MATHÉMATIQUES

j I. Algèbre et analvse.

Nombres incommensurables. Notion de coupure '"^

Dimion des polymunes entiers. — Plus grand commun diviseur de deux j>olynomes. \rrangements, permutations, combinaisons sans répétition. Formule du binôme dans le cas de l'exposant entier et positif.

Calcul (les valeurs arithmétiques des radicaux. — Exposants fractionnaires et négatifs. (On réservera pour la définition de «^ le cas de l'exposant incommensurable. )

Déterminants. — Définition, développement suivant les éléments d'une même ligne. Echange des lignes avec les colonnes. Permutation de deux colonnes ou de deux lignes. Addition de lignes ou de colonnes. Produit de deux déterminants. Résolution d'un système d'équations linéaires '*.

Formes linéaires et homogènes à deux, trois ou quatre variables. Conditions d'indépendance.

Nombres complexes. — Formule de Moivre.

f'' M. René Viviisi. — '■-> En co qui concerne ) ilfes opérations relatives à ces nOtlibVés. — '■''^ L<Js tes noml)res incoinraensuraljlos , les élèves ne seront élèves devront être exercés à la résolution des éi|uainlerro{jcs qiu! sur tes définitions de ce» n.>ml)res et | lions numériques sans employer tes déterminant^.

Séries. — Séries à termes positifs : caractères de convergence ou de divergence tirés de l'étude des expressions ^^^^iî, K/^n, "'«,.• Séries absolument convergentes. Convergence des séries à termes

alternativement positifs et négatifs dont le terme général décroît constamment en valeur absolue et tend vers zéro.

Exemples numériques.

Fonctiotis. — Fonctions d'une variable réelle, représentation graphique, continuité. Définition et

continuité de la fonclion exponentielle et de la fonction logarithmique. Limite de ( i + — | quand m

grandit indéfiniment en valeur absolue. Dérivée d'une fonction : pente de la courbe représentative. Dérivées d'une somme, d'un produit, d'un quotient, d'une puissance entière, d'une fonction de fonction. Dérivées des fonctions circulaires directes et inverses. Dérivées de ff" et de log x (logarithmes vulgaires et logarithmes népériens). Usage des tables de logarithmes et de la règle à calcul.

Théorème de Rolle, formule des accroissements finis, représentation graphique.

Fonctions de plusieurs variables indépendantes, dérivées partielles, formule des accroissements finis. Dérivée d'une fonction composée. Dérivée d'une fonction implicite. (On admettra sans démonstration l'existence de cette fonction et de sa dérivée.)

Emploi de la dérivée pour l'étude de la variation d'une fonction : maxima et mininia.

Fonctions primitives d'une fonction donnée, leur représentation par l'aire d'une courbe.

Fonction définie par une série entière en x à coefficients réels. — Intervalle de convergence. Addition et multiplication. A l'intérieur de l'intervalle de convergence, on obtient la dérivée ou les fonctions primitives de la fonction en prenant la série des dérivées ou des fonctions primitives. (On ne s'occupera pas de ce qui se passe aux extrémités de l'intervalle.)

Exemples : développements en série de ■ ; ^; arc tang x; L {i —x); L ■ . ■ . Série

exponentielle, série du binôme; les équations y' — y et y' (i + x) — my permettent de déterminer les sommes de ces deux séries. Développements en série de a"; arc sin x. Formules de Marc Laurin et de Taylor :

/(« + x) =/(a) + ;/' (fl) + ^J" («)+...+ 77^/<"' (« + ex). .

Développements en série de sin x et de cos x.

Application de la formule de Taylor à i'éttide du quotient de deux fonctions de x dans le voisinage d'une valeur donnée de x; cas où les deux fonctions de x s'annulent pour cette valeur. Diverses formes d'indétermination.

Recherche de la limite de -^ pour x infini et de a?" La; pour x — o. Fonctions e*, cos 2-, sin z pour z complexe. Egalités :

e'xe""'=^e'+*', e'^+'^^e" (cos y + i sin»/). Sinus et cosinus hyperboliques, leurs relations avec le sinus et le cosinus ordinaires.

Propriétés générales des équations algébriques. — Nombre des racines d'une équation''^. Relations entre les coelficients et les racines. Toute fonction rationnelle et symétrique des racines s'exprime rationnellement en fonction des coefficients. Ehmination d'une inconnue entre deux équations au moyen des fonctions symétriques.

Propriétés spéciales des équations à coefficients réels. Racines imaginaires conjuguées. Indications que fournissent les signes des résultats de la substitution de deux nombres réels.

Conditions pour qu'une équation ait des racines égales. Recherche des racines commensurables.

Théorème de Descaries.

Injiniment petits. — Infiniment petits équivalents. Ordre relatif de deux infiniment petits. Valeur principale. Exemples.

^'^ On ne demandera pas la démonstration du théorème de d'Aiembert.

Di(T«'renlieHe première d'une fonction d'une variable. Dillerentielle totale d'une fonction /(a-, y, . . .).

Transformation de cette expression lorsqu'on remplace x, y, par des fondions d'autres

variables.

Intéjp-alcs. — L'aire d'un segment de courbe est la limite de la somme des rectangles inscrits; emploi des symboles

Valeur moyenne d'une fonction dans un intervalle. Changement de la variable. Intt^ration |îaiparties.

Décomposition des fractions rationnelles en éléments simples. Intégration des dilTéreutieiles rationnelles en X et de celles qui s'y ramènent.

Application des quadratures à la rectification des courbes, au caictd d'un volume décomposé en tranches pai* des plans parallèles, à révaluation de l'aire d'une surface de révolution et au calcul des moments d'inertie du cylindre de révolution , de la sphère et du parallélipipède par rapport à leurs axes de symétrie. Aires et volumes des solides de la géométrie élémentaire.

Intégration des équations différentielles du premier ordre :

1 " Dans le cas oh les variables se séparent immédiatement ;

9° Dans le cas où l'équation est linéaire.

Intégration de l'équation différentielle linéaire du second ordre à coefilcients constants sans second membre; cas où le second membre est un polynôme ou une somme d'exponentielles de la forme Ae"^.

Uésolution numérique des équations algébriques ou transcendantes ^''. — Méthode d'approximation de Newton et méthotle des parties proportionnelles établies par des considérations géométriques. Calcul approché d'une intégrale définie par la méthode des trapèzes.