MO TP

TP : MP, ou VT ■-=± —.

’ NO y

D'une autre part., l'équation delà courbe étant pour le point M, yy=2 a x — xx 9 elle sera pour le point N (jy-q-N O )* = 2 æ(aH-M 0)—(aH-MO)% ôtant de cette équation la première , trouvée pour le point M, et réduisant, on a MO 2^+NO

NO = ua — ux —M O 5

égalant donc cette valeur de à celle qui a été trouvée ci-dessus , et multipliant par y 9

•i . . „ jy(2j-+-NO)

il vient 1 P=

•xa — 2 x — M O

Si donc M O et N O étoient connues, on auroit la valeur cherchée de TP; or ces quantités MO , N O sont très-petites , puisqu'elles sont moindres chacune que le côté M N, qui, par hypothèse , est lui même très^ petit. Donc ( 2 ) on peut négliger sans erreur sensible ces quantités par comparaison aux quantités 2 y et 2 x — 2 a auxquelles elles sont ajoutées. Donc l'équation se réduit à TP==

-■— , ce qu'il falloit trouver.

(4) Si ce résultat n’est pas absolument

du Calcul infinitésimal . 11

exact j il est au moins évident que dans la onadûn

„ .• , Tellement

pratique il peut passer pour tel, puisque les regarder <i quantités MO, NO sont extrêmement pe^ une simple tites j mais quelqu’un qui n’auroit aucune idée de la doctrine des infinis seroit peut-être fort étonné si on lui disoit que l’équation

^ P = , non-seulement approche beau¬

coup du vrai, mais est réellement de la plus parfaite exactitude j c’est cependant une chose dont il est aisé de s’assurer en cherchant T P , d’après ce principe que la tangente est perpendiculaire à l’extrémité du rayon ; car il est visible que les triangles semblables CPM, MP T donnent CP : MP :: MP : TPj

d’où l’on tire TP = ~ u = —, comme ci- C P a —x

(5) Pour second exemple, supposons qu’il soit question de trouverja surface d’un cercle donné.

Considérons encore ceftè courbe comme un polyg 0ne régulier d’un grand nombre de cotes ; l’aire d’un polygone régulier quelconque est égale au produit de son périmètre pui la moitié de la perpendiculaire menée u centre sûr l’un des côtés j donc le cercle

étant considéré comme un polygone d’un grand nombre de côtés, sa surface doit être égale au produit de sa circonférence par la moitié du rayon $ proposition qui n’est pas moins exacte que le résultat trouvé ci-dessus.

(6) Quelque vagues et peu précises que puissent donc paroi tre ces deux expressions de très-grand et de très-petit , ou autres équivalentes , on voit par les deux exemples précédens que ce n’est pas sans utilité qu’on les emploie dans les combinaisons mathématiques , et que leur usage peut être d’un grand secouis pour faciliter la solution des diverses questions qui peuvent être proposées $ car leur notion une fois admise, toutes les courbes, pourront aussi bien que le cercle être considé*rées comme des potygones d’un grand nombre de côtés, toutes les surfaces pourront être partagées en une multitude de bandes ou zones, tous les corps en corpuscules, toutes les quantités, en un mot, pourront être décomposées en particules de même espèce qu’elles. De-là naissent beaucoup de nouveaux rapports et de nouvelles combinaisons , et l’oij peut juger aisément, par les exemples cités plus haut, des ressources que doit fournir au calcul 1 introduction de ces quantités élémentaires.

du Calcul infinitésimal .

(7) Mais davantage qu’elles procurent est bien plus considérable encore qu’on n’avoit d’abord eu lieu de l’espérer j car il suit des exemples rapportés que ce qui n’avoit été regardé en premierlieu que comme une simple méthode d’approximation , conduit au moins , q en certains cas, à des résultats parfaitement * exacts. Il seroit donc intéressant de savoir j distinguer ceux où cela arrive , d’y ramener les autres autant qu’il est possible , et de 8 changer ainsi cette méthode d’approximation en un calcul parfaitement exact et rigoureux. .Or, tel est l’objet de l’analyse infinitésimale.

(8) Voyons donc d’abord comment dans l’é-

quation TP trouvée (3) , il a

pu se faire qu’en négligeant MO et N O on n’ait point altéré la justesse du résultat, ou plutôt comment ce résultat est devenu exact parla suppression de ces quantités , et pourquoi il ne l’étoit pas auparavant.

