Géométrie a.nalytiqie

lo Géométrie plane.

Constructions d'expressions algébriques. Homogénéité.

Coordonnées rectdigncs. — Représentation d'une ligne par une équation. Formules de transformalion des coordonnées rectilignes. Ordre d'une courbe algébrique. Dist^ince de deux points.

Ligne droite. — Equation de la ligne droite. Problèmes simples relatifs à sa détermination. Formules donnant la distance d'un point à une droite et la tangente de l'angle de deux droites, en supposant les axes rectangulaires. Applications. Notions succinctes sur les [)oints à l'intini au moyen des

'' Los mctiiodt's (l'approximation comprises dans j oraux-, mais ellos pourront faire l'objet d'exercices ce paragraplie ne seront j)as demandées aux examens | numériques dans les compositions.

EKS. StP. (lois et RiEfiLEME^Ts}. VU. 4a

coordonnées homogènes et sur les éléments imaginaiœs. Relation homographique; relation involutive ; rapport anharmouique de quatre nombres. Application au rapport anharmonique de quatre points en ligne droite et de quatre droites appartenant à un même faisceau linéaire.

Cercle.

Lieux géométriques.

Courbes dont l'équation est résolue ou résoluble par rapport éi l'une des coordonnées. Tracé. — lllquation de la tangente en un point; sous-tangente. Normale; sous-normale. Concavité; convexité; point d'inflexion. Asymptotes. Application à des exemples simples et en ])arliculier à des coniques et à des courbes dont l'équation est du second degré par rapport à l'une des coordonnées.

Courbe/t déjmes jmr l'expression (les coonhnnées d'un de leurs points en fonction d'un paramètre. — Tracé. Exemples numériques. Les courbes du second ordre et celles du troisième ordre à point double sont unicursales.

Courbes déjimes par une équation implicite. ■ — lùjuation de la tangente et de la normale en un point. Tangentes à l'origine dans le cas où l'origine est un point simple ou un point double. Recherche des asymptotes sur des exemples numé^-iques de courbes du second et du troisième oi-dre.

Courbures. — Enveloppes. — Développées.

Intersection d'une courbe algébrique donnée, définie par une équation entière et homogène : /'(j:-, y/, z)= o, avec une droite arhitraii-e menée jiar un point quelconque donné sur cette courbe; point simple, tangente en ce point. Cas particulier oîi le point est rejeté à l'infini; asymptote définie comme tangente à la courbe en ce point.

Courbes du second ordre. — Division en trois genres d'après la nature des points à l'infini; asymptotes. Etablir les différentes formes réduites que peut [trendre l'équation d'une conique en appliquant la méthode de décomposition en carrés à des exemples luimériques; figurations géométriques correspondantes. Conditions pour que deux [joints soient conjugués par rapport à une conique; polaire d'un point. Condition pour que deux droites soient conjuguées; pôle d'une droite.

Centres; diamètres; directions conjuguées; diamètres conjugués. Directions principales et axes do symétrie en supposant les coordonnées rectangulaires. Recheiche des formes réduites; calcul des coèflicients des formes réduites dans le cas oii les coordonnées sont rectangulaires.

Foyers d'une courbe du second ordre. Directrices. Excentricité. Paramètre. Recherche des loyers et des dii-ectrices sur les équations réduites en coordonnées rectangulaires.

Equation trinôme if=^px+ qx^, commune aux trois courbes du second ordre.

Etude des courbes du second ordre stir les équations réduites. — Intersection avec une droite; condition de contact; problèmes simples relatifs aux tangentes. Propriétés focales et tracés qui en résultent; tangente et normale. Questions relatives à l'ellipse et à l'hyperbole : diamètres ; cordes supplémentaires; diamètres conjugués; théorèmes d'Apollonius. Tracés spéciaux pour l'ellipse considérée comme projection orthogonale du cercle. Propriété spéciale de l'hyperbole relativement aux asymptotes. Propriétés spéciales de la parabole relativement aux diamètres, à la sous-tangente et à la sous-normale.

Homothétie.

Happort anharmonique de quatre points ou de quatre tangentes sur une conique. — Divisions homographiques et divisions en involution sur une conique.

