PRINCIPES GÉNÉRAUX DE UANALYSE INFINITÉSIMALE
1 . Il n'est aucune découverte qui ait produit dans les Sciences mathématiques une révolution aussi heureuse et aussi prompte que celle de l'Analyse infinitésimale ; aucune n'a fourni des moyens plus simples ni plus efficaces pour pénétrer dans la connaissance des lois de la nature» En décomposant, pour ainsi dire, les corps jusque dans leurs éléments, elle semble en avoir indiqué la structure intérieure et l'organisation ; mais, comme tout ce qui est extrême échappe aux sens et à l'imagination, on n'a jamais pu se former qu'une idée imparfaite de ces éléments, espèces d'êtres singuliers, qui tantôt jouent le rôle de véritables quantités, tantôt doivent être traités comme absolument nuls et semblent, par leurs propriétés équivoques, tenir le milieu entre la grandeur et le zéro, entre l'existence et le néant ( * ) .
( * ) Je parle ici conformément anx idées vagues qu'on se fait communément des quantités dites infinitésimales, lorsqu'on n'a pas pris la peine d'en examiner la nature; mais, dans le vrai, rien n'est pins simple que l'exacte notion de ces sortes de quantités. Qu'est-ce, en effet, qu'une quantité dite infiniment petite en Mathématiques? Rien autre chose qvîune quantité que Von peut rendre aussi petite quon le veut, sans quon soit oblige pour cela défaire varier celles dont on cherche la relation.
Quelles sont dans une courbe, par exemple, les quantités dont on veut obtenir la relation? Ce sont, indépendamment des paramètres, les coordonnées, les normales, soas-tangentes, rayons de courinire, etc. Eh bien, les dx et dy sont des quantités infiniment petites, noo parce qu'on
Heureusement cette difficulté n'a pas nui au progrès de la découverte : il est certaines idées primitives qui laissent toujours quelque nuage dans l'esprit, mais dont les premières conséquences, une fois tirées, ouvrent un
les regarde eu efifet comme très petites, ce qui est fort indififérent, mais parce qu'on les considère comme pouvant dcTenîr encore plus petites, quelque petites qu'on les ait supposées d'abord, sans qu''on soit obligé de rien changer à la valeur des autres quantités dont nous venons de parler, et qui sont celles dont on cherche la relation.
Or il suit de cette seule définition que toute quantité infiniment petite peut se négliger dans le cours du calcul, vis-à-vis de ces mêmes quantités dont on cherche la relation, sans que le résultat du calcul puisse en aucune manière s'en trouver afi'ecté.
En effet, en négligeant, par exemple, dans le cours du calcul dx ou djr^ par comparaison à l'une quelconque des quantités dont on cherche la relation, comme x ou^*, l'erreur que l'on commet est aussi petite qu'on le veut, puisqu'on est toujours maître de rendre dx et dy aussi petites qu^on le veut. Donc, si le résultat demeurait affecté de cette erreur, on pourrait y atténuer cette même erreur autant qu'on le voudrait en diminuant de plus en plus les valeurs de de et dj^ ; donc ce résultat contiendrait nécessairement (cZr ou djr^ ou quelques-unes de leurs fonctions, ce qui n'es| pas, comme on le sait, et ce qui ne saurait être, puisque ces quantités ne font point partie de celles dont on veut obtenir la relation : elles n'entrent dans le calcul que comme auxiliaires, et ce calcul n'est regardé comme fini que du moment où ces auxiliaires en sont toutes éliminées. C'est donc dans cette double propriété, i^de pouvoir toujours être rendues aussi petites qu'on le veut, 2® de pouvoir l'être sans qu'on soit obligé de changer en même temps la valeur des quantités dont on veut trouver la relation, que consiste le véritable caractère des quantités infiniment petites. C'est faute d'avoir fait attention à la seconde de ces propriétés qu'on a laissé si longtemps sans réponse directe et satisfaisante les objections captieuses qui ont été si souvent renouvelées contre l'exactitude de la méthode Ieibnitzienne,car ce n'est pas répondre directement que de se borner à faire voir dans chaque cas particulier la conformité des résultats de cette méthode avec ceux des autres méthodes rigoureuses, telles que celle d'exhaustion, celle des limites, ou l'Algèbre ordinaire : c'est éluder la difficulté et rejeter, pour ainsi dire, parmi les méthodes secondaires celle qui doit tenir le premier rang, autant par la rigueur même de sa doctrine, qui sous ce rapport ne le cède à aucune autre, que par la simplicité de sa marche, par où elle l'emporte incontestablement sur tous les autres procédés connus jusqu'à ce jour.