Or , on peut rendre fort simplement raison de ce q U i est arr i v £ dans j a so l u tion du proeme traité ci-dessus, en remarquant que typothèse d’où Pon est parti étant fausse ,

ce 1S ? U ^ * GSt a ^ so ^ ument impossible qu’un - e Puisse être jamais considéré comme un

On a détot*»

vert ensuito quemalgréle»

desconditions dechaquepro* Ifième, les résultats étoient néanmoins do la plus parfaite exactitude^,

l 4 Réflexions sur lu Métaphysique

trai polygone , quel que puisse être le nombré de ses côtés, il a dû résulter de cette hypothèse une erreur quelconque dans l’équation Tp__ y Or H-NO)

2 a -*• 2 x — MO*

et que le résultat TP= --— étant néan^

moins certainement exact, comme on le prouve par la comparaison des deux triangles CPM, M P T , on a pu négliger MOetNO dans la première équation j et même on a dû le faire pour rectifier le calcul et détruire l'erreur à laquelle avoit donné lieu la fausse hypothèse d’ou l’on étoit parti. Négliger les quantités de cette nature est donc non-seulement permis en pareil cas , mais il le faut $ et c’est la seule manière d'exprimer exactement les conditions du problème*

ces résultats tg\ Le résultat exact T P =-n’a donc

lie sont exacts a—x

que par coin- , , . .3..

pensation ete obtenu que par une compensation d ererreurs. reurs . et ce t£ e compensation peut être rendus plus sensible encore en traitant l’exemple rapporté ci-dessus d’une manière un peu diP^ férente, c’est-à dire , en considérant le cerclé compie une véritable courbe et nonpas comihf un polygone.

du Calcul infinitésimal. i 5

Pour cela , par un point R , pris arbitrairement à une distance quelconque du point M, soit menée la ligne R S parallèle à MP, et par les points R et M soit tirée la sécante RT y $ nous aurons évidemment T'P : MP ::

M Z : RZ , et partant T/P,ouTP+T'T

MZ ...

s=MP Cela pose , si nous imaginions

que R S se meuve parallèlement à elle-même en s’approchant continuellement de MP, il est visible que le point T ' s’approchera en même tems de plus en plus du point T^ et qu’on pourra par conséquent rendre laligne Taussi petite qu’on voudra sans que la proportion établie ci-dessus cesse d’avoir lieu. Si donc je néglige cette quantité T ; T dans l’équation que je viens de trouver, il en résultera à la vérité

une erreur dans l’équation T P = M P

à laquelle la première sera alors réduite ; mais cette erreur pourra être atténuée autant qu’on le voudra en faisant approcher autant qu’il sera nécessaire R S de MP: c’est-à-dire, que le rapport des deux membres de cette équation différera aussi peu qu’on voudra du Apport d’égalité.

Parem ementnous

R Z 2 a —3a— MZ

16 Réflexions sut la Métaphysique

et cette équation est parfaitement exacte * quelle que soit la position du point R, c’està-dire , quelles que soient les valeurs de MZ et de R Z. Mais plus RS approchera de MP* plus ces lignes M Z et R Z seront petites $ et partant, si on les néglige dans le second membre de cette équation , l’erreur qui en résultera dans l’équation à laquelle

elle sera réduite alors , pourra comme la première être rendue aussi petite qu’on le jugera à propos.

Cela étant, sans avoir égard à des erreurs

que je serai toujours maître d’atténuer autant

que je le voudrai, je traite les deux équations

. lf MZ MZ y . •

T P = M P et —— — - que je viens do

R Z R Z et— x

trouver comme si elles étoient parfaitement exactes l’une et l’autre* substituant donc

dans la dernière la valeur de tirée de l’auy *

tre , j’ai pour résultat T P= - comme cidessus.

Ce résultat est parfaitement juste, puisqu’il est conforme à celui qu’on a obtenu par la comparaison des triangles CPM, M PT 5 et

cependant

du Calcul infinitésimal.

cependant les équations T P == y — et

MZ y

R2 = Â-Ii 9 ^ a tiré, sont certai¬

nement fausses toutes deux , puisque la distance de RS à MP n’a point été supposée nulle , ni même très-petite } mais bien égale à une ligne quelconque arbitraire. Il faut par Conséquent de toute nécessité que les erreurs se soient compensées mutuellement par la comparaison des deux équations erronées.

(io) Voilà donc le fait des erreurs compensées bien acquis et bien prouvé; il s’agit maintenant de l’expliquer , de rechercher lé signe auquel on fecônnoit que I a compensation a heu dans les calculs semblables au précédent , et les moyens de la produire dans chaque cas particulier.

Or, il suffit pour cela de remarquer que PouriïUoi

es erreurs commises dans les éduations Cf * ttecom P eQ * Tp== MZ MZ r sationa lien.

^RZ et P ou vant être ren¬

dues aussi petites qu'on le veut , celle qui aur °it j* eu > s’il s'en trouvoit une dans l'équation résultante TP = pourroit également être rendue aussi petite qu'on le^vou-"*

droit, et qu’elle dépendroit de la distance arbitraire des lignes MP , R S. Or, cela n’est pas, puisque le point M par où doit passer la tangente étant donné, il ne sé trouve aucune des quantités a, x f y, TP de cette équation qui soit arbitraire $ donc il ne peut y avoir en effet aucune erreur dans celte équation.

