SUR

(i) Il n’est aucune découverte qui ait pro-

•* • i x 1 Sujet de

ouït dans les sciences mathématiques une ré- écrit.

volution aussi heureuse et aussi prompte que celle de l’analyse infinitésimale ; aucune n’a fourni des moyens plus simples ni plus efficaces pour pénétrer dans la connoissance des lois de la nature. En décomposant, pour ainsi dire, les corps jusques dans leurs élémens, elle semble en avoir indiqué la structure intérieure et l’organisation $ mais comme tout ce qui est extrême échappe aux sens et à l’imagination , on n’a jamais pu se former qu une idée imparfaite de ces élémens, especes d’êtres singuliers, qui, tantôt jouent le rôle de véritables quantités , tantôt doi-^

ventre ire' traité! cpmme, absolument jnuls , çt semblent par leurs propriétés équivoques, tenir le milieu entre la grandeur et le zéro, entre l’existence et-le néant (*).

Heureusement cette difficulté n*a point iiffi aii'prégrès /dé ^tféÿüuverte ijl'estf certaines idées primitives qui laissent toujours quelque nuage dans f l’£sprit; mais dont les premières conséquences une fois tirées, ou-, vre^t uji,. chamjj.. ya^tp, ft r facile à parcourir. Tfcfie' a paru celle'de l’infini, ét plusieurs Géomètres en ont fait le plus heureux usage , qui n’en avoient peut être point approfondi la .qOjLion^. cependant; i}e$. Philosophes n’ont pu 5 P. contenter d’unq idép si vague j ils ont vou uremonter aux prinçipes; mais ile se sont

fl) Je parle ici'confoitnément aux idées vagues qu’on se fait communément dés quantités infinitésimales, lorsqu'on n’a pas pris la £einé d*cn examiner la nature ; mais, dans le vrai^, rien n’cst plu® simple que la notion lie ces quantités. En efFet*; dire -d’une quantité quelle

est infiniment petite , c’est précisément dire quelle est la différence de deux gwnde.urs qui ont ^pur limite une même troisième grandeur et rien de plus. L’idée d’une quantité infinitésimale n’est donc pas plus difficile à saisir que celle d’une limite;^nîàiS“élit a de plus, comme tout le monde én convient, l'avantage de conduire ^ tme^tbédrie beaucoup plus simple.

du Calcul infinitésimal . 7

trouvés eux-mêmes divisés dans leurs opinions* ou plutôt dans leur manière d'envisager les objets. Mon but dans cet écrit est de rapr procher ces différens points de vue, d'en montrer les rapports, et d'en proposer de nouveaux $ je me croirai bien récompense de mon travail si j'ai pu réussir à jetter cpiehques degrés de lumière sur un sujet si inr téressant.

O) La difficulté qu’oiî rencastre souvent „S V °Æ à exprimer exactement par des équations te»

differentes conditions d'un problème , et à résoudre ces équations, a pu faire naître les premières idées du Calcul infinitésimal. Lorsqu'il est trop difficile , en effet, de trouver la solution exacte d'une question, il est naturel de chercher au moins à en approcher le plus qu'il est possible, en négligeant les quantités qui embarrassent les combinaisons, si l'on prévoit que ces quantités négligées ne peuvent, à cause de leur peu de valeur, produire qu'une erreur légère dans le résultat du calcul. C'est ainsi, par exemple , que ne pouvant découvrir qu'avec peine les propriétés des courbes , on aura imaginé de les regarder comme des polygones d'un grand nombre de côtés. En effet, si l'on conçoit,

par exemple, un polygone régulier inscrit dans un cercle, il est visible que ces deux figures, quoique toujours différentes et ne pouvant jamais devenir identiques, se ressemblent cependant de plus en plus à mesure <jue le nombre des côtés du polygone augmente , que leurs périmètres, leurs surfaces , les solides formes par leurs révolutions autour d un axe donne, les lignes analogues menees au dedans ou, au, dehors de ces figures , les angles formés par ces lignes , etc., sent, si non respectivement égaux, au moins d autant plus approchans de Inégalité que ce nombre de côtés devient plus grand 5 d'où il suit qu en supposant ce nombre de côtés trèsgrand en effet, on pourra sans erreur sensible attribuer au cercle circonscrit les propriétés qu'on aura trouvées appartenir au polygone inscrit.

En outre, chacun des côtés de ce polygone diminue évidemment de grandeur à mesure que le nombre de ces côtés augmente ; et par conséquent, si l'on suppose que le polygone soit réellement composé d'un très-grand nombre de côtés, on pourra dire aussi que chacun d'eux est réellement très-petit.

Cela posé , s'il se irouvoit par hasard dans Je cours d'un calcul une circonstance parti-;.

du Calcul infinitésimal.

culière où l’on pût simplifier beaucoup les opérations en négligeant, par exemple , un de ces petits côtés par comparaison à une ligne donnée , c'est-à-dire, en employant dans le calcul oette ligne donnée au lieu d'une quantité qui seroit égale à la somme faite de cette ligne et du petit côté en question , il est clair qu’on pourroit le faire sans inconvénient , car l’erreur qui en résulteroit ne pourroit être qu'extrêmement petite , et ne mériteroit pas qu’on se mît en peine pour en connoître la valeur.

(5) Par exemple, soit proposé de mener une tangente au point donné M de la circonférence MBD. ( Fig. i. )

Soit C le centre du cercle, D CB l'axe 5 supposons l’abscisse DP=r, l'ordonnée correspondante MP=y, et soit TP la sous-tangente cherchée.

Pour la trouver , considérons le cercle comme un polygone d’un très-grand nombre de côtésj soitMN un de ces côtés, prolongeons-le jusqu à Basej ce sera évidemment la tangente en c l Ues ti°n , puisque cette ligne ne pénétrera P as dans l’intérieur du pofygone Rabaissons de plus la perpendiculaire MO surNQ, parallèle à M P 5 et nommons a le rayon du cerde r cela

posé , nous aurons évidemment MO : N O