un talent = 30 mines fortes,

une mine forte = 60 sicles, un sicle = 2 drachmes,

une drachme = 6 oboles.

Dès lors, je le demande, pourquoi voudrait-on faire correspondre sHT à un empan, plutôt qu'à une obole,

et par conséquent TT à un pas (passus), plutôt qu'à une drachme.

TTT à un décempede (pertica), plutôt qu'à un sicle,

£iy5T à un stade, plutôt qu'à une mine forte, et ^ 55 ►— à une parasange, plutôt qu'à un talent t

Et il y a plus encore, car s'il était absolument nécessaire de choisir entre ces deux hypothèses, je n'hésiterais pas à préférer la seconde qui conduirait à rapporter l'U de la tablette de Senkereh et par suite la tablette tout entière ;ï des mesures pondérales, plutôt qu'à des mesures linéaires et cela pour plusieurs raisons :

D'abord parce que cette tablette se trouve sur la même brique que la série des cubes, auxquels les mesures pondérales correspondent beaucoup mieux que les mesures linéaires ;

ensuite parce qu'il semble difficile d'attribuer, à des mesures linéaires, un texte sur lequel on ne mentionne ni la coudée, ni le pied qui doivent être considérés cependant comme les mesures principales de la série linéaire ;

et en 3e lieu enfin, parce qu'il aurait été complètement inutile, après avoir donné, par exemple, la valeur d'un empan ftSH en fonction de lui-même, ou celle d'un stade en fonction de l'empan, d'ajouter, comme on l'aurait fait dans l'hypothèse que je combats, les valeurs de 2, 3, 4 et 5 empans et celles de 2, 3, 4 stades etc. jusqu'à 9 stades.

En outre, il semble permis de faire remarquer qu'il n'aurait pas été rationnel de placer, sur la même brique, deux séries se rapportant, d'une manière exclusive, l'une à des nombres concrets et l'autre à des nombres abstraits; et voici, en conséquence, quel est le nouveau système que je me crois autorisé à substituer à celui qui a été généralement admis jusqu'à ce jour :

Le tÇ^ sera, pour moi, Xunité par excellence, mais l'unité abstraite ne se rapportant pas plus à une mesure qu'à une autre; le J| et le JJJ seront, comme je l'ai déjà dit, le sixain et la douzaine. TT représentera ainsi un nombre abstrait, le sixain, comme JT représente, à l'inverse, une fraction abstraite, le sixième, et le signe T, considéré isolément, indiquera, par suite, aussi bien la midtiplication par 6 des nombres qu'il accompagne que la division par G de ceux qu'il précède. Exemples JJ = 1 X 6, JJJ = 2 )< 6 = 12, J| = % , Jt^f = '/(•, d'unité, IèJU^I = '/6 de Sar, c'est-à-dire un Ner.

Le signe £yy<| placé ensuite sur la tablette de Senkereh, entre 55 douzaines et 70 douzaines, ne pourra correspondre qu'à 60 douzaines (un Sosse de douzaines). Cette quantité sera, par suite, de même ordre que celle que nous nommons, en français, une grosse (une douzaine de douzaines) et comme j'avais besoin d'inventer un nom pour la désigner, je l'ai nommée arbitrairement, dans ma traduction, Sosse-rabit, en donnant, à tort ou à raison, à ce mot rabit la signification de grand, le Sosse de douzaines étant alors, pour moi, le grand-Sosse. On remarquera même que son idéogramme £ff<J diffère un peu de celui du Sosse £yy^|. J'ignore si c'est-là une simple variante ou une différence réelle. Les assyriologues le diront.

En dernier lieu, comme le ^ ^ ►— devient égal, en admettant mon hypothèse, à 6 Sars d'unités, c'est-à-dire à 360 Sosses, je lui ai assigné, par ce motif, dans ma traduction, le nom de Sosse-gagar.

