PROBLÈME IV

(66) Trouver la surface d’un segment parabolique.

Soit AMP ce segment (Fig. 6.); si nous supposons que Pabscisse ÀP augmente d’une quantité infiniment petite P Q, ce segment augmentera en même tems de la quantité MNPQ ; c’est-à-dire ,quePQ étant supposée la différentielle dex, MNPQ sera la différentielle du segment cherché. Donc réciproquement le segment cherché est l’intégrale de MNPQ,c’est à-dire, qu’on a AMP=/"( MNPQ )j mais si l’on abaisse MO perpendiculairement à NQ , il est évident que la dernière raison de l’espace MNO à l’espace MOPQ est o ; donc le premier de ces espaces est infiniment petit à Pégard du second j donc on a Péquation imparfaite MNPQ = MOPQ. Substituant donc la seconde de ces quantités à la première , dans l’équation exacte AMP =/\MNPQ), on aura l’équation imparfaite AMP=y'(MOPQ) , ou AMP =fy d x : mais l’équation de la courbe est, en nommant P son paramètre , y y = P^j d’où l’on lire l’équation imparfaite

dx= — p y • en mettant donc pour dx , dans

la première de ces équations imparfaites , sa valeur tirée de la seconde y on aura celte

nouvelle équation imparfaite AMP =f— p—• Mais(68)on a/—donc AMP

du Calcul infinitésimal.

=— , équation qui, ne contenant plus

que des quantités désignées, ne peut être que rigoureusement exacte : ce qu’il falloit trouver.

La même méthode s’applique évidemment à la quadrature de toute autre courbe , et par des raisonnemens analogues , il est aisé de l’étendre à leur rectification et à la recherche des solides quelconques.

(68) Ce petit nombre d’exemples doit suf- Conclusion, fire pour faire comprendre quel est l’esprit de l’analyse infinitésimale. En vain ses adversaires diront-ils que c’est ruiner la certitude des mathématiques que d’y admettre des erreurs , comme on le fait, en employant des équations imparfaites ; ces errreurs peuvent-elles avoir des conséquences dangereuses, puisqu’on a des moyens infaillibles pour les faire disparoître , et des signes certains pour connoître lorsqu’elles ont disparu 9 Renoncerat-on aux avantages immenses que procure ce calcul, de peur de s’écarter un instant des procédés rigoureux de la géométrie élémentaire, ou préférera-t-on à la route unie et facile par laquelle cette analyse nous mène aux découvertes , un sentier épineux où il est si difficile de ne point s’égarer? Tel est celui qu’offre

yS Réflexions sur la Métaphysique y etc,

la méthode des limites lorsqu’on veut l’employer exclusivement. Car ceux qui veulent proscrire la notion des quantitésinfinitésimales sont réduits, ou à la suppléer par l’algèbre commune, ce qui présente des difficultés sans nombre, ou à se servir continuellement des noms d’infini et d’infiniment petit en même tems qu’ils les dénigrent, si l’on peut s’exprimer ainsi, et qu’ils traitent de chimère l’existence des choses mêmes dont ils sont les hiéroglyphes. On n’emploie, dit-on, ces termes que figurément ; mais je demande si un langage figuré et abstrus est celui qui convient à la simplicité des mathématiques, et sur-tout à cette rigueur dont on veut s’étayer pour condamner la théorie de l’infini. Ces deux méthodes ne reviennent-elles pas au même, ou plutôt ne sont-elles pas la même méthode employée diversement ? En un mot, ne sontce pas toujours les mêmes idées à rendre , les mêmes relations à exprimer ? Pourquoi donc ne pas rendre ces idées, ne pas exprimer ces relations de la manière la plus claire et la plus simple ?