CHAPITRE PREMIER

Principes généraux de l’Analyse infinitésimale.

1. Jl n’est aucune découverte qui ait produit dans les sciences mathématiques, une révolution aussi heureuse et aussi prompte que celle de l’analyse infinitésimale ; aucune n’a fourni des moyens plus simples ni plus efficaces pour pénétrer dans la connaissance des lois de la nature. En décomposant, pour ainsi dire, les corps jusque dans leurs élémens , elle semble en avoir indiqué la structure intérieure et l’organisation ; mais comme tout ce qui est extrême échappe aux sens et à l’imagination, on n’a jamais pu se former qu’une idée imparfaite de ces élémens, espèces d’êtres singuliers , qui , tantôt jouent le rôle de véritables quantités, tantôt doivent être traités comme absolument nuis , et semblent par leurs propriétés équivoques, tenir le milieu entre la grandeur et le

zéro, entre l’existence et le néant (1).

(1) Je parle ici conformément aux idées vagues qu’on se fait communément des quantités dites infinitésimales , lors—

Heureusement cette difficulté n’a pas nui au progrès de la découverte : il est certaines idées

qu’on n’a pas pris la peine d’en examiner la nature ; mais dans le vrai, rien n’est plus simple que l’exacte notion de ces sortes de quantités. Qu’est-ce, en effet, qu’une, quantité dite infiniment petite en mathématiques ? Rien autre chose qu'une quantité que T on peut rendre aussi petite qu'on le veut, sans qu'on soit obligé pour cela défaire varier celles dont on cherche la relation.

Quelles sont dans une courbe, par exemple, les quantités dont on veut obtenir la relation ? Ce sont , indépendamment des paramètres , les coordonnées , les normales , «ous-tangentes , rayons de courbure, etc. Eh bien ! les dx et dy, sont des quantités infiniment petites , non, parce qu’on les regarde en effet comme très-petites, ce qui est fort indifférent; mais parce qu’on les considère comme pouvant devenir encore plus petites, quelque petites qu’on les ait supposées d’abord, sans qu’on soit obligé de rien changer à la valeur des autres quantités dont nous venons de parler, et qui sont celles dont on cherche la relation.

Or il suit de cette seule définition, que toute quantité infiniment petite peut se négliger dans le cours du calcul , vis-à-vis de ces mêmes quantités dont on cherche la relation , sans que le résultat du calcul puisse en aucune manière s’en trouver affecté.

En effet, en négligeant, par exemple, dans le cours du calcul dx ou dy, par comparaison à l’une quelconque des quantités dont ori cherche la relation , comme x ou y, l’erreur que l’on commet est aussi petite qu’on le veut, puisqu’on est toujours maître de rendre dx et dy aussi petites qu’ou le veut. Donc si le résultat demeurait affecté de cette erreur, on pour-

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primitives qui laissent toujours quelque nuage dans l’esprit, mais dont les premières conséquences une fois tirées , ouvrent un champ vaste et facile

rait y atténuer cette même erreur autant qu’on le voudrait, en diminuant de plus en plus les valeurs de dx et dy : donc ce résultat contiendrait nécessairement dx ou dy, ou quelques-unes de leurs fonctions; ce qui n’est pas, comme on le sait, et ce qui ne saurait être, puisque ces quantités ne font point partie de celles dont on veut obtenir la relation : elles n’entrent dans le calcul que comme auxiliaires , et ce calcul n’est regardé comme fini , que du moment où ces auxiliaires en sont toutes éliminées. C’est donc dans cette double propriété, i° de pouvoir toujours être rendues aussi petites qu’on le veut ; a° de pouvoir l’être sans qu’on soit obligé de changer en même temps la valeur des quantités dont on veut trouver la relation , que consiste le véritable caractère des quantités infiniment petites. Cest faute d’avoir fait attention à la seconde de ces propriétés, qu’on a laissé si long-temps sans réponse directe et satisfaisante, les objections captieuses, qui ont été si souvent renouvelées contre l’exactitude de laméthodeleibnitzienne. Car ce n’estpas répondre directement , que de se borner à faire voir dans chaque cas particulier, la conformité des résultats de cette méthode avec ceux des autres méthodes rigoureuses , telles que celle d’exhaustion, celle des limites, ou l’algèbre ordinaire : c’est éluder la difficulté, et rejeter pour ainsi dire parmi les méthodes secondaires, celle qui doit tenir le premier rang, autant par la rigueur même de sa doctrine, qui sous ce rapport, ne le cède à aucune autre , que par la simplicité de sa marche , par où elle l’emporte incontestablement sur tous les autres procédés connus jusqu'à ce jour.

à parcourir. Telle a paru celle de l’infini , et plusieurs géomètres en ont fait le plus heureux usage, qui n’en avaient pçut-être point approfondi la notion -, cependant les philosophes n’ont pu se contenter d’une idée si vague ; ils ont voulu remonter aux principes ; mais ils se sont trouvés eux-mêmes divisés dans leurs opinions, ou plutôt dans leur manière d’envisager les objets. Mon but dans cet écrit est de rapprocher ces différens points de vue, d’en montrer les rapports, et d’en proposer de nouveaux.

2. La difficulté qu’on rencontre souvent, à exprimer exactement par des équations , les différentes conditions d’un problème, et à résoudre ces équations, a pu faire naître les premières idées du Calcul infinitésimal. Lorsqu’il est trop difficile, en effet, de trouver la solution exacte d’une question, il est naturel de chercher au moins à en approcher le plus qu’il est possible, en négligeant les quantités qui embarrassent les combinaisons , si l’on prévoit que ces quantités négligées ne peuvent, à cause de leur peu de valeur, produire qu’une erreur légère dans le résultat du calcul. C’est ainsi, par exemple, que ne pouvant découvrir qu’avec peine les propriétés des courbes, on aura imaginé de les regarder comme des polygones d’un grand nombre de cotés. Eu effet, si l’on conçoit, par