Deux coniques ont, en général, quatre points communs réels ou imaginaires à distance finie ou infinie. Notions succinctes sur les coniques appartenant au faisceau linéaire ponctuel défini par deux coniques données; les coniques de ce faisceau découpent sur une droite quelconque deux divisions en involution.

Coordonnées polaires. — I^eur transfonnation en coordonnées rectilignes. Equation de la ligne droite.

Construction des courbes; tangentes. Asymptotes. Applications (on se bornera au cas où l'équation est résolue par rapport au rayon vecteur). Cas des coniques.

2° Géométrie dans l'espace.

Coordonnées rectilignes. — Représentation d'une surface par une équation; reprësentalioii d'une ligue par deux équalious simultanées. Formule qui donne le cosinus <ic l'angle de deux directions on supposant les coordonnées rectangulaires. Formules de transformation des cooidounéfs rocliii}»'rifts: formules d'Euler. Ordre d'une surface algébrique. Distance de deux points *''.

Ligne droite et plan. — Equation du plan; équations de la droite. Problèmes simples relatifs à leur détermination et à leurs intersections,

Foi'niules donnant le cosinus de l'angle de deux droites ou de deux plans ; la distance d'un point à un plan, d'un point à une droite et la plus courte distance de deux droites, en supposant les axes rectatigulaires. Applications. Notions succinctes sur les points à l'intini à l'aide des coordonnées homogènes et sur les éléments imaginaires. Rapport anharmonique de quatre plans appartenant à un même faisceau linéaire.

Sphère. (Coordonnées rectangulaires.)

Courbes gauches. — Tangente. Plan osculateur. Courbure. Applications à l'hélice cii'culaire.

Surfaces en général. — Plan tangent ; normale. Marche à suivre pour trouver l'équation d'une siuface définie géométriquement. Application aux cylindi'es, aux cônes et aux surfaces de révolution.

Siiffaces du second ordre. — Intersection d'une surface du second ordre donnée avec une droite arbitraire menée par un point quelconque donné sur cette surface; point simple; plan tangent en ce point; son intersection avec la surface. Cas oii le point est à l'infini; plan asymptote défini comme plan tangent en ce point. Classification des surfaces du second ordre d'après la nature des points à Finfini.

(jonditions nécessaires et suflisantes pour qu'une surface du second ordre possède un ou plusieurs points doubles à distance finie ou infinie.

Etablir les dilTéientcs formes réduites que peut prendre l'équation d'une surface du second degré en aj)pliquant la méthode de décomposition en carrés à des exemples numériques; formes géométriques des surfaces correspondantes. Condition pour que deux points soient conjugués par rapport a ime surface du second ordre; plan polaire d'un point. Condition pour que deux pôles soient conjugués; pôle d'un plan. Droites conjuguées. Centres; plans diamétraux; directions conjuguées: diamètres, diamètres conjugués. (Toutes les discussions relatives à la distribution des plans asymptotes , des centres , des plans diaméti-aux et des diamètres seront faites sur les formes réduites.)

Démontrer que dans toute surface du second ordre il existe au moins trois dii-ections conjuguées recta ngu lai l'es (en co<Mtionnée6 rectangulaires); calcul des ^coeflicients des carrés des variables lorsqu'on prend des axes parallèles à ces directions; calcul de» autres coefiicients des formes réduites par la translation de ces axes.

Homothétie.

Etnde des Hutfaces du second ordre sur les équations réduites. — C/ondilion de contact d'un plan avec la surface; problèmes simjiles relatifs aux plans tangents. Normale. Propriétés des diamètres conjugués. Sections circulaii-es. Génératrices rectilignes.

Les surfaces du second ordre sont unicursales.

Variation de la courbure des sections nonnales en un point simple d'une surface (on supposera le point à l'origine et la surface tangente au plan xO^). Indicatrice. Courbure d'une section plane quelconque au même point. Théorème de Meusnier. Surfaces convexes, surfaces à courbures o[)posées en un point.

''^ Ya coordonn/'Os r<'i"t}m"ii|;'ir'<'N M'ideuieai.