M. j. CHAuitrt

Séries à termes positifs : caractères de convergence ou de divergence tirés de l'étude des expressions :

Un + 1

nV Un.

Séries absolument convergentes. — Séries alternées. Limite de

pour m infini ; de

Nombre e. Série e^.

Fonctions d'une variable réelle. Représentation graphique. Fonction linéaire. Ligne droite. Pente. Problèmes élémentaires. Fonction du second degré. Parabole.

Équation du cercle.

Équations. de l'ellipse, hyperbole, parabole rapportées à leurs axes de symétrie. Fonctions périodiques. Représentation graphique. Sinusoïde.

Dérivée d'une fonction. Pente d'une courbe en un point. Équation de la tangente. Normale. Soustangente. Sous-normale.

Dérivées des fonctions de fonctions. Fonctions

Logarithmes vulgaires, logarithmes népériens. Sinus et cosinus hyperboliques. Tables.

Usage de la dérivée pour l'étude de la variation d'une fonction ; maxima et minima. Signification du signe de la dérivée seconde ; inflexions.

Théorème de RoUe : formule des accroissements finis ; représentation graphique. — Fonctions de plusieurs variables indépendantes ; dérivées partielles ; formule des accroissements finis. Dérivée 'une fonction composée. Applications. Courbe

y = x^ -\- px -{- q ;

discussion. Calcul approché des racines par la méthode de Newton ou la méthode des parties proportionnelles. Condition pour qu'un polynôme en x soit divisible par x — a, par {x — a)2 et par {x — a)3. Résolution graphique d'une équation de la forme

flx) — f{x) = 0 par l'intersection des deux courbes

Applications. Exemples de la méthode des approximations successives.

Fonction définie par une série entière en ce à coefficients réels. Intervalle de convergence. Addition et multiplication. — A l'intérieur de l'intervalle de convergence, on obtient la dérivée ou les fonctions primitives de la fonction, en prenant la série des dérivées ou des fonctions primitives. (On ne s'occupera pas de ce qui se passe aux extrémités de l'intervalle.)

Exemples : développement en série de

, -;— ; — ^. arc tang a;, Lll-A-x), L- ,

série du binôme, série arc sin a*. Développements en séries de sin .r et de cos x.

Formules de Mac Laurin et de Taylor :

Application de la formule de Taylor à l'étude du quotient de deux fonctions de x dans le voisinage d'une valeur donnée de x ; cas où les deux fonctions de x s'annulent pour cette valeur. — Diverses formes d'indétermination .

Croissances de e^ et Lx comparées à celles de x"K Application à la recherche de la limite

de pour x infini et de x"*Lx pour x =:0.

Grandeurs complexes. Représentation graphique. Module, argument. Fonctions

e', cos z, sin z, pour 2 complexe. Égalités

gx+iy—:^ (cos y -\- i siïi y) .

Sinus et cosinus hyperboliques, leurs relations avec le sinus et cosinus ordinaires. Somme de sinus et cosinus d'arcs en progression arithmétique.

Infiniment petits. — Infiniment petits équivalents. Ordre relatif de deux infiniment petits. Valeur principale. Exemples.

Différentielle première d'une fonction d'une variable. Différentielle totale d'une fonction f {x, y---.) définie par la formule

dr=f,dx + rydy + ....

Transformation de cette expression lorsqu'on remplace a*, y .... par des fonctions d'autres variables.

Intégrales. — L'aire d'un segment de courbe est la limite de la somme des rectangles inscrits ; emploi des symboles :

Çf{x)dx; r f{x)Ax.

Valeur moyenne d'une fonction dans un intervalle. Changement de variable. Intégration par parties.

Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples. Intégration des différentielles rationnelles en x et de celles qui s'y ramènent.

Application des quadratures à la rectification des courbes, au calcul d'un volume décomposé en tranches par des plans parallèles, à l'évaluation de l'aire d'une surface de révolution et au calcul des moments d'inertie.

Aires et volumes des solides de la géométrie élémentaire.

Courbure d'une courbe plane. Centre et cercle de courbure.

Développée d'une courbe plane. Application à la chaînette, à la cycloïde, aux coniques.

Fonctions de deux variables indépendantes :

Représentation graphique par une surface.

Équation d'un plan. — Équation d'une sphère.

Représentation d'une ligne dans l'espace par deux équations, ou par les expressions des coordonnées d'un point en fonction d'un paramètre.

Ligne droite.

Problèmes sur la ligne droite et le plan.

Tangente à une courbe gauche. Plan osculateur. Courbure. Normale principale. Centre de courbure.

Application à l'hélice circulaire.

Équations de l'ellipsoïde, des hyperboloïdes, des paraboloïdes rapportés à leurs axes de symétrie.

Plan tangent à une surface. Position de la surface par rapport au plan tangent.

Courbure des lignes tracées par un point sur une surface.

Théorème de Meusnier. Courbure des sections normales.

Indicatrice.

Équations différentielles du premier ordre à une fonction inconnue et -à une variable indépendante. Équation linéaire.

Équation linéaire du second ordre à coefficients constants sans second membre ou avec un second membre de la forme :

ou P{x) désigne un polynôme.