En résumé, la tablette de Senkereh contient, si mon illusion n'est pas complète, une série de nombres abstraits, calculés de manière à faire connaître, d'une part, dans la colonne de gauche, de quelle manière la douzaine et ses diverses fractions peuvent être exprimées en unités et soixantièmes d'unité et d'autre part, dans la colonne de droite, combien 1, 2, 3 ... 10, 15, 20 ... 60 ... . 360 etc. douzaines, écrites dans le système populaire primitif,

172 Essai

contiennent d'unités écrites dans le système scientifique sexagésimal. Supposons, par exemple, qu'on veuille exprimer, dans ce dernier système, un nombre représenté, dans le premier, par «HT III *^F~ !ï^f¥¥ = ^ (l°uzamcs 6t demie plus 2 unités, ou ce qui est la même chose, par ^W yjj J yj yy^Pf = 55 douzaines, 1 sixain et 2 unités, on trouvera, sur la 2e colonne de la tablette, que ^7/ ]J\ = 55 douzaines peuvent être remplacées par /T ' » » Sosses et sur la linc colonne, que y yj ffs^ = 1 sixain et 2 unités correspondent à . . I iff unités,

ce qui donne pour l'expression totale /y j W unités

et la vérité de ces explications peut être encore confirmée par une observation particulière qui, à ma connaissance du moins, n'a été faite jusqu'ici par personne et qui consiste à foire remarquer que sur les parties placées à gauche de la tablette, dans la portion que j'étudie en ce moment, les chiffres sont écrits systématiquement d'une façon plus archaïque que sur la partie droite. On y trouve, en effet, constamment :

y{, au lieu de ^, pour correspondre à 4,

Urej au lieu de SF, pour correspondre à 7,

et YttV- au ^eu ^e îff> Pour correspondre à 9.

Si cette observation est exacte, c'est à tort que M. Smith a écrit ^ , dans la partie gauche de la 25e ligne, quand il y a rétabli les portions perdues; il aurait dû y écrire de préférence : yy-

Quelle que puisse être la vérité sur ce point, on verra, dans tous les cas, lorsque le moment d'étudier les détails du système métrique assyrien sera enfin venu, de quel grand secours peut être la tablette de Senkereh, pour aider à comprendre la formation des diverses mesures de tout ordre, tant linéaires que superficielles, cubiques ou pondérales, parce que ces diverses mesures sont toutes des multiples réguliers de 6, de 12, de 60, de 360 etc.

Il importe de signaler aussi, pour en finir avec cette tablette, un dernier fait qui semble lui-même bien remarquable, je veux parler de l'extrême facilité avec laquelle toute la partie perdue peut être restituée, quand on adopte l'hypothèse que je viens d'émettre.

Cette tablette était gravée, comme je l'ai déjà dit, sur la même brique que la série des cubes, et la fracture qui a enlevé sa partie supérieure a fait disparaître, en même temps, la partie inférieure de la série des cubes, qui n'existe aujourd'hui que jusques et compris le cube de 32. 28 lignes manquent donc à cette dernière série pour la compléter jusqu'à 60 et si la correspondance des lignes était exacte, sur les deux faces, il doit manquer aussi 28 lignes, sur l'autre face, au-dessus de la ligne pointillée CD tracée, au tableau 13, sur la seconde colonne du texte.

Lorsqu'on rétablit ces lignes, comme sur mon projet de restitution, en écrivant successivement : 4 Sosses, 3 Sosses, 2 Sosses, 1 Sosse et 48 unités, 1 Sosse et 36 unités, etc. de manière à remonter ainsi jusqu'à 1, en mettant, dans la colonne réservée aux unités, des chiffres identiques à ceux qui existent dans la colonne réservée aux Sosses, il arrive alors qu'on trouve fort exactement les 28 lignes dont je viens de parler, au-dessus de celle qui correspond à 5 Sosses. Je n'en ai conservé cependant que 27, dans mon projet de restitution, par suite de la suppression de la cinquième, et je vais dire, en m'occupant de la première colonne de la tablette, pour quel motif j'ai agi de la sorte.