Il suit de-là que la compensation des erreurs qui se trouvoient dans les équations

MZ MZ y ri

T V^y “- et = ——, se manifeste dans

le résultat par Pabsence des quantités MZ, R Z qui causoient ces erreurs j et que par conséquent, après avoir introduit ces quantités dans le calcul pour faciliter l’expression des conditions du problème > et les avoir traitées dans les équations qui exprimoient ces conditions comme nulles par comparaison aux quantités proposées, afin de simplifier ces équations, il n’y a qu’à éliminer ces mêmes quantités des équations où elles peuvent se trouver encore, pour faire disparoîtreles erreurs qu’elles avoient occasionnées , et obtenir un résultat qui soit parfaitement exact.

(11) L’inventeur a donc pu être conduit à sa découverte par un raisonnement bien

du Calcul infinitésimal.

simple : si à la place (Tune quantité proposée* a-t-il pu dire, Remploie dans le calcul une autre quantité qui ne lui soit point égale , il en résultera une erreur quelconque $ mais si la différence des quantités employées l’une pour l’autre est arbitraire , et que je sois maître de la rendre aussi petite que je voudrai * cette erreur ne sera point dangereuse ; je pourrois même commettre à la fois plusieurs erreurs semblables sans qu’il s’ensuivît aucun, inconvénient, puisque je demeurerai toujours maître du degré de précision que je voudrai donner à mes résultats. 11 y a plus encore * c’est qu’il pourroit arriver que ces erreurs se compensassent mutuellement, et qu’ainsi mes résultats devinssent parfaitement exaots. Mais comment opérer cette compensation et dans tous les cas ? C’est ce qu’un peu de réflexion aurà pu faire découvrir5 en effet* aura pu dire l’inventeiir, supposons pour un instant que la compensation desirée ait lieu, et voyons par quel signe elle doit se manifester dans le résultat du calcul. Or , ce qui doit naturellement arriver, c’est que les quantités qui ocs casionnoient ces erreurs ayant disparu, les erreurs aient disparu de même 3 car ces quantités (telles que MZ, RZ) ayant par hypothèse des valeurs arbitraires , elles ne doivent plus

entrer dans des Formules ou résultats qui ne le sont pas > et qui étant deyenus exacts pat supposition , dépendent uniquement, non de la volonté du calculateur , mais de la nature des choses dont on s’étoit proposé de trouver la relation exprimée par ces résultats. Donc le signe qui annonce que la compensation desirée

Comment on a jj eu est l’absence des quantités arbitraires

peut operer ...

cette compen- q U i produisoient ces erreurs 5 et partant, il

sation en cha- * .

que cas parti- ne s agit, pour operer cette compensation, que d’éliminer ces quantités arbitraires.

(12) Pour fixer davantage ces idées, et donner aux principes qui en dérivent le degré de précision et de généralité qui leur convient , je remarquerai que les quantités que nous avons eu à considérer dans la question traitée peuvent së distinguer en deux classes $ la première, composée des quantités qui, ■comme M C , MP, P T, M T, sont ou données ou déterminées par les conditions du problème 5 et la seconde , composée des quanlités qui, comme R S , R T/, ST', dépendent de la-position arbitraire du point R, et telles en même tems, qu’à mesure que ce point R se rapproche du point M, chacune d’entre elles s’approche de sa correspondante dans la première classe, en sorte que MP, par

du Calcul infinitésimal . 21

exemple, est la limite de RS, c’est-à-dire y le terme fixe dont elle approche continuellement, ou, si l’on veut, sa dernière valeur 5 de meme M T est la limite ou dernière va* leur de RT', et PT celle de ST 7 ; par la même raison , il est clair que les limites ou dernières valeurs de M Z , RZ, MR , T 7 T, sont toutes O; enfin, il est encore évident que la dernière raison de RS à MP, c'est-à-dire ,

la dernière valeur de ~ est une raison d'égalité , de même que celle de R T 7 à M T , do S T 7 à P T , ou, enfin, celle de tonte autre quantité quelconque à sa limite.