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champ vaste et facile à parcourir. Telle a paru celle de l'infini, et plusieurs géomètres en ont fait le plus heureux usage, qui n'en avaient peut-être point approfondi la notion; cependant les philosophes n'ont pu se contenter d'une idée si vague : ils ont voulu remonter aux principes, mais ils se sont trouvés eux-mêmes divisés dans leurs opinions, ou plutôt dans leur manière d'envisager les objets. Mon but dans cet écrit est de rapprocher ces différents points de vue, d'en montrer les rapports et d'en proposer de nouveaux.
2. La difficulté qu'on rencontre souvent à exprimer exactement par des équations les différentes conditions d'un problème et à résoudre ces équations a pu faire naître les premières idées du Calcul infinitésimal. Lorsqu'il est trop difficile, en effet, de trouver la solution exacte d'une question, il est naturel de chercher au moins à en approcher le plus qu'il est possible, en négligeant les quantités qui embarrassent les combinaisons, si l'on prévoit que ces quantités négligées ne peuvent, à cause de leur peu de valeur, produire qu'une erreur légère dans le résultat du calcul. C'est ainsi, par exemple, que, ne pouvant découvrir qu'avec peine les propriétés des courbes, on aura imaginé de les regarder commç des polygones d'un grand nombre de côtés. En effet, si l'on conçoit, par exemple, un polygone régulier inscrit dans un cercle, il est visible que ces deux figures, quoique toujours différentes et ne pouvant jamais devenir identiques, se ressemblent cependant de plus en plus à mesure que le nombre des côtés du polygone augmente, que leurs périmètres, leurs surfaces, les solides formés par leurs révolutions autour d'un axe donné, les lignes analogues menées au dedans ou au dehors de ces figures, les angles formés par ces lignes, etc., sont, sinon
respectivement égaux, au moins d^autant plus approchants de l'égalité , que ce nombre de côtés devient plus grand, d'où il suit que, en supposant ce nombre de côtés très grand en effet, on pourra sans erreur sensible attribuer au cercle circonscrit les propriétés qu'on aura trouvées appartenir au polygone inscrit.
En outre, chacun des côtés de ce polygone diminue évidemment de grandeur à mesure que le nombre de ces côtés augmente, et, par conséquent, si l'on suppose que le polygone soit réellement composé d'un très grand nombre de côtés, on pourra dire aussi que chacun d'eux est réellement très petit.
Cela posé, s'il se trouvait par hasard dans le cours d'un calcul une circonstance particulière où l'on pût simplifier beaucoup les opérations, en négligeant, par exemple, un de ces petits côtés par comparaison à une ligne donnée, telle que le rayon, c'est-à-dire employant dans le calcul cette ligne donnée au lieu d'une quantité qui serait égale à la somme faite de cette ligne et du petit côté en question, il est clair qu'on pourrait le faire sans inconvénient, car l'erreur qui en résulterait ne pourrait être qu'extrêmement petite et ne mériterait pas qu'on se mît en peine pour en connaître la valeur.
3. Par exemple, soit proposé de mener une tangente au point donné M de la circonférence MBD {fi g- i ).
Soient C le centre du cercle, DCB l'axe ; supposons l'abscisse DP = x, l'ordonnée correspondante MP = j, et soit TP la sous-tangente cherchée.
Pour la trouver, considérons le cercle comme un polygone d'un très grand nombre décotes. SoitMN un de ces côtés; prolongeons-le jusqu'à l'axe : ce sera évidemment la tangente en question, puisque cette ligne ne pénétrera pas dans l'intérieur du polygone. Abaissons de
plus la perpendiculaire MO sur NQ, parallèle à MP, et
nommons a le rayon du cercle ; cela posé, nous aurons évidemment
,.^ *T^ r^r. «.^ MO TP
MO : NO : : TP : mp, ou ^^^t = —
NO jr
D'une autre part, l'équation de la courbe étant, pour le point M,yy= lax — xx^ elle sera, pour le point N,
(j H- N0)2 = 2a(^ -f- MO) i: (x -i- M0)« ;
ôtant de cette équation la première, trouvée pour le point M, et réduisant, on a
MO
2 j + NO