On voit, sur la partie conservée de cette colonne, que les chiffres des unités, qui y restent, sont tous pairs et décroissent de deux en deux en remontant. Si l'on continuait jusqu'au bout la même loi de décroissement, on ne trouverait alors que 24 lignes au-dessus de celle qui correspond à 50 unités, ce qui serait très insuffisant, et de plus, la première ligne correspondrait à 2. Il est donc indispensable d'admettre un autre mode de formation, et si l'on reconnaît, comme cela semble nécessaire, que les chiffres de la première colonne doivent commencer par 1, aussi bien que ceux de la seconde, on voit aisément que les premiers chiffres doivent être tous écrits, sans interruption, et n'être ensuite continués, de deux en deux, que vers la fin de la série.

Or, c'est là précisément ce que mon projet de restitution confirme en montrant, de plus, que la série des nombres naturels devait exister sans interruption jusqu'à '/2 U, c'est-à-dire jusqu'à 30. Les deux colonnes commencent alors sur une seide et même ligne et commencent, toutes les deux, par le chiffre 1. Si donc j'ai supprimé la ligne 5, dans la colonne de droite, c'est uniquement pour obtenir cette correspondance exacte ; et je n'ai pas craint de le faire, parce que j'ai remarqué que la ligne qui correspond au septième Sar a été supprimée, d'une manière semblable, dans le bas de la même colonne, pour y réserver, à la fin du texte, une dernière ligne sur laquelle il fallait placer une annotation particulière : Jpt- ^>y>^> ^^( "V £y~| ^1 qui n'a été reproduite, ni par M. George Smith, ni par M. Oppert, et dont la signification m'est malheureusement inconnue.

Si néanmoins on trouvait préférable de rétablir, dans la seconde colonne, la ligne que je me suis décidé à y supprimer, on pourrait le faire sans inconvénient; et peut-être avec avantage, car le document, considéré dans son ensemble, se trouverait composé, dans ce cas, comme le tableau lui-même des cubes, de 60 lignes qui comprendraient : 1° 59 lignes réservées aux chiffres, dans chaque colonne, et 2° une 60e ligne conservée dans le haut de la première colonne et dans le bas de la seconde, pour y placer des annotations spéciales.

Les- chiffres de ces deux colonnes une fois rétablis, comme il vient d'être dit, conduisent immédiatement à la restitution complète de tout le reste du texte, ainsi qu'on le voit sur le projet qui accompagne ce mémoire, sur lequel je me suis trouvé cependant dans l'obligation d'écrire, en chiffres arabes, les fractions V30? '/20; Vis; V12? 7io> V5 et !/4, parce que je ne connais pas les idéogrammes qui les expriment en caractères cunéiformes.

En dernier lieu, on remarquera qu'il était complètement impossible d'adopter, pour la restitution de la ligne qui correspond à 58 uban, le système admis par MM. George Smith et Oppert, lorsqu'ils y ont écrit : 2/s U -f- 18 uban, et qu'il était, au contraire, indispensable d'y mettre, comme je l'ai fait, >/2 U -f- 28 uban, ces deux expressions étant égales, l'une aussi bien que l'autre, à 58 uban, et conservant d'ailleurs, dans les deux cas, la partie du texte primitif : 8 uban ... 58, qu'on peut lire encore sur la tablette, dans son état actuel.

Sans insister davantage sur tous ces détails, qu'il me soit permis de répéter, en terminant, que la première face de la tablette de Senkereh avait certainement pour objet de donner un moyen facile d'exprimer promptement et sans calcul, dans le système scientifique sexagésimal, un nombre déjà exprimé en douzaines, suivant l'ancien système populaire. Cette tablette ne servait donc, en fait, comme celles où l'on trouvait la série des carrés et celle des cubes qu'à rendre certains calculs plus prompts et plus faciles.

174 Essai

$ 6. Extraction des racines carrées.