(i 5 ) Imaginons donc maintenant, pour étendre ces remarques aux autres problèmes du même genre , un système quelconque do quantités proposées, et qu’il soit question de trouver les rapports qui existent entre elles (*),

( ) Je suppose ici que la question proposée a été préaalitement réduite à trouver en effet les rapports qui tent entre telles ou telles quantités proposées. Si » P exemple il s’agit de trouver une courbe qui ait une 1 1 1 & 06 P ro p r * et -d déterminée , je suppose qu’on ait préaa cment l 'éduit cette question à trouver le rapport qui

(i4) D’abord je comprendrai sous le non* de quantités désignées 3 non-seulement toutes les quantités qui sont proposées par l’énoncé même de la question f mais encore toutes celles qui dépendent de ces seules quantités, c’est-à-dire , qui sont fonctions de ces mêmes quantités et d’aucune autre.

existe entre telle ordonnée de cette courbe et l’abscissë correspondante j de meme , s il s agit de mener une tangente à un point quelconque indéterminé de cette courbe, je commence par fixer arbitrairement le point par lequel je veux mener cette tangente , et je réduis la question à trouver le rapport qui existe, par exemple , entre la $Q,U$-tangente e t labscisse , ou entre l’ordonnée et la sous-normale correspondante à ce meme point. Mais si l’on me demandoit, par exemple, comment j’appliquexois ma définition de l'infini qu’on va voir, à ces questions : Za matière est-elle divisible à l'infini? L'espace dans Uaucl existent tous les êtres crées est - il infini ? et autres semblables ; je réponds que ma définition n’est que celle de l’infini mathématique ; qu’elle ne peut s’appliquer qu’aux questions dont l’objet est uniquement de trouver les rapports qui existent entre telles et telles quantités j et qu’ainsi les questions métaphysiques proposées ci-dessus, si tant est quelles méritent d’être appelées des questions, ne sont aucunement du ressort de la théorie dont o.n se propose d’établir ici les prinçipçs.

du Calcul infinitésimal.

(1 5 ) J’appellerai, au contraire , quantités non-désignées ou auxiliaires toutes celles qui ne font point partie du système des quantités désignées, et qui par conséquent n’entrent point essentiellement dans le calcul , mais y sont introduites seulement pour faciliter la comparaison des quantités proposées.

Ainsi, dans l’exemple précédent, MP, MC*.

MT , DP, etc. sont des quantités désignées , parce qu’elles dépendent uniquement de la position du point M par où doit être menée la tangente 5 mais R S , et toutes celles qui en dépendent, comme M Z , R Z , T'T, T'P, etc.

sont des quantités auxiliaires , parce qu’on n’a imaginé de les mener que pour aider à la solution de la question , qui étoit de trouver le rapport de M P à T P.

Il suit évidemment de-là que dans toute quantité non-désignée , il y a nécessairement quelque chose d’arbitraire $ car , s’il n’y entroit rien d’arbitraire , la valeur en seroit doncassignée par les‘ conditions mêmes du pro~ blême , et par conséquent dépendroit totalement des quantités proposées , ce qui est contre l’hypothèse*.

( *6 ) Lorsq u’en mathématique, deux lignes , deux surfaces , deux solides, deux

quantités quelconques enfin sont supposées s’approcher perpétuellement l’une de l’autre par degrés insensibles , de manière que leur rapport ou quotient diffère de moins en moins et aussi peu qu’on veut de l’unité, on dit que ces deux quantités ont pour dernière raison une raison d’égalité.

(17) Si l’une de ces grandeurs est une quantité désignée et l’autre une quantité auxiliaire , la première sera dite limite ou dernière valeur de la seconde : c’est-à-dire , qu’une limite n’est autre chose qu’une quantité désignée de laquelle une quantité auxiliaire est supposée s’approcher perpétuellement, de manière qu’elle puisse en différer aussi peu qu’on voudra, et que leur dernière raison soit une raison d’égalité.

Ainsi, il n’y a que les quantités auxiliaires

qui, à proprement parler , aient ce que j’appelle une limite5 car les quantités désignées étant supposées ne point changer, mais au contraire être elles-mêmes les termes ou dernières valeurs des quantités auxiliaires, elles, ne peuvent strictement parlant avoir de limites , à moins qu’on ne dise que toute quantité désignée est elle-même sa propre limite, çe qu’on ne peut refuser d’accorder, puisqua

du Calcul infinitésimal .

la dernière valeur d’une quantité déterminés quelconque ne peut être que cette quantité elle-même,

O 8) Ainsi, en général nous nommons dernières valeurs et dernières raisons des quantités les valeurs ou les raisons qui sont en effet les dernières de celles qu’assigne à ces grandeurs et à leurs rapports, la loi de continuité, lorsque chacune d’elles est supposée s’approcher perpétuellement et par degrés insensibles de la quantité désignée qui lui répond.

(19) On nomme en général quantité infinipumt petite la différence d’une quantité quelconque auxiliaire à sa limite; ainsi, par exemple , R Z , qui est la différence de RS à MP , est ce qu’on appelle une quantité infiniment petite.

(20) On nomme au contraire infinie ou infiniment grande , toute grandeur qui est C ? ale à l’unité divisée par une quantité infïmment petite «telle est, par conséquent, la quantité

Mais