P(.t) + V Ae"'", Mécanique.

Cinématique du point. — Mouvement rectiligne d'un point. — Relativité du mouvement. — Vitesse, accélération. — Mouvement uniforme, uniformément varié, vibratoire simple.

Mouvement curviligne. — Vitesse. — Hodographe. — Vecteur accélération.

Accélérations tangentielle et centripète. — Diagrammes des espaces, des vitesses, des accélérations tangentielles.

Mouvement rapporté à des axes de coordonnées rectangulaires ou obliques et à des coordonnées semi-polaires.

Cinématique d'un système invariable. — Translation. — Rotation autour d'un axe fixe. — Mouvement hélicoïdal.

Changement du système de comparaison : composition des vitesses ; composition des accélérations bornée au cas où le mouvement du système de comparaison est un mouvement de translation.

;^ii).> Dynamique.

I. Poi7it matériel libre. — Principe de l'inertie. — Définition de la force et de la masse *. — Relation entre la masse et le poids. — Invariabilité de la masse. — Unités fondamentales. — Unités dérivées. — Mouvement d'un point sous l'action d'une force constante en grandeur et en direction ou sous l'action d'une force issue d'un centre fixe : i° proportionnelle à la distance ; 2" en raison inverse du carré de la distance.

Composition des forces appliquées à un point matériel *.

Travail d'une force, travail de la résultante de plusieurs forces, travail d'une force pour un déplacement résultant. — Théorème de la force vive. — Énergie cinétique et potentielle d'un point matériel. — Surfaces de niveau. — Champs et lignes de force.

II. Point matériel non libre. — Mouvement d'un point pesant sur un plan incliné avec et sans frottement, la vitesse initiale étant dirigée suivant une ligne de plus grande pente. — Pression totale sur le plan ; réaction du plan. — Petites oscillations d'un pendule simple sans frottement ; isochronisme.

Homogénéité. — Dimensions d'une vitesse ; d'une accélération ; d'une force ; d'un travail ; d'une quantité de mouvement ; d'une force vive.

Statique.

Statique du point. — ÉquiHbre d'un point matériel libre, d'un point matériel assujetti à rester sur une courbe fixe ou sur une surface fixe, avec ou sans frottement.

Moments. — Moment vectoriel par rapport à un point. — Moment par rapport à un axe.

1. On admettra qu'une force appliquée à un point matériel est égale géoniétriqueraent au produit de la masse du point par l'accélération qu'elle lui imprime.

2. On admettra que si plusieurs forces agissent sur un point, l'accélération qu'elles lui impriment est la somme géométrique des accélérations que chacune d'elles lui imprimerait si elle agissait seule.

Statique des systèmes de points matériels. — Démontrer qu'il existe six conditions nécessaires d'équilibre indépendantes des forces intérieures. — Démontrer que, pour les systèmes invariables, ces six conditions sont suffisantes. Cas particuliers.

Équivalence de deux systèmes de forces appliquées à un corps solide. — Application à la réduction d'un système de forces. — Composition des couples. — Centre des forces parallèles; centre de gravité ; moments des forces parallèles par rapport à un plan.

Équilibre d'un solide invariable qui n'est pas libre. — Cas d'un point fixe, d'un axe fixe avec ou sans glissement le long de cet axe, de un, deux ou trois points de contact avec un plan fixe. — Réactions.

Machines simples. — Levier, poulie fixe avec ou sans frottement; bascule, treuil, poulie mobile, moufle sans frottement.

Vérifier sur chacune de ces machines que, pour un déplacement élémentaire à partir d'une position d'équilibre, la somme algébrique des travaux élémentaires de la puissance et de la résistance est nulle, si l'on fait abstraction du frottement.

Arrêté relatif à l'Agrégation de renseignement secondaire.

10 Janvier 1905.

Le Ministre de l'Instruction publique et des Beaux-Arts',

Vu l'arrêté du 18 juin 1904 fixant les conditions et épreuves du concours pour chaque ordre d'agrégation des lycées ; Vu la loi du 27 février 1880 ;

Le Conseil supérieur de l'Instruction publique entendu, Arrête :

Dans les concours aux divers ordres d'agrégation, il est interdit aux candidats d'apporter aucune note écrite pour la préparation surveillée des leçons ou explications.

Arrêté approuvant la délibération du Conseil de l'Université de Bordeaux organisant les examens en vue du Diplôme d'Études coloniales de cette Université.

11 Janvier 1905.

Le Ministre de l'Instruction publique et des Beaux-Arts ',

Vu la loi du 10 juillet 1896 ;

Vu l'article 15 du décret du 21 juillet 1897, portant règlement pour les Conseils des Universités ;

Vu l'arrêté du 26 juillet 1902, approuvant la délibération du 13 mai 1902 du Conseil de l'Université de Bordeaux, instituant un diplôme d'études coloniales et en réglementant les conditions de scolarité ;

Vu la délibération, en date du 15 novembre 1904, du Conseil de l'Université de Bordeaux ;

Après avis de la Section permanente du Conseil supérieur de l'Instruction