M. George Rawunson, après avoir fait connaître aux pages 128 et suivantes de son premier volume, public en 1862, le système de numération sexagésimale qui résulte incontestablement de la table des carrés telle que nous la possédons aujourd'hui, s'est cru autorisé, malgré cela, à accréditer ensuite, en parlant de la numération chaldéennc, toutes les erreurs qui ont été reproduites, en 1868, dans l'Essai de M. Lenormant et même à les exagérer, car voici en quels ternies il s'est exprimé à cette occasion :

« La notation (sexagésimale) est embarrassante, mais à peine plus que celle des Romains. »

« Il serait audacieux de l'employer, à cause de sa pauvreté dans le nombre des signes, » qui pourrait souvent entraîner de la confusion '. »

Il y a là, j'ose le dire, autant d'erreurs que des mots, et c'est surtout pour réfuter ces erreurs que j'ai entrepris de rédiger le traité d'arithmétique qu'on vient de lire. Ma réfutation serait pourtant incomplète et mon travail laisserait à désirer, si je le terminais sans y joindre quelques détails relatifs à l'extraction des racines carrées, car je tiens essentiellement à montrer que l'arithmétique des Assyriens leur fournissait identiquement les mêmes moyens de calcul que la nôtre.

Il est facile de voir, en premier lieu, que la table des carrés, telle qu'elle a été publiée par M. Lenormant, leur servait à trouver directement et sans calcul les racines carrées de tous les nombres qui n'avaient pas plus de deux colonnes de chiffres, et c'était là, sans aucun doute, la principale utilité de cette table. Mais elle suffisait aussi pour rendre très simple, ainsi qu'on va le voir, l'extraction des racines carrées des nombres composés de plus de deux colonnes de chiffres.

Arrêtons-nous d'abord au cas le moins compliqué, celui où le nombre donné n'avait que trois ou quatre colonnes de chiffres et où par conséquent sa racine n'en avait elle-même que deux, c'est-à-dire, en d'autres termes, était composée seulement de Sosses et d'unités.

Tout le monde sait aujourd'hui et les savants assyriens savaient très certainement euxmêmes autrefois que, dans ce cas, le nombre donné, quel qu'il fut, pouvait être considéré comme composé de trois parties distinctes, en fonction des Sosses et des unités de sa racine, et qu'il comprenait :

D'abord le carré des Sosses uniquement composé de Sars et qui, par conséquent, ne pouvaient contenir ni des Sosses ni des unités,

Ensuite le double produit des Sosses par les unités qui ne pouvait contenir lui-même que des Sosses et des Sars, mais jamais des unités,

Et enfin le carré des unités.

Si donc nous considérons, pour fixer les idées, un nombre quelconque, par exemple, ^K^r I ^n? I H?W I ^RRf = 8-099-716> dans le but d'en extraire la racine carrée, le carré des Sosses de cette racine étant nécessairement contenu dans les Sars, c'est-à-dire dans le nombre

1) The notation is cumbrous, but scarcely more so than that of the Romans.

It would be awkward to use, from the paucity in the number of signs, which coule! scarcely fait

to give rise to confusion.

(KK^r \ (*($ — 2'849 ct la tal)le des carrés feisant oonaatoe que le plus grand carré contenu dans ce dernier nombre est égal à ({{$} <Kf^ = 2.209 dont la racine carrée est <}<W = 47, il en résulte que la racine cherchée devait contenir 47 Sosses ct n'en pouvait pas contenir davantage, et il ne reste par suite qu'à trouver les imités qui achevaient de former cette racine.

Mais si du nombre donné égal à <«W j «^ | <^f j <ffi == 8.099.716 on retranche le carré de 47 Sosses égal

lui-même, comme on l'a vu, à ^W I ^rS I = 2,2°9 Sar8>

le reste réduit à

<}< » | <#;y <flf| = 147.316

ne contient que le carré des unités plus le double produit des Sosses par les unités; et puisque ce double produit doit être nécessairement exprimé, comme je l'ai déjà dit, en Sosses, il est clair qu'on ne peut le trouver que dans le nombre ^ » ^^ = 2455 Sosses.

D'autre part, le double des ^^ = 47 Sosses de la racine est égal lui-même à J ^X^^P = 94 Sosses, par conséquent on trouvera le chiffre des unités en divisant ^ » | ^Y/ par T i K((W> et cette division, que nous savons faire maintenant, donne au quotient ({}}} = 26 avec un reste égal à {J i ^}{ = 676. Donc la racine cherchée est approximativement égale à ^^ I ^X}}} = 2846; et enfin comme la table des carrés montre que le reste ^T {}}} = ^® est Ie can'^ exact de ^} il en résulte que le nombre donné est un carré parfait et que la racine calculée est rigoureuse.

Voici comment cette opération pouvait être résumée à l'époque assyrienne :

Soit le nombre donné 8,099.716 le carré de ^Sr est égal à

Reste

KK X T I WV' soit 20 X 94 donne Reste

flff x T I (4KW> soit 6 fois 94 doune

Reste

<«f|«ffi

«<TTT « TT

<ffi

W «ffl

Et ce reste figure sur la table des carrés comme égal au carré de ^y^r; par conséquent le nombre donné est un carré parfait et sa racine exacte correspond au nombre

Si le même nombre était exprimé aujourd'hui en chiffres arabes, dans le système décimal, sa racine carrée devrait être calculée de la manière suivante :

17G Essai sur le système métrique assyrien.

et la comparaison que l'on peut établir maintenant entre ce dernier calcul et le précédent suffit pour montrer qu'on n'a eu a taire, dans le premier cas, que deux divisions par un seul et même nombre égal à 94, tandis qu'il en a fallu faire trois, dans le second cas, en changeant à chaque fois le diviseur qui a été égal à 4 pour la P1" division, à 56 pour la 2e et à 568 pour la 3e.

Les Chaldéens pouvaient donc, à l'aide de leur système de numération sexagésimale et de leur table des carrés, opérer plus simplement et plus rapidement que nous et l'on demeure confondu d'étonnement et d'admiration, quand on cherche à se rendre un compte exact des dates auxquelles il est permis de rapporter, je ne dis pas les premiers essais de leur arithmétique, mais, au contraire, l'époque de sa plus grande perfection.

Il est, dans tous les cas, bien certain que personne désormais ne peut plus être autorisé à croire et à dire, avec M. Geokge Rawlinson, que leur système de numération était d'un usage au moins aussi embarrassant que celui des Romains, ou bien encore que le petit nombre de signes qu'ils employaient était capable d'introduire une fâcheuse confusion dans leurs calculs.

On me permettra donc de considérer comme inutile d'insister plus longtemps sur ces premiers détails et d'indiquer, par exemple, comment on opérait chez les Chaldéens, quand les nombres dont on voulait extraire la racine ne correspondaient pas à un carré parfait, et quand on trouvait nécessaire, dans ce cas, d'exprimer, pour plus de précision, cette racine en soixantièmes ou en trois mille six centièmes ou bien, ce qui est la même chose, quand les nombres donnés contenaient plus de quatre colonnes de chiffres. L'opération, on le conçoit sans peine, était toujours conduite de la même manière, et je croirais faire injure à mes lecteurs en le leur expliquant ici.

Mais il est une dernière observation que je ne veux pas négliger de leur soumettre.

Puisqu'il est incontestable que les Chaldéens avaient poussé fort loin la science des nombres, à une époque qui se perd, en quelque sorte, pour nous, dans la nuit la plus profonde des temps et puisque la numération sexagésimale dont ils se servaient alors, infiniment plus parfaite, à tous les points de vue, que notre numération décimale moderne, leur permettait d'entreprendre, comme nous, et même mieux que nous, les calculs les plus compliqués, il semble, au premier abord, bien difficile de comprendre comment ce système de numération a pu être ensuite tellement abandonné et oublié qu'il n'en est plus resté, pour ainsi dire, aucune trace, et que ni les Romains, ni les Grecs, ni même peut-être les Egyptiens n'en ont jamais eu connaissance.

Ce fait quelque extraordinaire qu'il puisse paraître est cependant bien réel et par conséquent oblige, si je ne me trompe, à admettre, d'abord et avant tout, comme je l'ai déjà indiqué plusieurs fois, que la science chaldéenne n'a jamais été mise à la portée du plus grand nombre et qu'elle est restée, au contraire, dès son origine, en quelque sorte secrète et mystérieusement conservée dans une association très puissante, quoique très peu nombreuse, de prêtres et de savants qui s'en servaient, sans doute, pour établir leur influence et leur autorité sur les gouvernants eux-mêmes.